Exercices de mathématique sur les Produits scalaires
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1°S Le produit scalaire Exercices Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs. AExercice 1. ABC est un triangle et I est le milieu de [BC]. Données : AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3. Calculer : 1) AB AC (introduire le point I) 2 22) AB + AC B I C 2 23) AB – AC 4) AB et AC. C Exercice 2. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC]. ICalculer les produits scalaires suivants : 1) BA BC 2) CA CI A B3) AB AC AI . Exercice 3. M N MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré. Calculer les produits scalaires suivants : I1) MN QP 2) MN PN 3) IN IP 4) QI NI . Q P Exercice 4. ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et AB AC = 4. 21) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B (calculer BC …) – 1 2) Calculer CA CB puis une mesure des angles A et C (en degré à 10 près). Exercice 5. ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Calculer AB AD . En déduire BD. Exercice 6. ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6. 1) Calculer AB AD . 2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP. Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB]. D C θ A BE 1) Calculer les longueurs AC et DE. 2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculer le produit scalaire AC DE .

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Publié le 23 octobre 2013
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Langue Français

Exrait

1°S Le produit scalaire Exercices

Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.

AExercice 1.
ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
Données : AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3.
Calculer :
1) AB AC (introduire le point I)
2 22) AB + AC B I C
2 23) AB – AC
4) AB et AC.
C
Exercice 2.
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].
ICalculer les produits scalaires suivants :
1) BA BC
2) CA CI
A B3) AB AC AI .

Exercice 3. M N
MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.
Calculer les produits scalaires suivants :
I1) MN QP
2) MN PN
3) IN IP
4) QI NI .
Q P

Exercice 4.
ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et AB AC = 4.
21) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B (calculer BC …)
– 1 2) Calculer CA CB puis une mesure des angles A et C (en degré à 10 près).

Exercice 5.
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.
Calculer AB AD . En déduire BD.

Exercice 6.
ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.
1) Calculer AB AD .
2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP.
Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].
D C
θ
A BE

1) Calculer les longueurs AC et DE.
2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculer le produit
scalaire AC DE .
3) En déduire la valeur de l’angle θ = DE , AC en degrés à 0,01 près.

2 2Exercice 8. A quelles conditions sur les points A, B, C, D a-t-on AB AC AB AC ?
Justifier avec tous les arguments et calculs nécessaires.

Exercice 9.
2 2 2 2 2 2
1) Démontrer que : 4 u v = u v u v et u v u v = 2 u v .
2) Interpréter la deuxième égalité à l’aide d’un parallélogramme.
2 2
3) Démontrer que : u v u v = u v .
4) En déduire une interprétation géométrique.

Exercice 10. C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan.
Q
P
A
O
P'

Le but du problème est d’établir la propriété suivante :
Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit
scalaire AP AQ est constant.
1) Soit P’ le point diamétralement opposé à P. Démontrer que AP AQ = AP AP' .
22) Démontrer que AP AP' = AO – r ².
3) Conclure.Problèmes d’orthogonalité.

Exercice 11.
Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont
concourantes.
Soit ABC un triangle. On note A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC),
(AC) et (AB). On note H le point d’intersection de (AA’) et (BB’) (on ne sait pas encore que H (CC’)).
1) Justifier les valeurs des produits scalaires BH AC et CH AB .
2) Calculer AH BC (indication : décomposer BC avec le point A, puis développer…)
3) Conclure.
AB AC
4) En déduire que .
AB' AC'

Exercice 12.
ABCD est un tétraèdre régulier (toutes arêtes sont de même longueur) de côté a, I est le milieu du côté
[AB] et J est le milieu du côté [CD].
1) Calculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : AB AC et AB DA .
2) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB DC .
3) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB IJ
1
[ indication : démontrer d’abord que IJ BC AD …]
2
4) Que représente le plan (IJCD) par rapport au segment [AB] ? Justifier.


Géométrie analytique.

