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Fonctions trigonométriques et trigonométries inverses

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’ Fonctions trigonométriques et 6trigonométriques inverses 6.1 Rappel (fonctions trigonométriques) Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont indispensables à l’étude des phénomènes périodiques. mesure d’angles La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point θ d’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle est positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles figure 6.1.1 d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2). θ Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait unefigure 6.1.2 rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle- même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il est essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian.

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Publié le 22 octobre 2013
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Langue Français

Exrait

Fonctions trigonométriques et
trigonométriques inverses

6.1

Rappel(fonctions trigonométriques)

mesure d’angles

θ

figure 6.1.1

θ


figure 6.1.2

360°

figure 6.1.3


définition 6.1.1

le radian

lorsque r = 1, la mesure
en radians de l’angle
AOB correspond à la
longueur de l’arc AB

θA
r

s

6

Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites
élémentaires, lesfonctions trigonométriques. Ces fonctions sont
indispensables à l’étude des phénomènes périodiques.

La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un
angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation
d’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dont
le côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le point
d’origine est dit enposition standard ou canonique. L’angle est
positif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguilles
d’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans le
sens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).

Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° est
associé à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le
segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une
rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
(figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le
nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle-
même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, il
est essentiel d’utiliser une autre mesure,le radian. L’emploi du radian
comme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé-
triques, de la même façon que la basee simplifie la dérivée des
fonctions exponentielles et logarithmiques.

On mesure un angleθen radians en traçant
d’abord un cercle centré sur le sommet de
l’angle puis, on établit le rapport entre l’arc
de cerclesqu’il sous-tend et le rayonrdu
cercle. L’unité «radian» est habituellement
omise.

secteur angulaire
une révolution

θ

l u
=o cnigrceounrf édree nl’caerc

s

= 2πr

⇒s = rθet A =12 r2θ

O

B
s
θ
r A
s
θ
=
r

aire du secteur
= aire du cercle

A
=2
πr

relation entre
degrés et radians


exemple 6.1.1

pour convertir des
degrés en radians, on
multiplie la mesure en
π
degrés par 180


exemple 6.1.2

pour convertir des
radians en degrés, on
multiplie la mesure en
180
radians par
π


exemple 6.1.3

s = ?
π/3
r = 6


figure 6.1.4

définition 6.1.2

les six rapports
trigonométriques

O

P (x, y)
r
θ
x

y

θ
côté adjacent

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r estπ quer etθ
= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de
θ s = = π = rπ
r r
Par conséquent 180° =πradians .

Convertir 30° en radians.
____________

Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Siθ est la
quantité cherchée,
30°× π π
 180° =π
 30° =θ ⇒ θ 6 180° = =

Convertirπ/4 radians en degrés
____________

Siθest la quantité cherchée,
 180° =π

 θ =π/4

θ =π/4×π 180°° = 54

Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.
____________

On a S = rθ(oùθest un angle en radians)
= 6(π/3)
= 2π (6,28)

Soitθ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une
distance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.
r
sinus: sinθosécante:cosec =y rc;θ
=
y
cosinus: cosθ= erc : sxtéec;ansθ r= x
tangente: tgθgentotanx ;c= y gt :eocθx y =

Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alorsθ est un angle
aigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les six
rapports trigonométriques de la manière suivante.
sinθ ces =c tô époopséhypoténuse ;coθ= yh étopsenutécôpp oéos
cosθ ces; = édac tônthyjacenusepotéθ opyh = côsenutéacdj atéent
tgθ tgntceco ; = côté tô édaajo ppsocéθ= ecajôctntôc da éépposté o

6-2

les six fonctions
trigonométriques

le cercle
trigonométrique


exemple 6.1.4

(0, 1)

π/2


exemple 6.1.5

5

θ

52- 42= 3

4

angles remarquables


sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) =√3/2
sin(π/4) =√2/2

cos(π/4) =√2/2
sin(π/3) =√3/2
cos(π/3) 1/2
=

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvelles
fonctions:sinus (sin),cosinus (cos),tangente (tg),cotangente (cotg),
sécante (sec)etcosécante (cosec)L’étude de ces fonctions est grande-.
ment simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.

