Examen Terminal Mécanique des fluides
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Description

  • redaction
C.P.I 2 - Chem.I.St 2 : 2010-2011 Examen Terminal Mécanique des fluides Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
  • piηa −→
  • ———————— données ————————
  • champ de pesanteur terrestre
  • particule d'oxyde de silice de masse volumique
  • forces de pression
  • résultante
  • particule
  • particules
  • fluide
  • fluides

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Langue Français

Exrait

.C.PI2-hCmeI.S.t2:02012-01ExamenTerminal
Mécaniquedesfluides

Lecandidatattacheralaplusgrandeimportanceàlaclarté,àlaprécisionetàlaconcision
delarédaction.Siuncandidatestamenéàrepérercequipeutluisemblerêtreuneerreur
d’énoncé,illesignalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantles
raisonsdesinitiativesqu’ilaétéamenéàprendre.

uDére:2eHruse03im.n1qéiupeneesgiantne:JimmyRoussel

2?ria’lsnadnoisnepsusneretsertnesiupserèisuopsedeuqsuovzeuqilpxetnemoC.4?soperuaetseric-elecnoitidnoceleuqàzesicérp,elucitrapalrustnesigaiuqnoiserpedteruetnasepedsecrofseleuqtnarédisnocennE.3?tuaveuQ.etnatluséraleuqisniaelucitrapalrusnoiserpedsecrofselzetnesérpeR.noyarederèhpsenutseeuqimulovesamedelucitrapeteC.0edutitla’làediuflelsnadeégremitnemetèlpmocteelibomiediloselucitrapenuerèdisnocnO.2.)noitart-snomédenuednamedno(ediufludniesua)noiserpalednoiserpxe’lzesilbatÉ.1.imulovesamlbiserpmocniésopuecapse’lepucoediufleL.0=iserpalexanuarépmetalàunetniamteemrofinuruetnasepedpmahcelsnadsoperuaediuflnuerèdisnocnO:ertseretruetnasepedpmahCnisd:seuqiréhpsseénèhpsenurusecafrusedtnemélÉBernoulli

Questionsdecours

v~
(
r~,t

:Laphysiquedessuspensions
(

Cθϕθdd

°2rS=

0FA

2z>

àN
a
=6
,
02
.
10
23
mol
.

1
k
B
=1
,
38
.
10

23
J
.
K

1
η
=10

3
Pa
.
s
η
=1
,
8
.
10

5
Pa
.
s
re,encoordo
g
=9
,
8m
.
s

2

rture
T
.OnnoteO
z
z>
0
etests

iascendant
et
P
0
edezP(

aIÉquilibred’uneparticulesolidedansunfluide

’g~

lznoneµeuq

eµp

da

é−→FA

tisocsiV:C°02àuae’ledétisocsiV:namztloBedetnatsnoC:ordagova’derbmoN—seénoD—.setnadnepédnitnemegraltnosseitrapsetneréffidseL.erèhpsomta’lsnadserèisuopseduoertuanusnadediuflnu’dsnoislumésed,elpmexerap,emocediuflnusnadsnoisnepsussededuté’làércasnoctnemerèitnetseemèlborpeL)stniop71.elbiserpmocniteneinotwenxueuqsivediuflnusnad)esetivedpmahcelrefiirévtiodeuqseleitrapseévirédxuasnoitauqéxuedselzenoD.3?neinotwenediuflnu’uqec-tse’uQ.2.)noitacilpa’dsnoitidnocselaresicérpno(tiafrapediuflnuruopedemèroéhtelzecnonE.1)stniop3(
3(M:)(seuqiréhpsseénodroocneesetivedpmahalsnadfuas,étivargaledteffe’leitrapetecsnadegilgénesetivedemrofinuengilitcertseediufludtnemevuoruotuaerianoitatsemigérneeluocé’seuqimulovamedelbiserpmocniediuflnU.eriotarobaludleitneréf-érelsnadelibomeunetniamnoyaredeuqiréhpsediloselucitrapenusnorédisnocsuoN.ria’lsnadsiup,uae’lsnadnoisnepsusneeuqimulovesamedecilisededyxo’delucitrapenuruopetimilnoyarelzeluclaC.C°02ederutarépmetenuàecalpesnO.8.noisnepsusneelucitrapenu’dnoyaruaetimilruelavenuetsixeli’uqsrolazertnoM.noyarnosàerueirépustseeneyomedutitlanosisnoisnepsusnetseelucitrapaleuqerèdisnocnO.7(enneyomedutitla’leuqzertnoM.6.edruelavaltseeleuQetnatsnocenutseùod:tircé’s,sedutitlaselertne,emulovedteeuqimulovesamedediloselucitrapalrevuortedétilibaborpaleuqtemdanO:euqitsitatselèdomnu’dedia’lànoisnepsusneselucitrapednoititrapéraltircédnO.5µ>µp

