MAT Universite Joseph Fourier Feuille de TD Autour du probleme d'unicite

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MAT 127 (Universite Joseph Fourier) Feuille de TD 2 : Autour du probleme d'unicite Exercice 1 : a) Trouver les positions d'equilibre, et des dessiner solutions stationnaires et non stationnaires de l'equation differentielle y? = f(y), ou f est definie par le graphe suivant x f(x) b) Memes questions pour l'equation differentielle y? = y ? y3. Exercice 2 : Etant donnees des constantes strictement positives a et b , considerons l'equation differentielle : (1) y? = a y2 ? b y, qui peut etre utilisee pour modeliser des populations rarefiees (cf chapitre 1, section 1.2 b)). Si y(t) represente le nombre d'individus d'une population, existe t'il un nom- bre critique en dessous duquel la population est conduite a l'extinction ? Exercice 3 : On considere l'equation differentielle y? = y(1? y)? h := fh(y) ou h > 0 est un parametre. Il s'agit d'une equation logistique modifiee, le terme ?h representant une “recolte“. On peut supposer par exemple que y(t) est un nombre de poissons1 dans un lac ou une mer donnee, et h la quantite pechee chaque Unite de 1On verra plus en detail les a priori justifiant la modelisation de populations par la loi logistique dans le prochain chapitre.

extinction de la population

equation differentielle

nom- bre critique en dessous

memes questions pour l'equation differentielle

modeliser des populations rarefiees

deceler des solutions

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MAT127(Universit´eJosephFourier) FeuilledeTD2:Autourduprobl`emed’unicit´e

Exercice 1 : a)Trouverlespositionsd’´equilibre,etdesdessinersolutionsstationnairesetnon stationnairesdel’e´quationdiﬀ´erentielle ′ y=f(y), ou`ftnaviusehpargarleniepd´eﬁest f(x)

b)Meˆmesquestionspourl’e´quationdiﬀe´rentielle ′3 y=y−y .

Exercice 2 :ptnemetcsevitisotanscoesristesnttEnadtno´needsaetb,conseronsid´ l’e´quationdiﬀ´erentielle: ′2 (1)y=a y−b y, quipeutˆetreutilise´epourmod´eliserdespopulationsrare´ﬁe´es(cfchapitre1,section 1.2 b)). Siy(tteisexn,nounilt’mnbtreeld´eensoemirveipdr’ind)nupesu’dtaoipolu brecritiqueendessousduquellapopulationestconduite`al’extinction?

Exercice 3 :eocnOuqta’le´e`ersndiiellrentiﬀ´eiond ′ y=y(1−y)−h:=fh(y) o`uh >paunst0edomee´ﬁisigouqitelee,rmteI.sla’igar`mteerquationltd’une´e−h repr´esentantune“re´colte“.Onpeutsupposerparexemplequey(t) est un nombre 1 depoissonsdansunlacouunemerdonn´ee,ethe´ˆpce´heehcqaeulaquantitede´tinU 1 Onverraplusende´taillesa prioriiondisatd´ellamoaﬁtnsuitjiqstueoialgilosnoilrappopetalu dans le prochain chapitre.

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