On considère d’abord un cercle de rayon 1
centré à l’origine d’un plan cartésien que l’on(cosθ, sinθ)
nommecercle trigonométrique. On trace un
angle deθradians ayant pour sommet le point0θ
(0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axe 0)( ,
positif des x. L’autre côté rencontre le cercle en
un point (x, y). On appelle

•sinθ la valeur de y,•cosecθ la valeur de 1/y,
•cosθ la valeur de x,•secθ 1/x, la valeur de
•tgθ y/x, la valeur de•cotgθ la valeur de x/y.

Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).
__________________________________
L’angle deπ/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;
⇒sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( /∃) ; sec(π / (/2) = 1/0∃)
cos(π/2) = 0 ; cotg(π cosec( ; = 0/2) = 0/1π = 1/2) = 1/1

Si sinθ= 4/5 (0<θ<π/2), trouver cosθ, tgθ, cotgθ, secθ ,cosecθ
__________________________________
sinθ no ahaytregon io Pdealr leta 5 ,ap ruse = 4éhypoténcô =ospp oté

nt√
côté adjace = 52- 42 3 =
côté adjacent
⇒cosθ =53étopyh =

nuse
tgθ = côté opposda étôcé tnecaj3 4=
côté ad 3
cotgθé = 4 = o étsoppecajôctn

;

;

5
secθajectn = 3 h =otypusénôtecadé
hypoténuse 5
cosecθ ôcétosé opp 4= =

Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeur
exacte de sinθet de cosθlorsqueθ=π/6,θ=π/4 ouθ=π/3.

π/6

1

3/2

( 3/2,1/2)

1/2

π/4

1

2/2

6-3

( 2/2, 2/2)

2/2

π/3
1/2

(1/2, 3/2)

3/2

(+,+)

7π/6 (210°)→ (- 3/2, -1/2)

5π/4 (225°)→ 2/2) -(- 2/2,

4π/3 (240°)→ 3/2)(-1/2, -


exemple 6.1.6

π/3 (60°)→ (1/2, 3/2)

π/4 (45°)→ 2/2)( 2/2,

π/6 (30°)→ ( 3/2, 1/2)

7π/4 (315°)→ ( 2/2, 2/2) -

5π/3 (300°)→ (1/2, - 3/2)

3π/2 (270°)→ (0, -1)

6-4

(-,-)

(-,+)

(+ -)
,

11π/6 (330°)→ ( 3/2, -1/2)

( 3/2, 1/2)
π/6

0 (0°)(→,10 )

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

π(180°)→1,(−0 )

5π/6 (150°)→ 1/2)(- 3/2,

2π/3 (120°)→ (-1/2, 3/2)
3π/4 (135°)→ (- 2/2, 2/2)

π/2 (90°))1, (0→

II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques sur
le cercle trigonométrique.

cotg(π/6) , sec(π/6) et

Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,
cosec(π/6).

____________

L’angle deπ/6 est associé au couple
(x, y) (√3/2, 1/2) ;
=

⇒sin(π/6) = 1/2


cos(π/6) =√3/2
tg(π/6) =√2/1 = 2/3√3 1= √ 3 1√√ 33 =√33

cotg(π/6) =√2/3 2/1 = √3
sec(π/6) =√2/ = 13√2 3= √32 √√2 33 = √33
cosec(π) = 21 = 26/

identités
trigonométriques

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Les fonctionssinus et cosinus sont périodiquesde période 2π.

une fonction ƒ(x) est(.n2oisc(.s1θθ± k2k2 ± ππ))= cos =s ni θθ(k est un nombre entier)
périodique de période
p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x)
pour toute valeur de x
La fonctionsinus est une fonction impairetandis que la fonctioncosinus
est une fonction paire.
(cosθ, sinθ)
−θθ3. sin(-θ) = -sinθ
(cosθ, -sinθ)4. cos(-θ) = cosθ
Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires et
celles permettant les translations horizontales.

5. sinθ= cos(2π -θ) =cos(θ-2π)
6. cosθ= sin(π2-θ) = sin(θ+π2)

Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.

