Factorisation et équation de produit : cours

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Pré-requis : développements, égalités remarquables, calcul numérique, réduction d’écriture, calcul avec valeurs numériques FACTORISATION ET EQUATION PRODUIT I Factoriser : 1) Activité : A la recherche du facteur commun Parmi chaque groupe défini ci-dessous, trouve le facteur commun qui s’y cache b Le facteur commun est : 1) Les 6 pattes 2) Le facteur commun est : La lettre B b Une espece plus difficile a capturer : Le matematicus factoris commun b (attention…le matematicus factoris commun est parfois sournois et peut se cacher sous un autre facteur commun pour éviter d’être pris…) b 9a4a 12a 5a Le facteur commun est : a3) Le facteur commun est : 2x6x = 3 2x 8x = 4 2x 12xy = 6y 2x4) Le facteur commun est : (3x + 1)5) 4 (3x + 1) (4y 2) (3x + 1) b ème 2) Introduction : comme en 5 Propriétés (admise) : Quels que soient les relatifs k, a et b : k a + k b = k ( a + b ) et k a k b = k ( a b ) 3) Remarque : k a + k b = k ( a + b ) Factoriser une expression consiste à transformer une somme en produit Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles sont factorisées. A = 7x 2x + 3 ; B = (2x 3) (3x + 4) ; C = (2x + 1) ; D = 2 (x 3) (x 1) (x + 1) A et D sont des sommes donc ces expressions ne sont pas factorisées.

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Publié le 21 octobre 2013
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La lettre B



    (3x + 1)

D = 2 (x%3)%(x%1) (x + 1)

;

ka% kb =k( a%b )

et

k´a + k´b = k´( a + b )

3) Remarque :

Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles sont factorisées.
A = 7x²%2x + 3 ; = (2x B% 1)² = (2x C ;3) (3x + 4)
+
A et D sont dessommesdonc ces expressions ne sont pas factorisées.
B et C sont desproduitsdonc ces expressions sont factorisées

Factoriser une expression consiste à transformerune somme enproduit



2) Introduction : comme en 5ème
Propriétés (admise) :
Quels que soient les relatifs k, a et b :

ka +kb =k( a + b )

  ´

 ´



% ´  

 ´  

 ´


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FACTORISATION ET EQUATION PRODUIT

      

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I Factoriser :
1) Activité :

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Pré-requis : développements, égalités remarquables, calcul numérique, réduction d’écriture, calcul avec valeurs numériques

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Les 6 pattes



4) Exemples :
En 5ème:
B = 5´ + 5 2,7´ 7,3

= 5´ ( 2,7 + 7,3)

I =0,1´7 +0,1´3

=0,1´( 7 + 3)

= 5´10 = 0,1´10

=
= 50 1
En 4ème: factorise les expressions suivantes :

W = 12x + 5x O = 12a% 1a + 4a

W = ( 12 + 5 )x O = (12%1 + 4)a
W = 17x O = 15a

En 3ème: factorise les expressions suivantes :

R = 3x 9
R =3´x% 3´3

R =3( x%3 )

K = 7xy 21x
K =7´x ´y% 7 ´3´ x
K =7x ( y 3 )

5) Une nouvelle factorisation :
Calcule de deux manières l’aire du r

L’unité est le mètre
PL = 3x + 1
LA = x + 1
AI = 5

ectangle PLIS :

Première méthode:
L’aire totale est en m²
PL´LA + PL´AI = (3x + 1) ( x + 1) + ( 3x+ 1)´5
Seconde méthode

G =17´1517´6 +17 ´1

=17´(15%6 + 1)

= 17´10
= 170

C = 18x 21 + 3y

C =3´6x% 3´7 +3´y


C = 3 (6x 7 + y)

N

P

S

PL´LI = PL´ 6( LA + AI ) =
= ( 3x + 1 )´(x + 1 + 5)

Conclusion : (3x + 1)( x + 1) +( 3x+ 1)´5 =( 3x + 1 ) ´( x + 1 + 5)

On a factorisé cette expression en prenant comme facteur commun(3x + 1)

6) Exercice type :
Factorise puis réduis les expressions suivantes :Penser à entourer les facteurs com

D = 3 (2x + 3) + ( 2x + 3 ) ( 3x%1 )
D = (2x + 3) ( 3 + (3x 1 ) )
D = (2x + 3) ( 3 + 3x%1)
D = (2x + 3) (3x + 2)

F = (2x + 3) (5x%9) (2x+3)
F = (2x + 3) (5x 9) (2x+3´)1
F = (2x + 3) (5x%9%1)
F = (2x + 3) (5x 10)
F = (2x + 3) (5´x%5´2)
F 5 (2x + 3) (x 2)
=

E =(5x + 1) (2x%7)(5x%1) (2x%7)
E = (2x 7) ( (5x + )1 ( 5x%1) )
E = (2x 7) (5x + 1%5x + 1)
E = 2 ( 2x%7 )

L

I

muns.

