EXEMPLES D ETUDE DE LA CONVERGENCE DE SERIES NUMERIQUES

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b p a $ a - ¥ ˛ p $ - $ ¥ a - ¥ b ¥ a a ¥ a " - ˛ * * ˛ a ˛ g a a b b b b ¥ b b g ˛ EXEMPLES D'ÉTUDE DE LA CONVERGENCE DE SÉRIES NUMÉRIQUES Exercice 1 Soient et deux réels. 1 Le but de cet exercice est l'étude des séries u où u = . (Séries de Bertrand)n n n (lnn)n 2 1+ 1) Étude du cas > 1. On pose = . 2 1 Démontrer : u = On n En déduire la nature de la série de Bertrand dans ce cas. 2) Étude du cas < 1. B Démontrer : B , N , n , (n N u )n+ n En déduire la nature de la série de Bertrand dans ce cas. 3) Étude du cas = 1. 1 a) On considère l'application ƒ : t sur ]1 ; + [. t(ln t) Démontrer : n , ƒ décroissante sur [n , + [0 0 b) On suppose = 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand diverge. c) On suppose > 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand converge. d) Étudier le cas < 1. Commentaire : Cet exercice classique traite des séries de Bertrand. Il a l'avantage, d'utiliser diverses méthodes pour étudier une série (comparaison, avec une série de Riemann, comparaison avec une intégrale) Exercice 2 n 1( ) Soient et u la suite définie sur par : u = .n+ n +1 1. Montrer que la série de terme général u est convergente et que :n 1 dt u = (Utilisation du TSCSA et des séries géométriques)n 0 1+ tn=0 n n n( 1) ( 1) ( 1) 1 2. En déduire : = ln 2 = = ln 2 + n +1 2n +1 4 3n +1 3 3n=0 n=0 n=0 Commentaire : cet exercice a pour but l'étude d'une série alternée. Grâce à une expression de sa somme, on retrouve quelques résultats classiques. Exemples d'étude de la convergence de séries numériques Page 1 G. COSTANTINIq a · p · q · a · ¥ · q · ˛ a a b a ¥ q a ¥ - a ¥ - · - * ¥ ˛ ¥ b a q $ ¥ q ˛ p a a - * a q - ˛ ¥ q a Exercice 3 Soit ]0, 2 [. ine 1. Montrer que la série est convergente. (Séries à termes complexes - Utilisation de la règle d'Abel) n n 1 2. Étudier de deux manières différentes la limite de la suite I ( ) définie par :( )n n n ikt I ( ) = e dt (Utilisation du lemme de Lebesgue)n k=1 in e cos(n ) sin(n ) 3. En déduire les valeurs de , et . n n n n =1 n =1 n=1 Commentaire : cet exercice a pour but l'étude d'une série à termes complexes. On utilise la règle d'Abel. Exercice 4 Démontrer les équivalents suivants : n 1 ~ ln n +k k =1 n 1n1 ~ pour 0 < 1 + 1k k =1 + 1 1 ~ pour > 1 1+k ( 1)n k =n+1 Commentaire : deux méthodes possibles, soit comparer à une intégrale, soit utiliser des séries télescopiques. Exercice 5 Démontrer la règle de Raabe-Duhamel : Soit (u ) une suite de nombres réels strictement positifs telle que :n n u 1n+1 ( , ) ]1 ; + [ tels que : = 1 + O+ u n nn 1. Si 1 alors la série u diverge.n 2. Si > 1 alors la série u converge.n 2 4 ... (2n) Application : étude de la convergence de la série de terme général : u = n 3 5 ... (2n +1) Exemples d'étude de la convergence de séries numériques Page 2 G. COSTANTINIp ¥ ˛ p p p - ¥ ˛ " ˛ ˛ ¥ ˛ Exercice 6 Formule de Stirling n21) Pour tout entier naturel n, on pose I = cos t dt . (Intégrales de Wallis)n 0 a) Calculer explicitement I et I .2p 2p+1 I In+1 nb) Démontrer que la suite (I ) est décroissante. En déduire : n , 1 .n n I In+2 n+2 c) Démontrer que : I ~ I .n n+1 + d) Démontrer que la suite ((n + 1)I I ) est constante. En déduire : I ~ .n n+1 n n + 2n n n! e *2) On considère la suite (u ) définie par : u = pour n .n n nn *a) On pose v = ln(u ), pour n . En étudiant v v , démontrer que la série de