Fonctions logarithme, fonction exponentielle et puissance

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Chapitre 3 FONCTIONS LOGARITHME, EXPONENTIELLE ET PUISSANCE 3.1 Etude de la fonction logarithme n´ep´erien 3.1.1 D´efinition 1 La fonction x −→ est continue sur ]0, +∞[. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle. x 1 On appelle fonction logarithme n´ep´erien la primitive de x −→ qui s’annule en 1. Elle est x not´ee ln. Cons´equences : 1 • La fonction ln est d´efinie et d´erivable sur ]0, +∞[ded´eriv´ee la fonction x −→ x • ln(1) = 0 3.1.2 Premi`eres propri´et´es de la fonction ln 1 On a : ∀x∈]0, +∞[, ln (x)= > 0 donc ln est strictement croissante sur ]0, +∞[. ln ´etant x d´ erivable donc continue, et strictement croissante de ]0, +∞[ dansR, est donc une bijection de ]0, +∞[dans ln(]0, +∞[) =R. Cons´equences : • 1 a un unique ant´ec´edent (not´e e) par ln. •∀a, b > 0, ln a=lnb⇐⇒ a = b et lna 0. Cette ´equation n’a de sens que si x ln 1 ⇐⇒ 4−x> 1 d’ou` l’ensemble des solutionsS =]−∞, 3[. 3.1.3 Relations importantes Logarithme d’un produit Pour tous nombres strictements positifs a et b, on a ln(ab)=lna+lnb. 1 D´ emonstration : On pose f : x −→ ln(ax)etonv´erifie que f est aussi une primitive de x −→ x sur ]0; +∞[. Par suite f ne diff`ere de ln que d’une constante que l’on d´etermine en prenant x=1. 19 Logarithme d’un quotient Proposition : Pour tous nombres strictements positifs a et b, 1 a ln( )=− ln b et ln( )=lna− ln b. b b 1 a 1 D´ emonstration : On applique le r´esultat pr´ec´edent pour a = puis on ´ecrit que = a( )et b b b on applique le r´esultat pr´ec´edent.

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Publié le 10 octobre 2013
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Chapitre

3

FONCTIONS LOGARITHME,
EXPONENTIELLE ET PUISSANCE

3.1

Etude

de

la

fonction

logarithmen´epe´rien

3.1.1D´efinition
La fonctionx→−ustse1
x ]0continue r,+∞[. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle.
On appelle fonctionolne´erin´epthmegarila primitive dex→−1l.enenulaenEsl’tuiesq1

x
not´eeln.
Conse´quences:
•uresblva]0ts´dfieineedte´irLafonctionlne,+∞e´vire´dtcnofaleionde[x−→1x
•ln(1) = 0

3.1.2Premi`erespropri´ete´sdelafonctionln
On a :∀x∈]0,+∞[, ln(x) = 1>donc ln est strictement croissante sur ]00 ,+∞etn´.l[nat
x
de´rivabledonccontinue,etstrictementcroissantede]0,+∞[ dansR, est donc une bijection de
]0,+∞[dans ln(]0,+∞[) =R.
Cons´equences:
•ueiqt´an´eecntdeton()ee´lrap.na1nunu

• ∀a, b >0,lna= lnb⇐⇒a=bet lna <lnb⇐⇒a < b
Exemple :rduose´R4n(el−x)>teet.C0nna’edese´uqtaoinsquesix < plus 0 = ln 14. De
et l ´tant strictement croissante on a : ln(4−x)>ln 1⇐⇒4−x >u`o’d1sembl’enslede
n e
solutionsS=]− ∞,3[.

3.1.3 Relations importantes

Logarithme d’un produit

Pour tous nombres strictements positifsaetb, on a ln(ab) = lna+ lnb.
De´monstration:On posef:x→−eqifiuenotere´vnlfest aussi une primitive dex−→1
(ax)x
sur ]0; +∞ suite[. Parfln que d’une constante que l’on d´etermine en prenantne diff`ere de
x= 1.

