Facteurs Epsilon p adiques

Adriano Marmora

Description

Facteurs Epsilon p-adiques Adriano Marmora Abstract We develop and study the epsilon factor of a local system of p-adic coe?cients over the spectrum of a complete discrete valuation field K with finite residue field of characteristic p > 0. In the equal characteristic case, we define the epsilon factor of an overconvergent F -isocrystal over Spec(K), using the p-adic monodromy theorem. We conjecture a global formula, the p-adic product formula, analogous to Deligne's formula for étale -adic sheaves proved by Laumon, that explains the importance of this local invariant. Namely, for an overconvergent F -isocrystal over an open subset of a projective smooth curve X, the constant of the functional equation of the L-series is expressed as a product of the local epsilon factors at the points of X. We prove the conjecture for rank 1 overconvergent F - isocrystals and for finite unit-root overconvergent F -isocrystals. In the mixed characteristic case, we study the behavior of the epsilon factor by deformation to the field of norms. 1. Introduction Dans cet article, nous développons la théorie des facteurs epsilon des systèmes locaux p- adiques sur Spec(K), où K est un corps de valuation discrète complet, de corps résiduel k fini de caractéristique p > 0. Soient C un corps de caractéristique zéro, ? : K ? C? un caractère additif non-trivial, µ une mesure de Harr sur K à valeurs dans C.

• corps des fractions de l'anneau des vecteurs de wittw


• constante globale de l'équation fonctionnelle


• théorie du corps de classe local


• frobenius absolu de ksep


• ek ?


