Exercices - Séries numériques - étude théorique: corrigé
Exercice 1- Théorème des gendarmes pour les séries-L2/Math Spé-? La preuve est assez simple, mais il est aussi facile d’écrire des btises ! Une bonne justification P e la sérieerge, il peut se faire à l’aide du critère de Cauchy. Fixonsε >0. Puisqununconv existe un entierN1tel que, pour tousqpN1, on a q X unε.   n=p P De mme, puisqe verge,il existe un entierNtel que, pour tousqpN, ue la sérinwncon2 2 on a q X wnε. n=p PrenonsN= max(N1, N2)etqpN. De l’inégalité q q q X X X unvnwn, n=p n=p n=p on tire ! q qq X XX vnmaxun, wnε  n=p n=p n=p (on a utilisé quexyz=⇒ |y| ≤max(|x|,|z|)). Ceci prouve bien, par le critère de Cauchy, P la convergence denvn. Exercice 2- Avec une puissance-L2/Math Spé-? P 1. Puisquela sérieunconverge, la suite(un)converge vers zéro. Il existe donc un entier n N0tel que, pournN, on a0un1. Puisqueα >1, on a alors, pournN, α 0uun. Puisque l’on travaille avec des séries à termes positifs, ceci entraine la n P α convergence deu. n1n 2. Deuxcas sont possibles : α rs 0. Dans ce cas, la suite(u)conv – oubien(un)ne converge pas venpas non plusne erge P α vers 0, et donc la sérieudiverge ; n n – oubien(un)converge vers 0. Dans ce cas, il existe un entierNtel que, pour toutnN, α on a0un1. Puisqueα]0,1[, on en déduit que0unun. P α Ainsi, la sérieuest aussi divergente. n n Exercice 3- Deux séries de mme nature-L2/Math Spé-?
2 1. Il suffit d’étudier la fonction. Sa dérivée estx7→1/(1 +x)0, donc la fonction est croissante. 2. On distingue deux cas : si(un)tend vers 0, alorsun+vn, et ces deux suites sont P P etv positives. Par le critère d’équivalence, on en déduit que les sériesnunn nont la P mme natureque qudiverg . Si(un)uene tend pas vers 0 (ce qui implin ne), alors, il existeε >0tel que, pour toutNN, il existenNtel queunε(rappelons que un0). Mais alors, d’après la première question, on avnε/(1 +ε)>0, et donc la suite P (v)est aussi divergente, et danne converge pas vers 0. Ainsi, la série n nvns ce cas, les P P vont bie sériesunetn nn la mme nature. n
http://www.bibmath.net
1