Exemples de calcul exact de la somme d une série numérique

Exemples de calcul exact de la somme d'une série numérique

4

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !

4

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

Langue

Français

Exemples de calcul exact de la somme d'une série numérique

Publié par

Langue

Français

exercice exercices exercice de

Exemples de calcul exact de la somme d'une série

Page

1

G. COSTANTINI

EXEMPLES DE CALCUL EXACT DE LA SOMME D'UNE SÉRIE NUMÉRIQUE

Dans les exercices de cette fiche, tout calcul de somme d'une série sera précédé d'une étude de convergence.

Exercice 1

Calculer la somme des séries suivantes :

n

n

n

2

0

=

∞

(Utilisation d'une série géométrique)

∞

=

0

2

2

n

n

n

(Utilisation d'une série entière)

2

1

4

2

3

n

n n

n

-

-

=

∞

(

)

(Décomposition en éléments simples d'une fraction du type

P

P

n

n

+

2

où

P

n

+2

est scindé simple à racines dans

)

1

0

(

)(

)

n

n

n n

-

-

=

∞

α

β

(

α

<

β

<

n

0

)

(Idem que ci-dessus mais cas général pour

n

= 0)

1

2

1

1

k

k

n

n

=

=

∞

(Toujours une décomposition en éléments simples suivie d'un télescopage particulier)

∞

=

-

2

2

1

1

ln

n

n

(Télescopage particulier)

arctan

1

1

2

0

n

n

n

+

+

=

∞

(Trigonométrie puis télescopage)

n

n

n

n

1

2

4

1

+

+

=

∞

∞

=

+

-

2

)

1

(

)

1

(

1

n

n

n

n

∞

=

-

-

2

)

1

(

)

1

(

n

n

n

n

(Utilisation d'une série entière)

Exercice 2

Cet exercice utilise le résultat :

ζ

(2)

=

1

2

1

n

n

=

∞

=

π

2

6

(Voir exercice 8 pour une démonstration originale)

Calculer la somme des séries suivantes :

1

2

1

2

0

(

)

n

n

+

=

∞

∞

=

-

1

2

)

1

(

n

n

n

1

1

2

1

[ (

)]

n n

n

+

=

∞

∞

=

+

1

2

)

1

(

1

n

n

n

9

1

9

1

2

2

2

1

n

n

n

+

-

=

∞

(

)

36

1

36

1

2

2

2

1

n

n

n

+

-

=

∞

(

)