Introduction aux Mathématiques Financi`eres – Notes de cours

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Introduction aux Mathematiques Financieres – Notes de cours Ioane Muni Toke Ecole Centrale Pekin 28 mars 2011 - 1er avril 2011 Version du 17 mars 2011
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Introduction aux Math´ematiques Financi`eres

Notes de cours
Ioane Muni Toke
Ecole Centrale P´ekin
28 mars 2011 - 1er avril 2011
Version du 17 mars 2011Introduction aux math´ematiques financi`eres
2Table des mati`eres
1 Rappels de probabilit´es 7
1.1 Espaces, tribus, mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Lois, moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Propri´et´es de l’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . 10
21.4.3 Esp´erance conditionnelle dans L . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Suites de variables al´eatoires et convergences . . . . . . . . . . . . . 12
2 Processus stochastiques `a temps discret 15
2.1 Processus et filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Mesurabilit´e des processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Transform´ees de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Propri´et´e de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Quelques mots sur les options en finance 21
3.1 L’exemple du call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Evaluation par arbitrage en temps discret 25
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Un mod`ele financier `a plusieurs p´eriodes . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Strat´egies (de trading) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3 Actif sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3Introduction aux math´ematiques financi`eres
4.2.4 Strat´egies autofinanc´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Opportunit´es d’arbitrage et probabilit´e martingale . . . . . . . . . . 28
4.3.1 D´efinition d’une oppportunit´e d’arbitrage . . . . . . . . . . . 28
4.3.2 D´efinition d’une probabilit´e martingale . . . . . . . . . . . . 28
4.3.3 Th´eor`eme fondamental de l’´evaluation par arbitrage . . . . . 28
4.4 March´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.1 Options et strat´egie de “r´eplication” . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.2 D´efinition d’un march´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4.3 Second th´eor`eme fondamental de l’´evaluation par arbitrage . 30
5 Le mod`ele binomial 31
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Construction du mod`ele binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Viabilit´e et compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Evaluation des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 Couverture (Hedging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 Vers un mod`ele `a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7 Algorithme d’´evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A Sujet de travaux pratiques : impl´ementation du mod`ele de Cox,
Ross & Rubinstein 39
A.1 Formule de Black & Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.2 Evaluation par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.3 Couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.4 Consignes de rendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4Introduction
Ces quelques notes de cours ont ´et´e assembl´ees en pr´eparation d’un bref cours
d’introduction aux processus stochastiques et aux math´ematiques financi`eres, de-
vant ˆetre donn´e `a l’Ecole Centrale P´ekin (Beihang University, P´ekin, Chine).
Lesdeuxpremierschapitressontconsacr´esauxoutilsmath´ematiquesn´ecessaires
`a l’expos´e des mod`eles financiers en temps discret. Le chapitre 1 r´esume quelques
r´esultatsfondamentauxnormalementexpos´esdansuncoursintroductif`alath´eorie
des probabilit´es, comme celui donn´e `a l’Ecole Centrale Paris (Herbin 2009). Le
chapitre 2 pr´esente tr`es bri`evement la notion de processus stochastiques `a temps
discret. L’accent est mis sur la notion de martingale et sur les r´esultats directe-
ment n´ecessaires aux mod`eles simples expos´es dans la suite du cours. La notion
de temps d’arrˆet est `a peine ´evoqu´ee. Les probl`emes de convergence ne sont pas
trait´es. Le mat´eriel pr´esent´e ici est tr`es classique et se retrouve dans de nombreux
cours disponibles en ligne ou dans des ouvrages comme celui de Jacod & Protter
(2002), Lawler (1995) ou encore Williams (1991).
Les trois chapitres suivants correspondent `a un cours donn´e par l’auteur en
2`eme ann´ee d’´etudes `a l’Ecole Centrale Paris (Abergel, Gabet & Muni Toke 2009).
Le chapitre 3 rappelle ce qu’est une option en finance et pr´ecise quelques mots de
vocabulaire. Le chapitre 4 pr´esente la th´eorie d’´evaluation par arbitrage en temps
discret. Finalement, le chapitre 5 est consacr´e `a l’expos´e du mod`ele de Cox, Ross
& Rubinstein (1979).
Ces notes sont tr`es succinctes et lacunaires, et ne sont qu’un support pour
l’expos´e en cours. Pour aller plus loin sur ces sujets, on pourra se reporter par
exemple aux ouvrages de Lamberton & Lapeyre (1998), Follmer & Schied (2004)
ou Shreve (2005).
5Introduction aux math´ematiques financi`eres
6Chapitre 1
Rappels de probabilit´es
On rappelle ici quelques notations et r´esultats de base de th´eorie des proba-
bilit´es, qui seront utilis´ees pour construire les mod`eles financiers probabilistes.