Exercice 13.
Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser le centre et le
rayon du cercle.
2 21) x + y – 2 x – 6 y + 5 = 0.
2 22) x + y – x – 3 y + 3 = 0.

Exercice 14.
On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).
1) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].
2) Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Exercice 15.
Dans un repère orthonormal O, i , j , on donne un point I (2 ; – 3).
1) Déterminer l’équation du cercle C de centre I et de rayon R = 5.
2) Démontrer que le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.
3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C.

Exercice 16*.
Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes.
1) Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B, 2) et (C, – 4).
2) Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
3) Calculer AB AC . L’angle A est-il droit ? Exercice 17.
Soient A (3 ; 1) et B (– 2 ; 4).
Déterminer l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient :
(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0.

Exercice 18.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, i , j .
Déterminer l’équation du cercle C passant par A (2 ; 1) et B (1 ; 3) et dont le centre est situé sur la
droite d d’équation x + y + 1 = 0 [indication : trouver d’abord l’équation de la médiatrice de [AB]…]

Exercice 19.
Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ? Justifier.

Exercice 20.
L’équation suivante est-elle l’équation d’une sphère ? Si oui, préciser son centre et son rayon.
1 2 2 2 x + y + z – y + 2 z + = 0.
2

Exercice 21.
Dans un repère orthonormal O, i , j , on donne A (– 2 ; 2) et B (2 ; 2).
1) Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].
2) Démontrer que pour tout point M du plan, on a :
2
AB 2 2 2 MA + MB = 2 MI + .
2
2 23) Démontrer que l’ensemble E des points M du plan tels que : MA + MB = 40 est un cercle C de
centre I et de rayon 4.
4) Déterminer une équation du cercle C .
5) Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
6) Soit λ un réel négatif. Comment choisir λ pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C ?
7) Déterminer une équation de la tangente d à C en Z.


Lieux géométriques (ou lignes de niveau).

Exercice 22.
Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.
1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure.
2) Calculer les produits scalaires suivants : BA BC , BC CA , IG IB , ainsi que la somme :
GA AC GB AC GC AC .
3) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : BM BC = 44.
4) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : MA MB MC AC = 0.

Exercice 23.
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
2 21) Démontrer que, pour tout point M du plan : MA – MB = 2 IM AB .
2 22) Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA – MB = 14. Exercice 24.
On considère un segment [AB] avec AB = 10 cm.
Déterminer l’ensemble des points M tels que :
1) MA MB = 1.
2 22) MA + MB = 5.

Exercice 25.
1) Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que :
2 2 2 2 MA + MC = MB + MD .
2) Soit ABCD un parallélogramme. A quelle condition sur le quadrilatère ABCD on t-on
2 2 2 2MD – MC = MA – MB pour tout point M du plan.

Divers.

Exercice 26. Distance d’un point à une droite.
A. Le point de vue vectoriel.
Le point A et le vecteur n non nul étant donnés, on désigne par D la droite passant par A et de vecteur
normal n . Soit M un point quelconque et H le projeté orthogonal de M sur D.
1. Justifier que HM est le projeté orthogonal de AM sur n .
AM n
2. En déduire que MH = (distance de M à D).
n

B. Le point de vue analytique.
Soit D la droite d’équation a x + b y + c = 0 (a et b non nul) et A ( α , β ) un point de D.
On désigne par n le vecteur de coordonnées (a, b).
1. Montrer que pour un point quelconque M (x , y ) : AM n = a x + b y + c. 0 0 0 0 00
a x b y c0 0
2. En déduire que la distance à la droite D d’équation a x + b y + c = 0 est calculée par : .
2 2a b

