Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat - FLP - Maths

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Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat - FLP - Maths

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Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat

Franck Le Pargneux

5 octobre 2008

2 2 2 Dans ce cours, nous allons étudier, dansZ, l’équationx+y=z, c’estàdire n n n le casn=2 de l’équationx+y=z. La résolution de cette équation s’est achevée en 1993 (ou 1994 pour les plus rigoureux) lorsqu’Andrew Wiles parvint à démon 1 trer le fameux théorème de Fermat. Pierre de Fermat avait énoncé ce théorème en ajoutant : "J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir."

n n n Théorème 1 (FermatWiles)L’équation : x+y=z n’admetaucune solution en tière pour tout n≥3.

Nous nous contenterons ici d’étudier les solutions du casn=2 de cette équation. La démonstration se trouve en libre accès sur internet ; les plus curieux pourront en trouver l’adresse à la fin de ce cours (mais il faut un solide bagage mathématiques pour n’en comprendre que les premiers mots...)

1 Tripletspythagoriciens ;définition et premières pro priétés Définition 1 (Triplet pythagoricien)On appelle triplet pythagoricien la donnée de 2 2 2 3 entiers(x;y;z)vérifiant l’égalité : x+y=z . 2 22 Exemple 1.1(3; 4; 5)est un triplet pythagoricien : en effet,3+4=9+16=25=5. (8; 15; 17)en est un autre. Ces triplets vous semblent familiers ? Rien de plus normal : vous les avez en effet ren contrés dans de nombreux exercices de géométrie sur le théorème de Pythagore...

InterprétationSi(x;y;z)est un triplet pythagoricien, alors un triangle de mesures x,triangle rectangle dont les côtés sont eny et z sera rectangle. Réciproquement tout tiers induit un triplet pythagoricien.

3 Illustration

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Ce triangle rectangle est construit à partir du triplet pythagoricien(3; 4; 5).

4 1 Fermat a énoncé ce théorème en 1641 ; il aura ainsi fallu plus d e 350 ans pour en achever la démons tation.

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