1.1 Espaces, tribus, mesures
On note de fa¸con usuelle Ω l’espace d’´etats, ensemble contenant les diff´erentes
r´ealisations possibles d’un ph´enom`ene al´eatoire `a ´etudier.
Remarque 1.1. Dans le cadre des math´ematiques financi`eres, la grandeur al´eatoire
´etudi´ee sera le plus souvent le prix d’un actif financier. Dans les mod`eles ´etudi´es
dans le cadre de ce cours, l’espace Ω sera le plus souvent suppos´e fini.
D´efinition 1.1 (Tribu). On appelle tribu toute famille de parties de Ω telle que :
– Ω∈F;
– si A∈F, alors Ω\A∈F;
S
– si∀n∈N,A ∈F, alors A ∈F.n nn∈N
Une tribu est donc une famille non vide, stable par passage au compl´ementaire
et par intersections et unions finies ou d´enombrables. Dans la litt´erature anglo-
phone, une tribu est appel´ee “σ-algebra”.
Exemple 1.1. {∅,Ω} est une tribu appel´ee tribu grossi`ere ou triviale. Si Ω est fini
ou d´enombrable, alorsP(Ω) est une tribu appel´ee tribu discr`ete.
Le couple (Ω,F) est appel´e espace mesurable. Sur cet espace, on peut d´efinir
une mesure.
D´efinition 1.2 (Mesure). Onappelle mesure de probabilit´e sur l’espacemesurable
(Ω,F) toute application P :F →[0,1] telle que :
– P(∅) = 0;
– P(Ω) = 1;
7Introduction aux math´ematiques financi`eres
– pourtoutesuited´enombrable(A ) d’´el´ementsdeF deux`adeuxdisjoints,n n∈NS P
P A = P(A ).n nn∈N n∈N
Cettederni`erepropri´et´eestappel´eeσ-additivit´e.Letriplet(Ω,F,P)estappel´e
espace mesur´e, ou encore espace de probabilit´e.
Remarque 1.2. Dans le cas d’un espace d’´etats fini, une mesure P est enti`erement
d´etermin´ee par sa valeur sur les singletons ω∈ Ω.
Remarque 1.3. Toute la mod´elisation financi`ere probabiliste se fonde sur la con-
struction d’un espace Ω groupant l’ensemble des sc´enarios d’´evolutions possibles
des prix d’un actif, et la d´etermination d’une “bonne” mesure P permettant
d’´evaluer les gains/pertes pour chacun de ces sc´enarios.
D´efinition 1.3 (Parties n´egligeables). Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e.
Une partie N de Ω est dite n´egligeable si il existe un ´el´ement A ∈ F tel que
N ⊂A et P(A) = 0.
D´efinition1.4(Mesures´equivalentes). Soitespacemesurable(Ω,F).Deuxmesures
de probabilit´e P et Q sont dites ´equivalentes si∀A∈F,P(A)= 0⇔Q(A) = 0.
Remarque 1.4. Dans les mod`eles financiers, on se placera souvent sur un espace
de probabilit´e (Ω,F,P) fini, tel que ∀ω ∈ Ω,P(ω) > 0. Dans ces conditions, une
mesure Q ´equivalente `a P est telle que∀ω∈ Ω,Q(ω)> 0.
1.2 Variables al´eatoires
1.2.1 D´efinitions
D´efinition 1.5. Soient (Ω,F,P) un espace de probabilit´e et (E,E) un espace
mesurable. On appelle variable al´eatoire `a valeurs dans E toute application mesu-
rable de Ω dans E.
Autrement dit, une variable al´eatoire X sur (Ω,F,P) et `a valeur dans E est
−1telle que∀A∈E,X (A)∈F.
D´efinition 1.6. Soient (Ω,F,P) un espace de probabilit´e et X une variable
al´eatoire `a valeurs dans un espace (E,E). On appelle tribu engendr´ee par X la
−1 −1sous-tribu X (E) ={X (A)|A∈E}.
La tribu engendr´ee est la plus petite tribu de Ω “rendant X mesurable”. De
fa¸con usuelle, la tribu engendr´ee par une variable al´eatoire X est not´ee σ−(X).
8Ioane Muni Toke
1.2.2 Lois, moments
D´efinition 1.7. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Soit X une variable
al´eatoire `a valeurs dans un espace (E,E). On appelle loi de X ou distribution
de X la mesure image de P par X, i.e. l’application P :E →[0,1] telle queX
−1∀A∈E,P (A) =P({ω∈ Ω|X(ω)∈A}) =P(X (A)) (1.1)X
Une variable al´eatoire X, en tant qu’application mesurable, peut ˆetre int´egr´ee
1 1par rapport `a la mesure P . De fa¸con usuelle, on note L (Ω,F,P) l’ensemble des
variables al´eatoires int´egrables par rapport `a P :
Z