Exercices - Dérivée : indications Nombre dérivé - fonction dérivée ...

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• Publié par: asutuwin
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Exercices - Dérivée : indications

Nombre dérivé - fonction dérivée

Exercice 1 - Dérivable ou pas dérivable-L1/Math Sup-? Calculer la limite du taux d’accroissement. Pourg, on pourra utiliser|sin(x)| ≤ |x|. Exercice 2 - Raccordement-L1/Math Sup-?? Le seul problème est en 1/2. On séparera l’étude des limites à gauche et à droite pour la fonction et pour le taux d’accroissement en 1/2. On pourra aussi utiliser le théorème de prolongement d’une dérivée pour déterminer les dérivées à droite et à gauche degen 1/2. Exercice 3 - C1 ou pas C1-L1/Math Sup-? Montrer que les deux fonctions sont dérivables en 0 en revenant à la définition (limite du 0 00 0 taux d’accroissement). Calculer ensuitef(x)etg(x)pourx6= 0, puis étudier sifetgsont 0 continues en 0. On pourra notamment calculerf(1/2nπ). Exercice 4 - Avant et après-L1/Math Sup-?? Couper en passant parf(x 0 ). Exercice 5 - Variante du taux d’accroissement-L1/Math Sup-?? Découper le numérateur comme lorsqu’on étudie la limite du produit de deux quantités. Exercice 6 - Un calcul de limite-L1/Math Sup-??? Se ramener à la définition de la dérivabilité par l’écriture sous la forme d’un développement limité d’ordre 1. Exercice 7 - Hypothèse affaiblie-L1/Math Sup-??? Pourε >0fixé, montrer que sixest assez petit, pour toutn≥1, on a

n n+1n+1  f(x/2 )−f(x/2 )  ≤ε  x/2  .

n+1   Utiliser ensuite l’inégalité triangulaire pour estimerf(x)−f(x/2 ), puis faire tendrenvers +∞

Théorème de Rolle et inégalité des accroissements finis

Exercice 8 - Au dessus d’une droite-L1/Math Sup-? 0 Poserm= inf x∈[0,1] f(x)et justifier quem >0. Etudierg(x) =f(x)−mx. Exercice 9 - Erreur commise-L1/Math Sup-? Utiliser l’inégalité des accroissements finis avec une fonction bien choisie. Exercice 10 - Fonction bornée dont la dérivée admet une limite-L1/Math Sup-?? 0 Supposerl >0et prendre un voisinage de+∞tel quef(x)≤l/2. Appliquer ensuite l’inégalité des accroissements finis. Exercice 11 - Injectivité locale-L1/Math Sup-??

1. Raisonnerpar l’absurde et utiliser le taux d’accroissement. 0 2. PrendreItel quef6= 0surI, puis utiliser le théorème des accroissements finis.

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