19

Logarithme d’un quotient

Proposition :Pour tous nombres strictements positifsaetb,
ln(1b) =−lnbet ln(ba) = lna−lnb.
De´monstration:1Ode´ce´rptatlsu´eerelqulippna
=
ent pourba
on applique le r´esultat pr´ ´dent
ece .

puis on ´ecrit que

ba=a(b)te1

Logarithme d’une puissance
Proposition :∀a >0,∀p∈Q,ln(ap) =plna. En particulier ln(√a2ln)1=a
D´emonstration:oueprP´rrarucecnerp∈N, et on termine en ´ecrivant :
∀q∈N∗,lna= ln(a1q)q=qln(a1q), donc ln(aq1) =q1nlaet ln(apq) = ln(a1q)p=qplna, et on
uxrationnelsn´egatif`al’aidedelapropri´et´epr´ece´dente.
passe a s

3.1.4

Etude de la fonction ln

On a vu que ln est strictement croissante sur ]0,+∞[.
Proposition :li0m+ln(x) =−∞et lim∞ln(x) = +∞.
x→x→+
De´monstration:Soientn∈Netx≥3n ln(. Alorsx)≥ln(3n) =nln(3) et donc ln(x)≥n(car
ln(3)>)1’d`ouxl→i+m∞ln(x) = +∞ composition, on en d´eduit :. Parxli→m0+ln(x1=)+∞`oleu’d
deuxie`´esultatpuisqueln(1)=−lnx.
me r
x

3.1.5 Limites importantes
Pro osition :lmil
px→0n(1x+xt1e=)xli→m1xln−x.1=1
D´ stration :on a ln−xn1=lxx−−minolcl1etdn11xlnxln=1(1) = 1.
emon
xx→−
Lepremierre´sultatsede´duitdusecondoused´emontredemˆeme.

´
Croissance comparee de ln et IdR
Proposition :lmilnx lim= 0 etxlnx= 0.
x→+∞xx→0+
De´monstration:Soit la fonctionfinseru0]´dfie,+∞[ par :f(x) = ln(x)√−x. On montre que
fest croissante sur ]0,]e4oicr´etdusetnass4[r,+∞’o`uD[∀x >0, f(x)≤f(4)≤c,e’0idertsa`
ln(x)√−x≤0 et∀x >0,lnxx√≤xx=√1x. Onx√x. Le premier
a donc :∀x >1,0≤lnx≤1
ln1
re´sultatde´coulealorsduth´eore`medesgendarmes.Pourlesecond,xlnx=−1xreltuse´eatlt
x
pr´ece´dentpermetalorsdeconclure.

3.1.6

Repr´esentation graphique

L’e´tudepre´c´edentepermetdetracerlacourberepr´esentativedelafonctionln;onremarqueen
particulier que celle-ci admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox).

20

3.1.7



O

ı

Comple´ment:

y= lnx

de´rive´elogarithmique

Si la fonctionuelltni’avrevetirlsuntmesipobleerivaictetstrdte´seI, alors la fonction ln ou
I, de fonction d´eri ´u
estde´rivablesurvee,appele´ed´erive´elogarithmiquedeu.
u
Remarque :Siu´strtteiamenticteativn´egaruano,enl(tio(−u))=−−uu=uu. On peut donc
fonctionu
dire que si la fonctionualletervestre´dbaviteel’sennuanpaleurssinl’Ialors laf=
u
admet des primitives surIet ces primitives sont de la formeF= ln(|u|) +cte.

3.1.8 Logarithme de base a
lnx
=
Soita >og1edtnerelesopnO.te0´ffidaxspLe.ln´iteorrplegoe´dsa´edusedtdecisenelles
a
de ln. On a notamment logaa= 1. est lui mˆeme parfois appel´e logarithme de base lne.

3.2

3.2.1

Etude de la fonction exponentielle

De´finitionetnotation

La fonction ln est d´efinie continue et strictement croissante sur ]0,+∞ r´ealise donc[. Elle
une bijection de ]0,+∞[ versRaS.´enrprcijebiioctusrnfieid,e´qoeuR, est appel´eefonction
exponentielle de base eeexept´noete a donc :. On

y= expex⇐⇒x= lnyety∈]0,+∞[

Pourr∈Q,ln(exper) =r. Or ln(er) =rdonc exper=
adopte´ecommenotationsurR.

3.2.2Premi`erespropri´et´es

er.

Cetteproprie´te´vraiesurQest

Lesproprie´t´essuivantesd´ecoulent(deparlesr´esultatssurlesfonctionsr´eciproques)decelles
de ln.

•y=ex⇐⇒x=lny

21

∀x∈R, ex>0

•expeteeiscu,rnoituneestrtcietemtnrecsitods´senfianR.

expeestdire´lbavruseRet (ex)=ex(si on posey=ex, on ax= lnyet par suitedxdy1=y
dy
soitd=y=ex)
x

3.2.3 Variations et repr´esentation

expeest croissante surR,e0= 1 ete1=e fonction exponentielle ´etant la bijection r´eciproque. La
delafonctionlogarithmen´epe´rien,sacourberepr´esentativedansunrepereorthonorm´eestla
`
´trique par rapport `a la droite d’´equationy=xde celle de la fonction ln.
syme

3.2.4

Limites

y=ex



O


ı

Onde´duitdespropri´et´esdesfonctionsr´eciproqueslimex l= 0 et→i+mex= +∞
x→−∞x∞
De plus, limex= +∞et li→m0ex−ratcixou=’d(c1ane)1tssme
x→+∞xxx

3.2.5 Exponentielle de base a

De´finition

Soita >0, a La= 1. fonctionlogaest continue et strictement monotone sur ]0,+∞[ qu’elle
applique bijectivement surRdaemlEel.iesurnfie´deuqorpice´rontincfonecuontdRappel´ee
fonctionexponentielle de base aett´noeeexpa.