7. secθ1 oc s =θ10. tgθ= sinθ
cosθ
1
8.cosecθ is n=θ11. cotgθ si cos =n θθ
1
9. tgθtoc = gθ

(cosθ, sinθ) En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a

θsinθ
cosθ

12.sin2 θ +cos2 θ 1 =


Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos2 θon obtient
l’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 par
sin2 θon obtient l’identité 14,

13. tg2 θ 1 = +sec2 θ
14. 1 +cotg2 θ =cosec2 θ


Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont:

is attention!
ma
sin(θ1+θ2)≠sinθ1+ sin θ 215. sin(θ1+θ2 sin) =θ1cosθ2+ sinθ2cosθ1
sinθ(θ1-θ2)≠sinθ1-sinθ216. sin(θ1–θ2) = sinθ1cosθ2– sinθ2cosθ1
os
ccos((θ11+-θθ22) ) ≠≠scos oc θθ1 1+- c ssocoθθ2217. cos(θ1+θ2 cos) =θ1cosθ2– sinθ1sinθ2

18. cos(θ1–θ2) = cosθ1cosθ2+ sinθ1sinθ2

André Lévesque

6-5

résolution d’équations
trigonométriques



exemple 6.1.7

on s’assure d’abord que les
arguments des fonctions
trigonométriques sont les
mêmes puis, si c’est
possible, on transforme tout
en sinus ou en cosinus

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur le
sinus et le cosinus d’angles doubles.

19. sin 2θ= 2 sinθcosθ
20. cos 2θ = cos2 θ- sin2 θ


En utilisant l’identité 12 dans la dernière, on obtient

- cos 2
21.sin2 θ =21θ
21 + cos 2θ
22.cosθ =2

On résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigono-
métriques de la même façon que l’on résout les équations algébriques.

Résoudre l’équation sin 2x = sin x pour x∈[0, 2π[ .

____________

sin 2x = sin x
2 sin x cos x = sin x(identité 19)
2 sin x cos x - sinx = 0
(sin x)(2 cos x - 1) = 0
⇒ sin x =0 o1
u cos x =2

Lorsque l’angle x∈[0, 2π[, on a

sin x =0 ⇒  x→ (1, 0) ⇒ x =0
 x→(-1, 0) ⇒ = xπ

cos
1 ⇒  x→(1/2,√3/2) ⇒ = x = x3π 35π
x =2 x→ (1/2, -√3/2) ⇒

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont {0 ,π5 3π}
,π 3 , .

6-6


exemple 6.1.8


exemple 6.1.9

il n’est pas toujours
nécessaire de tout
exprimer en sinus ou en
cosinus

André Lévesque

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

Résoudre l’équation sin2x cos2 = 0 pour x xx + sin∈[0, 2π[ .
-
____________

sin2x cos2x + sin = x 0
-
sin2x - (1 - sin2 0 x =x) + sin(identité 12)
sin2x - 1 + sin2 0 = xx + sin
2 sin2 x - 1 = 0x + sin
(2 sin x - 1)(sin x + 1) = 0

⇒ x sin = 1 2 sin ou = x-1

Lorsque l’angle x∈[0, 2π[, on a

x x →→((-√√/23)2,, / 212)1//3 ⇒⇒ = = x x 665ππ
sin x = 12 ⇒


sin x =-1 ⇒ x→ (0, -1) ⇒ = x2

Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont {6π ,32π , 56π} .

Résoudre l’équation cos2x = sin

____________

2 xx pour∈[0, 2π[ .

6-7


rép:{4π , 43π ,4 ,47 π }

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque

y

y

3π/2

x

π/2

π

x

=
ƒ(x) cotg x

y

x

−π

−3π/2

π/2

−π/2

π

3π/2

x

3π/2

π

π/2

−3π/2

−π

−π/2

−1

ƒ(x) = cos x
dom cos:R ima cos: [-1, 1]

graphiques
des fonctions
trigonométriques

−1

la fonction sinus est une
fonction impaire de
période 2π

la fonction cosinus est
une fonction paire de
période 2π

y

1

1

y

1

1

π/2

π

−π

−π/2
−1

la fonction sécante est
une fonction paire de
période 2π
la fonction cosécante est
une fonction impaire de
période 2π