• généralisation de la constante locale de la thèse de tate en dimension


• corps résiduel


• équation fonctionnelle en cohomologie rigide avec l'équation

Sujets

• Fontaine
• Évariste Galois
• Marmora

Informations

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• Langue: Français

Extrait

p
p
K
p > 0
F Spec(K) p
p ‘
F X
L
X 1 F
F
p
Spec(K) K k
p>0
∗C ψ: K→ C μ
K C C (D,ρ)
∗W K ε(D,ψ,μ) CK
1
(D,ρ,N) N
D ρ
K p
Spec(K) p G KK
p
V
C
nrW(k) k C C
nr nrD (V) V C K Cpst
GK
V V
nrG C D = (D (V),ρ,N)K pst
ε(V,ψ,μ) ε(D,ψ,μ)
F
variantdefactort.FNamelyp,loforesanmaximaleodeveil-Deligneerconcf.vtationsergendetepsilonelddes-isothecrystalectorielocompatibilit?svusingerfacteandonn?eopyenvsabsoluudebset[Berg02],ofLaa?protjectivula,elesmo:othdecurvsemi-lin?airee?rateurresidue?,lithetconstancrystaltoofsatisfaisanthevfunctionalordequationnof-adiquesthesonnitegroup-series?taleisdanexpressede.asforaonprootenductconducteursoftationthe[Flo[PR95,caldesepsilonWittfactorsetat-adictheFpassooinunitsduleoftheorem.withm.monoWetevproestv,eenthel'actionconjecturerobfor-repr?senrankaleld.oergv?tanerconev?ergencompatibilit?tLaumon,aluationConsid?rons-casisodecrystalsLesandxforrniteesulesnit--adiquesrodeotofoquivdeercolanonvauergennot(cf.vet-isoqcrystals.tIntthedmixedductelleharacteristicestcase,onw1.3.5]etaine-Pstu:dylethedebecteursehatoviorformofprothedepsilonOnfactordulebtaineyformdeformation?toesttheeeldeofenorms.(i.e.1.-espaceIndimensiontrod'uneductiondeDansd'uncetrobarticle,onousmonod?vteloppetonsdimensionladeth?orieharacteristicdestiellfacteurssemi-stable.epsilon?arisandesdesylesont?m,esdelothecauxvdiscretec-d?nitadiquesepsilonsurerconcompleteofa?galofthemcase,ectrut,uneo?despaestecun,corps(2.2).ded'abvlealuationo?discr?teestcomplet,caract?ristiquedeulle.corpssyst?mesr?siduelcauthebnisudeedcaract?ristiqueproervvtorepr?sen.sheaSoiendutetsGaloisun-adiccorpsdede,caract?ristiquesonzde?ro,Rhamecienscoclassication-adicFoftainsystemGr?cecalth?or?meunmocaract?redromieadditif-adiquenon-trivial,[And02],lo[Ked04]une[Meb02]),mesuresaitdeu'ellHarrsonsurpatiellemen?semi-stables.vd?nitionaleursesdansetoffacteur.d'une?repr?sentouteulafactordue-repr?senFtationtaineepsilonon94b,theetstudyonanderrin-RiouelopC.1.4]dusoiengrouformpcorpsefractionsdel'anneauWveildeabsoluDeligne'sdevanalogousaldede,educt,l'extensionDelignenon-rami?eeteLanglands.[De73,consid?re3mo.de3on.c1ula,]globalassoci?cienatilunmind'unvstructurearianconjecturet-moWdctDeligneAbstraWMarmoraundrianoyAv-adiquesdeEpsilonnie,dansuniacteursactionformdiscr?tededromrepresen,normsisomorphismeelFtheoryeniusPd'unofpwdehasdromie,een?rianortedlesyusuelles),pilctoraldewship?galeccelle.-adicMathematicscarctestationoten(primary),em14F30tKeyworEnonercontergendiscr?teinthecrystals,parfactors,Fdenius,tionobtiens'?tenduneaux.repr?sentationtationsWdeInWequeil-Deligneerloothis-isooftortanceOnimpletheur,eno?vexplainsvestanuncommeendomorphismetnilp?otenepsilontdenedewthatumer2000th?seSubjedeClassicT12H25ate11S15,en(secondary).dimensionds:haracteristicv[Tva67,t2.4.1].-isoCetteepsilond?nproiuctFula,,Rhamapptations,el?dfacteur.epsilon.artC'estthisuneorkg?n?ralisationbdesupplabconstanJSPSteostdolofellocalendeblaPE06005.K p > 0
C
W(k) k
nrC
C R K C
p Spec(K) F Spec(K)
(ϕ,∇) R R
F
F Spec(K)
p
(ϕ,∇) R
B = limR(L)[logT] R−→
L K R(L) L S(M)
nrM⊗ B C KR
nrM7→S(M) (ϕ,∇) R C
K S(M)
nrC WD(M)
ε(M,ψ,μ) ε(WD(M),ψ,μ)
(ϕ,∇) R p
1P k G km
1 1x P K P x η = Spec(K )x x x
F M G {0,∞} (ϕ,∇)m
M R(η ) R(η ) Kη x x xx
canM7→M p
(ϕ,∇) R F
canG {0,∞} M 0 ∞ Mm
F
F Gm
1 1ω P x P ψx
canK ε(M ,ψ ) x = 0x xηx
M ‘
‘
X k
L X
p
F U X X\U
F 1
F
-adique(cf.[And02],[Kendomorphismecelleadditifedau04]n?eetsoit[Meb02]),ntout,syst?messu98a].eshoixdinaturellequecat?gories-mo-modut,lelasurfacteursLacristauxadmetsonunepbasecorrespde?tasectionseniushorizoncommetalesulesurdelevrevr?temenatrunivKatz-erselv.surcondansersetsder?e).eciendecol'image??surdromieRobba?eend-isol'anneauepsilonetdedeeet,,lisse,tio?cauxlatr?elimiteuleestdepuctionriDansses'agitsurdelesd'in?galesextensionsestgaloisiennes.niesade,dedenon-rami?ec'est,celleetsurmaximalecristauxl'extensionlete,queuniformisanourest?l'anneadutsdevRLesofoncteurbbanie,surlounetielle,d?tecf.p(3.2.2).,L'espacettdexanergeniustrobarmidesCommesections-adique,horizoncetalesunedefaiFcourbde,endomorphismeglobaled'unsah?ritedesd'uneermstructureadeu87,unie-adiquemles-moouvdergeanuleederevDeligneaudeail,un.t,OnlobtienletPainsio?unfa?onfoncteurdedec?deWittvdedaecteursunvcanoniquedes-adiquesdeestlacanoniquecat?gorieerdefoncteursoriel'anneautsdedfractionsvdescristauxcorps-iso-moergenduauxl,esinsurcierduPvsoiters(resp.celleledescf.nievextensionune-mocanoniquedu?t?lCrewejetsstielledetensionDeligneappdecristauxunesur,Lequ'onformemong?om?triquetrenon-n?trenuneto?quivtalence.galoisiennesLecamoauxdu.luneeepsilondetsDelignesurcont,Soienl?tudier.les?lefournit,Pcommeleenein?estgalesdrecaract?ristiques,cesun?seule.amen?ourestau-repr?sensurtationpropredesurWaeilconstan-Deligne,l'?quationnot?enellequ'ondecelleproeepsilon.pOndd?nitCetteled?mofacteurLaumonepsilOnoanaloguencettedousous-cat?gorie-isoqu'uneralorsnon-videtsurconurnissenleo'fparcommeBrauer.?tan?tcet?gald'in?gales?traneinGaloiserseedesdilePr?cis?mengroupduduetationsth?or?merepr?sensur.aPcaract?ristiques.our,uncasLesanalogue.d'unecaract?ristiquel'anneaudeRobbsoitsur-moproduInlersemeneMatsusur[Mat02]queconstruit,foncteuRobbad'extensionetonChristol-Mebkhoutcauxonsurtanalogued-adique?nil'extensionlde'irr?gularit?Gabbt:-adiqueunsurdelecat?gmodesd?lesurdesergen?quations-modi?renulestiellessurconclassiquesers[ChMe02,des14-iso.sur1des1].vPtsarlongunepsilonth?or?medesdetelMatsudal'imageetvTdesuzukiasso(cf.en[Mat02,(resp.8.6])etisomorphe[T[Tsu98b,mo7.2.2]),Dansl'irr?gularit?casco?ncideesa-isovsurconecergenlunit?s,econstructionconducteurl'extensiondeaSwaitan.donOnpars'in[Cr00].t?resseobdansdanscetessenarticledu?d'ex-l'analoguecanoniquedetcel?se-isoth?or?mesppciauxourcalele.facteurcepsilond'une;di?renautremenm?romorphetsurditmonoonullecrmiherce,heouruneutinointerpr?tationferm?di?rendetielletationsduunfacteuract?rerrepr?senepsilon.deNotrendenapproOncd?duithefamilleestfacteursdeonatureunit?sgenlvocristauxbale.-isoOndonnotecetenanumainenlaceux-ci,droiteestprofacteurjectivdee.surdansosonscas,lSuppcompatibles.dilcompraisonnableens'attenconducteur?SwqueetfacteurslreliripardansformrEnMarmorap,unetscepconstructibleou-adiquerunetoutepetoinrobtFferm?Delignemonoconjectur?,la(4.3.5).ted?mondecettefoncdansoncasdeps?rieless'exprime-isolesurconduitergenfacteursdeloloauxtsoinetfour?sdromieecristaux.vconjecturets?t?nis,naparan[Lamono3.2.1.1].globaleformLaundud'uncasdesiform?prrfoncetocristauxenuhomologieunaertecconnexionfonctionnelleneTvLetcaslongram?neupreunisdecf.mOn,tre,conjecturecristauxdeuxsur:leourdcorpsdescristauxfractionsvdutscompl?t?rangde;l'anneauplolescal-isodesurconniergenrangunit?seni.e.dey,tlibresdromiedulesnie.mod?monstrationdespremieri.e.con,stesucomparesurl'?quationulesti.nnelleTcooutrigidedv-isol'?quationcristalde-moate.surdeuxi?mersedenaunousmivr?tabliindthdeleNouslongenonsclaonverdegentsarticlesurcas,caract?ristiques.fournitunparvimagepr?c?-.t,surconavonsergenunt?or?meAdrianoelearaisongroutrepdeeanmirr?guultiplicatifast?u2p
rr∈N K =K(μ )r p
rK p V
G N (V) (ϕ,∇) V V VK dR r
G K sw(V )K r rr r∈N
N (V)dR
K K∞
r∈N K rr
K O K E O∞ K r K Er K
K E E∞ K K
k GEK
nrK H C W(k) C∞ K
C D =D (V) D D Hpst ∞ K
nrC E DK
F M Spec(E )K
V V Gr Kr
∗M θ: E →CK
∗r ψ : K →Cr r
∗(ψ : K →C )r r r∈N
∗ψ : E →C θ E∞ K K
∗V G θ: E →CK K
(ψ ) θ r∈ N μr r∈N r
μ K E C μ (O )=μ (O )∞ r K r K ∞ Er K
ε(V ,ψ ,μ ) ε(M,θ,μ )r r r ∞r∈N
K Z K M = N (V)∞ p dR
F (ϕ,∇)
(ϕ,∇)
(ϕ,∇)
F
F F
L
F 1 F
G A M A
G A M
G ρ: G→ Aut M γ∈ GZ
a∈A m∈M ρ(γ)(am)=γ(a)ρ(γ)(m)
A σ f: M→N
σ m∈M a∈A f(am)=σ(a)f(m)
deetoutquatri?mee,,etqusurcon'paronlaapplesell-isoenormesd?formationmdeueelign-isoaulacorpsondeslesnormes.cristauxCeulemovduledcorrespagitohomomorphismend,depardel'?quivl'espritalenced'?galed?critenplus-mohaut,Dans?th?or?meunulesDes-isoprocristale.surcon?noncevd?monergenettsectionde(5.4),surRham.elaldesdude-molacomme-mo.racinesNotreonbutpest,d'?tudierestlesnfacteursaussiepsilonddestannarestrictionsdeconsid?r?el'anneau,modesec?a?Tdeorestrictionsous-sectionlacaleset-isodelalesourcomparertsauelsfacteurfonctionsepsilonlade(4.3.5),noteles.deLucteursanisdicult?d?formationtienDanstapplicationsdansrepr?senletccommhoixSuppdeesdiracaract?resactionadditifstongroupetouroseassopaOnune.aded'unet,homomorphismepourouretoutetnon-rami?ede,amaximaleauxl'extensionsuretlodeappfractionssectiondes-orpsOncl'?quiv.enPdesour?ceulesfaire,Roboncat?gorieindetrosouduitonlalenotionecdeclassicationtourpadmissibledede-mocDansaract?resonadditifstes:cic'estununeLsuitecondeulecaract?resuitadditifsstlevtuneSoiendes.lesot?etn,,conjecturedeoceluipro?onmorphepiso--isotergen,desatisfaisanourtcristauxunetsconditionLaqdeuicorpspfacteurermetderni?red'endonned?duirefacteurunucaract?redeadditifConventions.limiteuncanoniquemenunabsolusuiteGaloisddequeegaucgroup.ed'anneaux.dde.niOnairmons'iltreuniquedetoutdecaract?requeadditiftet,deet?,?galdeesttationlimiteded'un