C. Applications.
1. Calculs de distances.
Calculer dans chaque cas, la distance de M à le droite D.
a. M (1, 4) et D : 2 x – y – 6 = 0 b. M = O et D : 5 x – 3 y + 7 = 0
c. M (– 5, 7) et D : y = – 3 x + 2 d. M (– 1, 4) et D : 2 x – 5 = 0.
2. Tangente à un cercle.
a. Donner l’équation du cercle de centre (5, 1) et tangent à la droite D d’équation x + y – 4 = 0.
2b. A chaque réel m, on associe la droite d’équation réduite y = m x + 1 m . m
Montrer que les droites (m R) sont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le rayon. m
3. Bissectrices de deux droites.
a. Représenter graphiquement les droites D : 3 x + 4 y – 2 = 0 et D : 4 x + 3 y + 5 = 0. 1 2
b. Calculer la distance d’un point M (x, y) à D puis à D en fonction de x et y. 1 2
On note d et d ces distances. 1 2
2 2
c. A l’aide de la relation d d d d d d , montrer que l’ensemble des points M 1 2 1 2 1 2
équidistants de D et D est la réunion de deux droites et dont on précisera les équations. 1 2 1 2
d. Montrer, à l’aide de leur vecteur normal, que les droites et sont orthogonales. 1 2

Note : Par définition, les droites et sont les bissectrices de D et D . 1 21 2
1°S Le produit scalaire Correction des exercices

ADiverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.

Exercice 1. ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
Données : AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3. Calculons :
1) AB AC = AI IB AI IC = AI IB AI IB
B I C 2 2 2 2 = AI AI IB IB = AI – IB = 3 – 2 = 9 – 4 = 5.
2 2 2 2 2 22) AB + AC = AI IB AI IC = AI IB AI IC
= AI AI 2AI IB IB IB AI AI 2AI IC IC IC
2 2 2 = 2AI 2AI IB IC IB IC
  
0
2 2 2 = 2 3 + 2 + 2 = 18 + 4 + 4 = 26.
Ou on peut utiliser directement la formule de la médiane :
2 2 2 2 21 1AB + AC = 2 AI + AB = 2 9 + 4 = 18 + 8 = 26.
2 2
2 2 2 23) AB – AC = AI IB AI IC = AI AI 2AI IB IB IB AI AI 2AI IC IC IC
2 2 2 2 = AI 2AI IB IC IB AI IC
= 2AI IB IC = 2AI CI IB
= 2AI CB = 2 AI CB cos AI , CB
2 π 1 = 2 3 4 cos = 2 3 4
3 2
= – 12.
2 2L AB AC 2614) D’après les questions précédentes,on a : .
2 2L AB AC 122
C 2 2En faisant L + L , on obtient 2 AB = 14 donc AB = 7 et AB = 7 . 1 2
2 2En faisant L – L , on obtient 2 AC = 38 donc AC = 19 et AC = 19 . 1 2
I
Exercice 2. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].
Calculons les produits scalaires suivants :
π 11) BA BC = BA BC cos BA , BC = 5 5 cos = 25 = 12,5.
3 2
A B
2 2 2
2) CA CI = CI par projection sur (CI) donc CA CI = CI = 2,5 = 6,25.
3) AB AC AI = CA AB AI = CB AI = 0 car (AI) (CB).

M NExercice 3. MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.
Calculons les produits scalaires suivants :
1) MN QP = MN QP cos MN , QP = MN QP cos 0
I = 6 6 1 = 36.
2) MN PN = 0 car (MN) (PN).
3) IN IP = 0 car (IN) (IP).
2
4) QI NI = QI NI cos QI , NI = QI NI cos π = – 3 2 = – 18. Q PExercice 4. ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et AB AC = 4.
1) Comme AB AC = 4 0, alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
Démontrons que le triangle ABC est rectangle en B.
Pour cela, calculons :
2 2 2 2BC = BA AC = BA 2 BA AC AC
2 2 2 2 = BA 2 AB AC AC = 2 – 2 4 + 3 = 4 – 8 + 9 = 5.
2 2 2 2 2 2 2 2Comme AB + BC = 2 + 5 = 4 + 5 = 9 et que AC = 3 = 9 alors AB + BC = AC .
Ceci prouve (par le théorème de Pythagore) que le triangle ABC est rectangle en B.
22) Calculons CA CB : CA CB = CB BA CB = CB CB BA CB = CB = 5.   
0
Or, nous avons CA CB = CA CB cos CA , CB = 3 5 cos CA , CB = 3 5 cos CA , CB .
Ainsi, on a : CA CB = 5 et CA CB = 3 5 cos CA , CB donc 5 = 3 5 cos CA , CB .
5 5 5 5Donc : cos CA , CB = puis CA , CB 42° (Faire une figure, le triangle est direct).
15 33 5
Comme la somme des angles (géométriques) aigus d’un triangle rectangle est 90°, alors :
AB , AC 90 – 42 donc AB , AC 48°.