G = (2x + 1)² + (3x + 6) (2x + 1)
G = (2x + 1) (2x + 1) + (3x + 6) ( 2x + 1)
G = (2x + 1) (2x + 1 + (3x + 6) )
G = (2x + 1) (2x + 1 + 3x + 6)
G = (2x + 1) (5x + 7)

A

III Equation produit :
1) Activité :
M A

P

I

C

L’unité est le centimètre.

x est un nombre tel que 0σxσ3.

MATH est un rectangle tel que :
MA = 6 + x et MH = 6%x.

H TS E
PIES est un rectangle tel que PI = 8 et PS = 6.
1) Colorie en rouge le polygone MATH. On considère le point C tel que CÎ[IE] et CE = 2x.
Colorie en vert le polygone PICS.
2) Exprime en fonction de x l’aire1du polygone MATH et l’aire2du polygone PICS.
3) Calcule x pour que les aires1et2soient égales.
2) rectangle MATH est en cm² : LL’aire du ´l = MA´MH = (6 + x)´( 6%x )

L’aire du rectangle PIES est en cm² : L´l = PI´PS = 8´6 = 48.
L’aire du triangle rectangle SCE est en cm² : b´S Eh 2= ´2 CE =2 x 2´8 = 8x.
L’aire du polygone PICS est en cm² :2 = 48 8x.

3) 1 =2
(6%x) (6 + x) = 48%8x

(6%x) (6 + x) = 8 (6%x)
(6%x)(6 + x)%8(6%x)= 0
(6%x)(6 + x%8) = 0
(6%x) (x%2) = 0 aux élèves de deviner la suite

2) Propriétés :

Propriété :

Si un produit de facteurs est nul alors l’un des facteurs est nul.

Soient a et b deux nombres relatifs :

Propriété réciproque :

Si a´b = 0 alors a = 0 ou b = 0.

Si dans un produit l’un des facteurs est nul alors ce produit est nul.

Soient a et b deux nombres relatifs : Si a = 0 ou b = 0 alors a´b = 0.

3) Résolution de l’équation :
(6%x) (x%2) = 0
d’après la propriété : 6%x = 0 ou x%2 = 0
donc : 6 x ou x = 2
=
6 et 2 sont les solutions de l’équation. au brouillon)(faire la vérification
4) Interprétation du résultat :
D’après l’énoncé : 0σxσdonc x = 6 ne convient pas3, (montrer le problème avec 6).
Conclusion :du polygone PICS sont égales pour x = 2 cm.l’aire du polygone MATH et l’aire
5) Exercice type :
Résoudre les équations suivantes:

(2x% ;1) ( 5x + 7) = 0
Un produit est nul
lorsque l'un des facteurs est nul
2x%1 = 0 ou 5x + 7 = 0

(2x%1)%(5x+7) = 0
2x%1%5x%7 0
=
%3x%8 = 0
%3x 8
=

;

(6x%2) (7%x) = 0
Un produit est nul
lorsque l'un des facteurs est nul
6x%2 = 0 ou 7%x = 0

2 x + 3 = 0 ou 3 x%6 0
=
2x =% 33 ou x = 6
x =%2 uo = x 2 3
L'ensemble des solutions de l'équation (1) est%3e 22 t

Vérification pour chaque solution dans chaque membre de l’équation (1) :
( 2´ -( 23 4 ( + ) ) 3 ´ 7 ) = - 23) ( 0 ´ =( - 42 ) 0 et ( 2´- ( + ) 23 - ( ) 3 1 32 0 ) =´ 25( - 0 ) =

( 2´ ( 42 + 3 )´ 7 2 7 ) =´1 = 7 et ( 2´ 7 ( 2 -2 + 3 ) ) = 1´1 = 7

)

( 2 x + 3) ( 4 x 7) = ( 2x + 3) ( x 1)
( 2 x + 3) ( 4 x 7)% = )1 0x 2 ( x (3)+ ocdnm mesnl eesbrear eenèm ( s nOà s da0 ou turjo
( 2x + 3) [ ( 4x 7) ( x 1) ] = 0 ( On factorise lorsque cela est possible )
( 2 x + 3) [ 4 x 7 x +1 ] = 0 ( On simplifie l'écriture au maximum)
( 2x + 3) ( 3x 6 ) = 0

acteurs est nul

Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses f

on est%83

6) Application :

)

Résous l'équation ( 2 x + 3 ) ( 4 x 7 ) = ( 2x +3 ) ( x 1 ) (1

La soluti

8
3

x =%

7

5

1 7
x = =%

2 ou x 5
Les solutions de l'équation sont 1
%

2 ou

2x = 1 ou 5x =%7

x = 3 ou x =7

6x = 2 ou 7 = x

on sont 3 ou 7

i

at

ons de l'équ

oluti

Les s