terme général vn n n+1 n n converge. En déduire que la suite (u ) converge vers une certaine limite .n b) À l'aide de la question 1)d), démontrer que : = 2 . n n c) En déduire la formule de Stirling : n ! ~ 2 n + e Exemples d'étude de la convergence de séries numériques Page 3 G. COSTANTINI" ˛ " e g * ˛ - " a ˛ " * $ ˛ ˛ ¥ ˛ - a a a b ﬁ - ¥ g a a - ˛ - a b e a ˛ a a $ b e * - b b - ﬁ b ¥ g b - b b g g EXEMPLES D'ÉTUDE DE SÉRIES NUMÉRIQUES : SOLUTIONS Exercice 1 1 21) On a, pour tout n 2 : n u = n (ln n)n 1 12Or, lim n (ln n) = 0 puisque < 0. C'est à dire : n + 2 , N , n , (n N n u )n+ En particulier pour = 1 : 1 N , n , (n N u )n n 1 Comme > 1, la série de terme général converge. n Du test de comparaison des séries à termes positifs, on déduit la convergence de la série de terme général u .n 1 Remarque : dans le cas où est positif, du fait de la décroissance de l'application t sur , on peut+ t faire le raisonnement plus rapide suivant : 1 1 On a, pour tout n 2 : n u = n (ln n) (ln 2) 1 M En posant M = : u n (ln 2) n 1 Or, la série de Riemann de terme général converge (car > 1). n Du test de comparaison des séries à termes positifs, on déduit la convergence de la série de terme général u .n Conclusion : la série de Bertrand converge. 1n 2) On a, pour tout n 2 : n u = n (ln n) 1 n Or, 1 > 0, donc : lim = + n + (ln n) Par conséquent, il existe M et N tels que+ n , n N n u Mn M C'est-à-dire : n N u n n 1 Or, la série de Riemann de terme général diverge (série harmonique). n Du test de comparaison des séries à termes positifs, on déduit la divergence de la série de terme général u .n Conclusion : la série de Bertrand diverge. Exemples d'étude de la convergence de séries numériques Page 4 G. COSTANTINIb ¢ S b - b b - b b b b - b ¥ - - b - b b b - - b - Û - b b b - ¥ b - S - b b - b - b ¥ b b b b b - b - b - - Û b b b - b b - b b - ¢ b b b b b - 1 3) a) Étudions le sens de variation de l'application ƒ : t sur ]1, + [ : t(ln t) 1(ln t) + (ln t) ln t + ƒ est dérivable et ƒ (t) = = 2 2 2 +1 t (ln t) t (ln t) On a : ƒ (t) 0 ln t + 0 t e Par conséquent, ƒ est décroissante sur ]e , + [. Posons n = max(3, E(e ) + 2).0 Ainsi, ƒ est décroissante sur [n 1, + [.0 Et pour tout n n :0 n+1 n11 1 dt dt n n 1t(lnt) n(ln n) t(ln t) D'où, par sommation, pour n allant de n à N :0 NN +1 N1 1 1 dt dt n n 10 t(ln t) n(lnn) 0 t(ln t)n=n0 u u Par changement de variable u = ln t (et donc t = e , dt = e du) dans les intégrales : Nln(N +1) ln(N )1 1 1 du du ( ) ln(n ) ln(n 1)0 u n(lnn) 0 un=n0 Nous pouvons maintenant répondre aux questions b), c) et d) : b) = 1. Dans ce cas, on obtient : N 1 ln(ln(N + 1)) ln(ln(n )) ln(ln(N)) ln(ln(n 1))0 0 n(lnn)n=n0 Or, la suite (v ) définie par v = ln(ln(n + 1)) ln(ln(n )) diverge.n n 0 Il en va donc de même de la série de Bertrand. c) > 1. Dans ce cas, on obtient : ln( N )N 1 1 1n(lnn) (1 )un=n ln(n 1)0 0 N 1 1 1 1 1 11n(lnn) (ln(n 1)) (ln(N))0n=n0 1 Or, comme > 1, tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini. 1(ln(N )) Les sommes partielles sont donc majorées donc la série de Bertrand converge. d) < 1. Dans ce cas, on peut procéder comme ci-dessus en utilisant l'autre inégalité de ( ) pour prouver que les sommes partielles divergent. Mais il y a plus simple ! 1 1 n(ln n) n ln n Et d'après le cas = 1, la série de Bertrand diverge. Exemples d'étude de la convergence de séries numériques Page 5 G. COSTANTINI

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