Exercice 5. ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Commencer par faire une
2 2 21
figure. Calculons AB AD avec une identité du cours : u v u v u v . On obtient :
2
2 2 2 2 2 21 1
AB AD = AB AD AB AD = AC AB AD
2 2
1 1 12 2 2 = 7 4 5 = 49 16 25 = 8 = 4.
2 2 2
On en déduit BD par le calcul suivant :
2 2BD = BD BD = BA AD = BA BA 2 BA AD AD AD
2 2 2 2 = BA – 2 AB AD + AD = 4 – 2 4 + 5 = 16 – 8 + 25 = 33 donc BD = 33 .

Exercice 6. ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.
Faisons une figure (même approximative).
B
P
A O C
D

1) Calculons AB AD = AO OB AO OD = AO OB AO OB
2 2 2 2 = AO – OB = 5 – 3 = 25 – 9 = 16.
2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculons AP.
On calcule d’abord AB avec le théorème de Pythagore, on trouve AB = 34 .
D’après la propriété de projection orthogonale d’un vecteur : AB AD = AB AP = AB AP = 34 AP.
On a donc (avec la question précédente) : AB AD = 16 = 34 AP.
16 16 34 8 34
Donc AP = = = .
34 1734

Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].
D C
θ
A BE

1) Calculons les longueurs AC et DE avec le théorème de Pythagore :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2AC = AD + DC = 3 + 5 = 9 + 25 = 34 et DE = AD + AE = 3 + 2,5 = 9 + 6,25 = 15,25.
Donc AC = 34 et DE = 15 ,25 .
2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculons le
produit scalaire AC DE .
1
AC DE = AB BC DA AE = AB AD AD AB
2
1 1
= AB AD AB AB AD AD AD AB comme AB AD 0 , alors :
2 2
1 1 1 2 2 2 2
AC DE = AB – AD = 5 – 3 = 25 – 9 = 12,5 – 9 = 3,5.
2 2 2
3) Nous allons en déduire la valeur de l’angle θ = DE , AC en degrés à 0,01 près.
On a : AC DE = 3,5 et aussi :
AC DE = AC DE cos AC , DE = 34 15 ,25 cos AC , DE .
3,5
Donc AC DE = 3,5 = 34 15 ,25 cos AC , DE et donc cos AC , DE = 0,1537.
34 15,25
Ce qui donne AC , DE – 81,16°.
2
2Exercice 8. Cherchons les conditions sur les points A, B, C pour que AB AC AB AC .
2 2 2
2 2 2AB AC AB AC AB 2 AB AC AC AB 2 AB AC AC
2 AB AC 2 AB AC
2 AB AC cos AB , AC = 2 AB AC
cos AB , AC = 1
AB , AC = 0 [2 π ]
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.

Autre solution, plus rapide mais utilisant la « formule du cosinus » :
u v
Puisque u v = u v cos u ,v alors cos u ,v .
u v

2 2
AB AC AB AC 2 AB AC 2 AB AC
AB AC AB AC
AB AC
1
AB AC
cos AB , AC = 1
AB , AC = 0 [2 π ]
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.