−3π/2

dom cosec:R\ { 0 , ±π, ±2π…}
ima cosec: ]-∞, -1]∪[1,∞[

ƒ(x) = cosec x

π/2

π

−π

−π/2
−1

6-8

−3π/2

3π/2

x

−π/2

−π

−3π/2

la fonction tangente est
une fonction impaire de
périodeπ
la fonction cotangente
est une fonction impaire
de périodeπ

dom cotg:R\ { 0 , ±π, ±2π...} ima cotg:R

y

ƒ(x) = tg x

dom tg:R\ { ±π/2 , ±3π tg:/2…} imaR

3π/2

ƒ(x) = sin x
dom sin:R sin: [-1, 1] ima

x

−π/2

−π

−3π/2

3π/2

π

π/2

ƒ(x) = sec x

dom sec:R\ { ±π/2 , ±3π/2…}
ima sec: ]-∞, -1]∪[1,∞[

caractérisques du
graphique du sinus

1

Si l’on multiplie l’argument de
sin x par une quantité
B > 1 ou B < -1
la période de cette fonction
diminue; elle devient

B

lorsqu’on multiplie
l’argument par une
quantité supérieure à 1
ou inférieure à -1, la
courbe se contracte

lorsqu’on multiplie
l’argument par une
fraction, la courbe
s’allonge

3

2

Si l’on multiplie l’argument de
sin x par une quantité
-1 < B < 1
la période de cette fonction
augmente; elle devient

B

−π/2

L’importance des fonctions trigonométriques tient au fait qu’une
grande majorité des phénomènes étudiés en sciences sont périodiques.
Les ondes cérébrales ou les battements du coeur sont périodiques. Le
courant électrique, le champ électromagnétique produit par un micro-
onde, les mouvements des planètes, les saisons ou encore la
température sont autant de phénomènes périodiques. On n’a qu’à
penser à un phénomène et on a de fortes chances qu’il soit périodique.

Même si tous ces phénomènes semblent totalement différents, ils ont
un point en commun leurpériodicité. Il a été démontré que

« tout phénomène périodique quel qu’il soit peut être
représenté comme une combinaison algébrique de
fonctions sinus ou cosinus ».

Par conséquent, une bonne compréhension des fonctions sinus et
cosinus, permet de créer des modèles mathématiques pour tout phé-
nomène à caractère périodique.

−3π/2

−π

π/2

Si l’on multiplie sin x par une
quantité
A≠0

3π/2

x

y = sin(2x)

π

y = sin x

1

−1

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

y = sin(x/2)

x

6-9

y

−1

André Lévesque

−3π/2

−π/2

−π

y = sin x

3π/2

π

π/2

1

π/2

π

−3π/2

y = 2 sin x

−1

−2

3π/2

x

y

y2

l’amplitude de cette fonction
devient |A|.

l’amplitude correspond
à la moitié de la
différence entre le
maximum et le minimum
de la fonction

−π/2

−π

1

y = sin x

André Lévesque

x

1


2π/3

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

6-10

y = A sin B (x - C) + D

C

D + |A|

y

(C 0 et D > 0)
>


exemple 6.1.10

C +2π
|B|

x

2π2π
période: |3| =
3

amplitude: |2| = 2


Tracer le graphique de ƒ(x) = 2 sin 3x.
____________________
y

2

déplacement vert.: aucun

π/3

déphasage: aucun

−2


5

le déplacement
horizontal (vers la droite
ou vers la gauche) de la
courbe du sinus
détermine le déphasage
de cette courbe

Si on soustrait une quantité C
positive à l’argument du sinus,
le graphique subit une transla-
tion horizontale de C unités vers
la droite tandis que si on
soustrait une quantité C négative
à l’argument du sinus le gra-
phique subit une translation
horizontale de C unités vers la
gauche.

y

ƒ(x) = A sin B(x - C) + D
correspond à une fonction
sinusoïdale
lapériode|2tBse π|
l’amplitudeest |A|


4


En résumé

Si on ajoute une quantité D
positive à la fonction sin x, le
graphique subit une translation
verticale de D unités vers le
haut tandis que si on ajoute une
quantité D négative à la
fonction sin x, le graphique
subit une translation verticale
de D unités vers le bas.

D

ledéphasageest
déplacement vertical de

en physique, tous les
mouvements vibratoires
simples, telles les ondes
électromagnétiques et les
cordes vibrantes, peuvent
être représentés par des
sinusoïdes; on les utilise
aussi pour représenter les
mouvements oscillatoires
d’un pendule ou d’un
ressort

C

D

D - |A|

x

y2

−1

y = sin x

−π

−3π/2

y = sin x + 1

−2

−3π/2

−π

−π/2

−1

y = sin(xπ+ /2)

π/2

π

3π/2

y = sin x

π/2

x

3π/2

π

1

−π/2