Notation

Pourr∈Q, loga(expar) =r. Or loga(ar) =rlogaa=rdonc expar=ar´te´e.Cetopritepr
vraie surQest adopt´ee comme notation surR.
=lnysoitxlna= `
y= expax⇐⇒x= logayi.e.xlnalny. D’ouy= expax⇐⇒y=exlna
En convenant que∀x∈R,1x=exln 1= 1, on a :∀a∈]0,+∞[, ax=exlna

22

Propri´t´
e es

Elles se d´eduisent de celles de l’exponentielle de basee particulier :. En
ax
∀x, y∈R,∀ >a, b0, ax+y=axay, axy= (ax)y, a ay,(ab)x xbxet (ba)x=baxx.
x−y= =a

3.3

Etude de la

3.3.1D´efinition

fonction

puissance

On vient de voir que∀x∈R,∀a >0, ax=exlna.Puotruorte´leα, on appellefonction puissance
αla fonctionfα0d´efiniesur],+∞[ parfα(x) =xα=eαlnx(ce en conservant la convention
1α= 1).
Remarque :La notationfα=xαuneiofenise´bengniefinieutincd´onru0]uqmenestd,+∞[,
car il faut pouvoir calculer lnx. Cependant, siα si on n’a pas par exemple `aest fix´e, (i.e.
´tudier une fonction d´ependant du param`etreα), le domaine de d´efinition defαpeut changer,
e
danslecasou`α Attention, pourest entier.αrationnel, il faudra dans certains cas distinguer
deux notations : par exemple,x→x13es0us]rnfieidte´,+∞[, maisx→3√xestdruseinfie´R.

3.3.2 Variations et repr´esentation

fαest continue et d´erivable sur ]0,+∞[ comme compos´ee et on a :fα(x) =eαxαlnx=αxα−1.
Les variations defαd´ependendtnodcsugienedα. Les limites en 0 et +∞sont imm´ediates.
L’e´tudedesbranchesinfiniesconduit`adistinguertroiscas:α <iossnaetoidne´rcde(f0cton
+∞vers 0), 0< α <1 (fonction croissante de 0 vers +∞, tangente verticale en 0 et branche
parabolique de direction asymptotique l’axe des abscisses) etα >1 (fonction croissante de 0
vers +∞, tangente horizontale en 0 et branche parabolique de direction asymptotique l’axe des
ordonn´ees).

Remarque :
.



O

α <0


ı

y=fα(x)

α >1

0< α <1

Lorsqueα= 0,fαest bijective de ]0,+∞[ sur ]0,+∞[, de fonction r´eciproquef1
α

23

3.4

Comparaison en l’infini
puissance et logarithme

On calcule les limites suivantes:

Th´eor`eme1

∀ >α, β0,

lim(lnx)β
x→+∞xα

= 0

des

fonctions

exponentielle,

ration :(lnx)β= ( lnαx)β= (β)βln(xαβαel´rseluatctraxα/βtend vers +∞
De´monstxαxβxαβ)β.D’o`u
avecxet lim+∞lnXX= 0 .
X→
The´or`eme2∀α >0,∀a >1,xl→i+m∞xaαx
= 0
De´moxαxlna=x[αlnxx−lna] qui tend vers−∞qu
nstration :ln(a) =αlnx−andxtend vers
x
+∞carXl→im+∞lnXX.L=0nt`aassatenpeduine´dta’sustlree´l’exponentielle.
The´ore`me3∀α >0,limxαlnx= 0
x→0

D´emonstration:xαnlnlXx=XL.re1tltae´usleouecd´utsdoralme`roe´h12e
x=−Xαen posant
carXtend vers +∞quandxtend vers 0 .
Remarque :uertO!pnsiretuliissaespuir“letensecnsetitnoseCmilsreıt`aetco`aaˆnn
l’emportent sur le log ”, “ l’exponentielle l’emporte sur les puissances ”, mais non l’´ecrire sur
une copie. Il faut donc toujours se rapporter aux formules ci-dessus.

24