Le théorème limite central nous dit que les sommes de v a indépendantes de carré intégrable convenablement normalisées se comportent asymptotiquement en loi comme une v a gaussienne Il explique l'importance centrale des lois gaussiennes dans la théorie des probabilités et la statistique Il complète la loi des grands nombres en donnant une sorte de vitesse de convergence permettant notamment de construire des intervalles de confiance pour l'estimation d'un paramètre

• cours - matière potentielle : i


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Chapitre 1 Théorème limite central Le théorème limite central nous dit que les sommes de v.a. indépendantes, de carré intégrable, convenablement normalisées, se comportent asymptotiquement « en loi » comme une v.a. gaussienne. Il explique l'importance centrale des lois gaussiennes dans la théorie des probabilités et la statistique. Il complète la loi des grands nombres en donnant une sorte de vitesse de convergence, permettant notamment de construire des « intervalles de confiance » pour l'estimation d'un paramètre. Pour donner un sens mathématique précis à cette notion de « comportement asymp- totique en loi », il nous faut d'abord introduire la convergence en loi. 1.1 Convergence en loi Nous énonçons deux définitions de la convergence en loi et nous admettrons leur équivalence. Définition 1.1 (convergence en loi). Notons Fn et F les fonctions de répartition respectives des variables aléatoires réelles Yn (n ≥ 1) et Y . On dit que la suite (Yn)n≥1 converge en loi vers Y si ?x point de continuité de F , Fn(x) ????? n?+∞ F (x). (1.1) Rappelons que x est point de continuité de la f.d.r. F si et seulement si F (x?) = F (x) ou encore P (Y = x) = 0. Définition 1.2 (convergence en loi).

• xk des variables de loi uniforme


• xk ≤


• réelles yn


• convergence en loi


• yn


• variables aléa- toires réelles


• aléatoire z