MAT Universite Joseph Fourier Feuille de TD Autour du probleme d'unicite

Joseph Fourier

Description

MAT 127 (Universite Joseph Fourier) Feuille de TD 2 : Autour du probleme d'unicite Exercice 1 : a) Trouver les positions d'equilibre, et des dessiner solutions stationnaires et non stationnaires de l'equation differentielle y? = f(y), ou f est definie par le graphe suivant x f(x) b) Memes questions pour l'equation differentielle y? = y ? y3. Exercice 2 : Etant donnees des constantes strictement positives a et b , considerons l'equation differentielle : (1) y? = a y2 ? b y, qui peut etre utilisee pour modeliser des populations rarefiees (cf chapitre 1, section 1.2 b)). Si y(t) represente le nombre d'individus d'une population, existe t'il un nom- bre critique en dessous duquel la population est conduite a l'extinction ? Exercice 3 : On considere l'equation differentielle y? = y(1? y)? h := fh(y) ou h > 0 est un parametre. Il s'agit d'une equation logistique modifiee, le terme ?h representant une “recolte“. On peut supposer par exemple que y(t) est un nombre de poissons1 dans un lac ou une mer donnee, et h la quantite pechee chaque Unite de 1On verra plus en detail les a priori justifiant la modelisation de populations par la loi logistique dans le prochain chapitre.

• extinction de la population


• equation differentielle


• nom- bre critique en dessous


• memes questions pour l'equation differentielle


• modeliser des populations rarefiees


• deceler des solutions

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Extrait

MAT127(Universit´eJosephFourier) FeuilledeTD2:Autourduprobl`emed’unicit´e

Exercice 1 : a)Trouverlespositionsd’´equilibre,etdesdessinersolutionsstationnairesetnon stationnairesdel’e´quationdiff´erentielle ′ y=f(y), ou`ftnaviusehpargarleniepd´efiest f(x)

b)Meˆmesquestionspourl’e´quationdiffe´rentielle ′3 y=y−y .

x

Exercice 2 :ptnemetcsevitisotanscoesristesnttEnadtno´needsaetb,conseronsid´ l’e´quationdiff´erentielle: ′2 (1)y=a y−b y, quipeutˆetreutilise´epourmod´eliserdespopulationsrare´fie´es(cfchapitre1,section 1.2 b)). Siy(tteisexn,nounilt’mnbtreeld´eensoemirveipdr’ind)nupesu’dtaoipolu brecritiqueendessousduquellapopulationestconduite`al’extinction?

Exercice 3 :eocnOuqta’le´e`ersndiiellrentiff´eiond ′ y=y(1−y)−h:=f h (y) o`uh >paunst0edomee´fiisigouqitelee,rmteI.sla’igar`mteerquationltd’une´e−h repr´esentantune“re´colte“.Onpeutsupposerparexemplequey(t) est un nombre 1 depoissonsdansunlacouunemerdonn´ee,ethe´ˆpce´heehcqaeulaquantitede´tinU 1 Onverraplusende´taillesa prioriiondisatd´ellamoafitnsuitjiqstueoialgilosnoilrappopetalu dans le prochain chapitre.

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