INTEGRALE DE DIRICHLET

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• Publié par: porthos
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• Langue: Français

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p fi j j j j p j ˛ j p j " ¥  fi j d ¥ ¥ ¥ fi j y  ¥  fi p y p ¥ p fi - ¥ * y j  p y  ˛ y " j y  -  y - d p - ˛ d p - j -  y p  j  p  p  p  j y ˛  p - - INTÉGRALE DE DIRICHLET Soit l'application définie sur
par :+ sin x (x) = si x
et (0) = 1.+ x 1. L'application n'est pas intégrable sur
.+ a 2. lim (x) dx existe.
a + 0 + sin x 3. On a : dx =
0 x 2 Démonstration 1. Considérons la suite (u ) définie par :n n (n+1) (n+1) | sin x | u = | (x) |dx = dxn

n n x | sin(t + n ) | Posons t = x n : u = dtn
0 t + n 1 2 On a : u sin t dt n
0(n +1) (n +1) m 1 mm 2 1 D'où : m , | (x) |dx = u n
0 n n=0 n=1 Et comme la série harmonique diverge, on en déduit que n'est pas intégrable sur
.+ 2. Cependant, une intégration par parties donne : aa a a a asin x 1 cos x 1 cos x 1 cos a (x) dx = dx = + dx = + (x)dx = a (a) + (x)dx 2




0 0 0 0 0x x ax0 1 (On a posé : u(x) = ; v'(x) = sin x et on a choisit v(x) = 1 cos x) x 1 cos x (On rappelle que l'application : x se prolonge par continuité en 0 par (0) = 0) x 1 cos x 1 Or, l'application : x se prolonge par continuité en 0 par (0) = donc est localement 2 2x 2 intégrable sur
et comme : x
, | (x)| + + 2x On en déduit que est bien intégrable sur [1, + [ et donc (continuité sur [0, 1]) sur
, d'où :+ a lim (x)dx existe dans

a + 0 Et comme lim a (a) = lim (a) = 0, on a bien : a + a + a lim (x) dx existe dans

a + 0 Moralité : est non intégrable mais son intégrale impropre converge. Intégrale de Dirichlet Page 1 G. COSTANTINI-  -  p  fi -    -