A

V

z
et
z
+
d
z
P
(
z
)=
Ae
[

β
(
µ
p

µ
)
Vgz
]
d
z
1Z
et
β
=
k
B
T
.
∞d
P
(
z
)
?Endéduirelavaleurde
A
0z
m
vaut:
TkBz
m
=
µ
p

µ
)
Vg

a`

µ
p
=2
,
6
.
10
3
kg
.
m

3

IIÉcoulementd’unfluideparfaitautourd’uneparticuleso-
edil

,θ,rϕ

aesdelaparticule.
Loindelaparticule
,lem
U~
=
Uu
−→
z
etsapre
s
ionvaut
P
0
.On
questionII-5.Ons’intére
s
eauc
v~
(
M
)=
v
r
u
−→
r
+
v
θ
u
−→
θ
+
v
ϕ
u
−→
ϕ
z

→−ur→−uϕr
,
θ
,
ϕ
)

−→
u
−→
θ
Uθray→−uϕϕx

nadesoppusnO4d:étisocsivalàeudtnemeliasicedecrofenuecrexe’s,elucitrapaledecafrusedtnemélénuruseuqertnomnO.elpmissaptse’nelucitrapalrusediuflelrapeécrexetnemeliasicedecrofaledelarénégnoiserpxϕ,θ,r

eCv
r
=
B
+
r
3
cos
θ
Cv
θ
=

B

3
sin
θ
r2vϕ

’CBtehéorèmede
Bernoulli
montrezquelechamp
P
(
r,θ,ϕ
1

a

3
"
a
3

a
3
!#
P
(
r,θ,ϕ
)=
P
0
+
µU
2
2

3

31

3
sin
2
θ
rrr4

Lr

.Stokes

4IIIÉcoulementd’unfluidevisqueuxautourd’uneparticule
solide

.v∂→−F
v
=
η
θ
(
r
=
a
)
d
Su
−→
θ
r∂

Sd

lru→−Fp

η
constante.
nolds(
R
e
=
µηUa

3
aa
3
!
v
r
=1

+
3
U
cos
θ
rr22! 3aa3v
θ
=

1

4
r

4
r
3
U
sin
θ
v0=ϕP
(
r,θ,ϕ
)=
P
0

3
ηUa
cos
θ
2r

→−Fp

zeluclaC.3?noiserpedsecrofsedetnatluséralétneirotsesnesleuqsnaD.euqiréhpselucitrapastnecrexe’siuqnoiserpedsecrofselzetnesérpeR.2.seétcepserneibtnossetimilxuasnoitidnocseleuqzefiiréV2:tnevircé’ssnoitulossel,)yeRedserbmonselbiafselruopeuqértnoma.1étisocsivenuedèsopediufleleuqtnanetniamtnarédisnocneelibomierèhpsenu’druotuaerianoitatstnemeluocéneediuflnu’demèlborpeldnerpernO.zetnemoC?euqiréhpselucitrapalrusediuflelrapeécrexeecrofaltseeleuQ.euqiréhpselucitrapalrustnecrexe’siuqnoiserpedsecrofselzetnesérpeR.32:tircé’s)noiserpedtudedia’lÀ.2.setimilxuasnoitidnocsededia’làsetnatsnocxuedsedruelavalzevuorT.erèhpsaledertnecuaMtniopudecnatsidaltseùo0=:emrofalsuos,)(Mtniopua,tircé’sesetivedpmahcelruopnoitulosaleuqtemdanO.1.tiafraptseediufleleuqeitrapetecs
itrapenutnanetniamehcâlnO.7=tircé’serèhpsalrusxueuqsivediuflelrapeécrexeelatotecrofaleuqtnemelanfizertnoM.6.zeluclaC.5?tnemeliasicedsecrofsedetnatluséraleétneirotsesnesleuqsnaD.euqiréhpselucitalrustnecrexe’siuqtnemeliasicedsecrofselzetnesérpeR→−Fv

ag,

η

v∞a

µ,10

v∞

→−FT→−FT

6
πηa

U

pra−→Fv

µp

.,62

3

µµ,p3−.

