Exercice 1 Exercice 2

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  • cours - matière potentielle : soit
Departement Informatique Parcours Developpeurs d'applications et charge d'affaires Controle terminal du lundi 12 Decembre a 8h00 (2h00) La qualite et la precision de la redaction entrent pour une part importante dans l'appreciation des copies On appelle Solution Convenable toute suite finie d'affirmations correctement justifiees, tres lisiblement ecrites, parfaitement redigees et sans faute d'orthographe. Seules les solutions convenables sont notees positivement. Sont autorises : – Une seule feuille de notes de dimension maximale 21cm x 29,7 cm – Une seule calculatrice – Les regles graduees pour souligner les titres et resultats importants La langue d'expression de l'examen est le Franc¸ais Vous pouvez sautez des
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D´epartementInformatique ParcoursD´eveloppeursdapplicationsetcharge´daaires Controˆleterminaldulundi12De´cembrea`8h00(2h00)
Laqualit´eetlapr´ecisiondelar´edactionentrentpourunepartimportantedanslappr´eciation des copies On appelle Solution Convenable toute suite finie d’affirmationsrrocetcetnemtsuji´ees, tr`eslisiblement´ecrites,parfaitementre´dige´esetsansfautedorthographe. Seuleslessolutionsconvenablessontnot´eespositivement. Sontautoris´es: – Uneseule feuille de notes de dimension maximale 21cm x 29,7 cm – Uneseule calculatrice Lesr`eglesgradu´eespoursoulignerlestitresetr´esultatsimportants LalanguedexpressiondelexamenestleFran¸cais Vouspouvezsautezdesquestions,enlesadmettant,apr`eslavoirclairementsignal´esur la copie.
De´butdelexamen
Exercice 1 Question de cours Soit{Ω,F,P}prceabobunpaes.S´eisiltoiX: Ω−→Rrurer´atoie.Poeelliravenue´laelba λR,nodie`ocsnqireeularencfoontim´nu   2 ϕ(λ) =E(Xλ) D´emontrerqueleminimumdeϕest atteint enλ=E(Xteinneruneonndtee)oi.ntetapr´r
Exercice 2 Application directe du cours Soit{Ω,F,P}neuacspil´seetpeorabibX: Ω−→Rvraerri´aeebllleal´eautnoeietdesirce` defonctiondere´partitionFXpein:rae´d 0 six <0 1 si 06x <1 2 FX(x) =si 16x <2 3 11 si 26x <3 12 1 six>3
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1. Construirele graphe deFX   1 2. DonnerPX > 2 3. DonnerP({2< X64}) 4. DonnerP({X= 1})
Exercice 3 Laloideprobabilit´eduncoupledevariablesale´atoiresr´eelles(X;Y)estraele´peodnn tableau suivant : Y 0 +1+2 X-1a2a a +1 0a a 0 3a0a 1. Calculeza 2.De´terminerlaloimarginaledeXet deYpendnd´eancentidae´leioidn.Urlseliti pourde´cidersiXetYinntepd´daenesnt.os 2 2 3.Utiliserlesloismarginalespourd´etermierE(X),E(Y),σ(X),σ(Y) 4.D´eterminerlesloisdesvariablesal´eatoiresS=X+YetT=XY.SetTsont-elles ind´ependantes? 5. CalculerE(S)
Findelexamen
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Corrige´delexamen
Exercice 1 Question de cours Soit{Ω,F,P}itSoe.s´libiaborpecapsenuX: Ω−→Rruo´eelle.Peatoirerailbae´lnuvera h i 2 λRioctumnneleronafnocn`diso,equri´eϕ(λ) =E(Xλ)miniuelemume´Dqrertnom deϕest atteint enλ=E(X)enetnndounernteirpreate´noit. h i 2 Cestunequestionquia´ete´d´emontre´eencours.Ilsutded´evelopperE(Xλ) . h i   2 2 2 E(Xλ) =EX2λX+λ    2 2 =EX2λE(X) +Eλ   2 2 Ceciestobtenuparlaline´arite´delesp´erance.Or,Eλ=λ, et donc,   2 2 ϕ(λ) =λ2λE(X) +EX b ϕnr´eenocegeddmoˆnsudeunnclypoedostλqui est minimum enλ0= =E(X). Le minimum est 2a h i 2 2 donc :ϕ(E(X)) =E(XE(X)) =σ(X) Onpeutdonclinterpre´terendisant,quausensdesmoindrescarre´s,cestlaconstanteE(X) qui approche 2 lemieuxlavariableal´eatoireX, et que la varianceσ(X´d)irceispersiotbienladailbednlevaraX
Exercice 2 Application directe du cours Soit{Ω,F,P}nestpu´seeibilorabcapeX: Ω−→Ruavenbairalleat´ereoieer´lldesirce`eted fonctionder´epartitionFX´d:rapeine 0 six <0 1 si 06x <1 2 FX(xsi 1) =6x <2 3 11 si 26x <3 12 1 six>3 1.Construire le graphe deFX
FigurefaledehpargeL1tioiner´epartonctiond
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  1 2.Donner PX > 2    1 1 Enpassanta`l´eve´nementcontraire,ilestconnuque:X >=X6, et donc : 2 2     1 11 1 PX >= 1PX6= 1FX= 2 22 2 3.Donner P({2< X64}) Encours,ilae´te´vuque:P({2< X64}) =FX(4)FXdonc, ici,(2) ; 11 1 P({2< X64}) = 1= 12 12 4.Donner P({X= 1}) Nous avons toujours :{X61}={X= 1} ∪ {X <1}, et doncP({X61}) =P({X= 1}) + P({X <1}`u)od, P({X61})P({X <1}) =P({X= 1}) 2 11 CommeP({X61}et) =P({X <1}, nous obtenons que) =P({X= 1}) = 3 26 Exercice 3 Laloideprobabilite´duncoupledevariablesale´atoiresr´eelles(X;Y)raelestodnne´pe tableau suivant : Y +20 +1 X-1a2a a +1 0a a 0 3a0a 1.Calculeza X Il faut partir deP({X= 1;Y=j}) = 1. Donc, ici, nous devons avoir : 10a=eiradt`esc1, i,j 1 a= 10 2. (a)deD´eterminrealolmiraiganelXet deY Pour trouver la loi deX, il suffit d’additionner par lignes, et pour trouver celle deY, d’addi-tionner par colonnes. – Ainsi,pourX, 2 P({X=1}) =4a= 5 1 P({X= 1}) =2a= 5 2 P({X= 0}) =4a= 5 – EtpourY, 2 P({Y= 0}4) =a= 5 3 P({Y= 1}) =3a= 10 3 P({Y= 2}) =3a= 10 (b)liseUtiurd´ecidersidniepe´nadnopecadrln´eioitelndXetYostnni´dpeneadtn.es Lesdeuxvariablesale´atoiresXetYst,eittrnusoepe,lueomtsntiusentinsoendad´epiet toutj, P({X=i;Y=j}) =P({X=i})×P({Y=j})
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