5.ria’lsnadsiup,uae’lsnadnoisnepsusnem=noyaredmgk01=euqimulovesamedecilisededyxo’delucitrapenuruopzeluclaC.8.te,ednoitcnofnearemirpxeno’leuqetimilesetivenutreiuqcaelucitrapaleuqzertnom,elbalavetseretnedécérpnoitaleraleuqtnatemdanE.ruetnasepedpmahcelsnadsoperuatnemelaitiniediuflnusnadeuqiréhpseluc
.3ùo’d(Mtniopnuteinfini’làtniopnuertnetnaruocroéhteleuqilpanO.2diloselsnadrerténépsaptuepenediuflelracetimilxuasnoitidnoC.1m.m.8.7.6.5.edutitla’lcevatnemeleudargtîorcédiuqnoititrapérenu,erbiliuqé’là,tiudorptenoitatnemid-ésetèlpmocenuàesopo’seuqimrehtnoitatiga’L.ruetnasepedeigrené’làelbarap-moctneivedeuqimrehtnoitatiga’deigrené’l,selucitrapsetitepsèrtselruopsulpeD–.noitatnemidésalrehcêpmetenoisnepsusneselucitrapsedrinetniamruopnoitcevnoceduepnuiayli’uqtffiuslI.)noyarudéracuaelenoitroporpnoitatnemidésedeset-iv(setiteptnossele’uqtnemetnelsulptnatua’dtnebmotselucitrapseldroba’dtuoT–:snosiarxuedruopnoisnepsusnetnetserselucitrapsetitepseL.4issoperuaetserelucitrapaL.3:edèmihcrA’deésuoprofeteC.tuahelsreveégiridnoiserpedecrofenuetlusérneli;sabnesetnatrlptnosnoiserpedsecrofseL.2erbiliuqé’lA.1Réponses
PartieI

→−f
ext
=
−r→
P
⇒−
µg
=
dd
Pz

P
(
z
)=
P
0

µgz
usimpo
ceestla
µµp=

F
A
=
4
/
3
πa
3
µg

→−s:
v~
=
U
àl’infiniet
v
r
=0
en
r
=
a
e.Onendéduit
B
=
U
et
C
=

a
3
U
.
èmedeBernou
l
ilelongd’unelignede
r,θ,ϕ
)
.Onobtient
21
µv
2
+
P
(
r,θ,ϕ
)=
21
µU
2
+
P
0
1

a

3
"
a
3

a
3
!#
P
(
r,θ,ϕ
)=
P
0
+
µU
2
2

3

31

3
sin
2
θ
rrr42P
(
a,θ,ϕ
)=
P
0
+
21
µU
2
[1

49
sin
2
θ
]
.Onremarqueque
P
(

z
)=
P
(
z
)
,autr
résultantedesforcesdepre
s
ionestdansleplan(
xOy
).Co
m
eilyainvariances
ϕ
,alor
R
P
d
−→
S
PartieIII
→−Conditionsauxlimites:
v~
=
U
àl’infiniet
v~
=

0

en
r
=
a
danslecasdesfluidesvisqueux).
P
(
a,θ,ϕ
)=
P
0

32
ηaU
cos
θ
.Lapre
s
iondiminuequand
z
e
s
iondirigésuivant

u
−→
z
→−uz

R0

d
P
=1

A
=
(
µ
p
k

µT
)
Vg
B∞TkRBz
m
=
0
z
d
P
(
z
)=
(
µ
p

µ
)
Vg
h
kT
i
1
/
4
z
m
>a

a<a
`
avec
a
`
=
(
µ
p

µ
B
)
4
/
3
πg
Pourl’eau,
µ
=1
0
kg
.
m

3
et
a
`
=0
,
50
µ
Pourl’air,
µ
=1
,
2kg
.
m

3
et
a
`
=0
,
4
µ
PartieII

6.tnaviusétneironoiserpedsecrofsedetnatlusérenucnodterpedtneidargnucnodaylI.etnemgua.2esetivaledétiunitnoc(.1.)tnaluclacnerefiiréveltuepno(eluntnemécroftseetnatluséralstnaviual,tidtneme
:edelaixaetnasopmocaltnamosnecnodtneitbo’setnatluséraL.5tnaviustnemeriasecéntsesesueuqsivsecrofsedetnatluséraleuqetroseletedeésoposruojuottseecrofeteC.=.4:rergétnisiupzOtnaviusetnasopmocalreluclactuaflI.=.3v∞

πηav

=
Vg
(
µ
p

µ
)

v

t
v

=3
,
5
.

8
.

1
3
,
1
.

6
.

1

2(
µ
p

µ
)
ga
2
η

−→Fdv

→−Fpd

R

P
d
Su
−→
r


32
ηaU
d
S
sin
θu
−→
θ

ZF
p,z
=

P
(
a,θ,ϕ
)
d
S
cos
θ
=2
πηaU

F=z,v→−FT

→−uθà→−u.z→−FvdZZZZη∂v
θ
(
r
=
a
)
d
Su
−→
θ

u
−→
z
=

3
ηaU
sin
3
θ
d
θ
d
ϕ
∂r
2
θ,ϕ
F
−→
p
+
F
−→
v
=6
πηa

U

Uaηπ4

7sm01=,ria’lsnaDsm01neitbonouae’lsnaD.89=6:ano,noitcirfedecrofalesnepmocedèmihcrA’deésuopalteruetnasepaleuqsroL.7=,tnemelaniF.6=

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