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  • cours - matière potentielle : math - iv


Math IV : Analyse (version du 09/06/2011) 1 Page-web du cours : http ://math.univ-lyon1.fr/?okra/2011-MathIV/ responsable de UE : Olga Kravchenko, bat Braconnier, 102 bis, , Table des matieres 1. Chapitre I. Topologie d'un espace vectoriel reel 2 1.1. Espaces metriques, definition de la distance 2 1.2. Boules ouvertes, fermees. Spheres. Parties bornees 3 1.3. Ouverts et Fermes 3 1.4. Normes des espaces vectoriels 4 2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables. 6 2.1. Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de niveau. 6 2.2. Notion de limite 6 2.3. Continuite 7 2.4. Coordonnees polaires 9 2.5. Proprietes des fonctions continues sur un compact 10 2.6. Connexite par arc. Theoreme des valeurs intermediaires 10 3. Chapitre III. Calcul Differentiel 11 3.1. Derivees. Matrice jacobienne. Gradient 11 3.2. Proprietes des derivees partielles. 12 3.3. Derivees partielles d'ordre superieur. Fonctions de classe Ck. Theoreme de Schwarz 13 3.4. Differentielle 14 4. Chapitre IV. Proprietes geometriques des fonctions de plusieurs variables 17 4.1. Derivee directionnelle 17 4.2. Gradient. 18 4.3. Formule de Taylor 19 4.4. Vecteur normal et plan tangent a un graphe d'une fonction de 2 variables 21 5.

  • ??x? ≤

  • point de coordonnees

  • relation d'equivalence

  • theoreme

  • equivalence des normes ??

  • proprietes des derivees partielles

  • boule ouverte


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1Math IV : Analyse (version du 09/06/2011)
Page-web du cours : http ://math.univ-lyon1.fr/∼okra/2011-MathIV/
responsable de UE : Olga Kravchenko, bˆat Braconnier, 102 bis, 04 72 43 27 89,
okra@math.univ-lyon1.fr
Table des matieres
1. Chapitre I. Topologie d’un espace vectoriel r´eel 2
1.1. Espaces m´etriques, d´efinition de la distance 2
1.2. Boules ouvertes, ferm´ees. Sph`eres. Parties born´ees 3
1.3. Ouverts et Ferm´es 3
1.4. Normes des espaces vectoriels 4
2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables. 6
2.1. Fonctions de plusieurs variables. Graphes. Lignes de niveau. 6
2.2. Notion de limite 6
2.3. Continuit´e 7
2.4. Coordonn´ees polaires 9
2.5. Propri´et´es des fonctions continues sur un compact 10
2.6. Connexit´e par arc. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires 10
3. Chapitre III. Calcul Diff´erentiel 11
3.1. D´eriv´ees. Matrice jacobienne. Gradient 11
3.2. Propri´et´es des d´eriv´ees partielles. 12
k3.3. Deriv´ees partielles d’ordre sup´erieur. Fonctions de classe C . Th´eor`eme
de Schwarz 13
3.4. Diff´erentielle 14
4. Chapitre IV. Propri´et´es g´eom´etriques des fonctions de plusieurs variables 17
4.1. D´eriv´ee directionnelle 17
4.2. Gradient. 18
4.3. Formule de Taylor 19
4.4. Vecteur normal et plan tangent `a un graphe d’une fonction de 2 variables 21
5. Extrema 23
5.1. locaux et globaux. D´efinition 23
5.2. Th´eor`eme des extrema sur un compact 23
5.3. Extrema de fonctions de 2 variables - crit`ere par le d´eterminant de
matrice Hessienne 24
5.4. Extrema li´es 26
5.5. d’une fonction de n> 2 variables 28
6. Chapitre VI. Champs de vecteurs 28
6.1. Definitions 28
6.2. Gradient. Op´erateur Nabla 28
6.3. Divergence et Rotationnel 29
6.4. Th´eor`eme de Poincar´e 30
1. Remerciementsaux´etudiantsde2`emeann´eeenmath-infolorsduprintempsdifficiledesgr`eves
2009 pour des corrections et surtout `a Yoann Potiron, pour m’avoir convaincue d’´ecrire ce cours!
Merci aussi `a mes coll`egues Tuna Altinel, Damien Gayet et J´erˆome Germoni pour leurs remarques
pertinentes. Et enfin, ce texte a ´et´e soigneusement relu par Emmanuelle Curatolo, ´etudiante du
cours math-IV analyse en 2010-2011. Je n’aurai suremenˆ t pas fini ce texte sans ses corrections et
des discussions avec elle. Je lui suis sinc`erement reconnaissante.
12
6.5. Calcul du potentiel 31
7. Chapitre VII. Formes diff´erentielles 32
7.1. Formes diff´erentielles 32
7.2. n-formes diff´erentielles 33
7.3. Formes exactes. Diff´erentielle de de Rham 34
7.4. La dimension 3 est sp´eciale. 36
7.5. Formes ferm´ees. Th´eor`eme de Poincar´e pour les formes diff´erentielles 37
8. Chapitre VIII. Int´egrales multiples 38
8.1. D´efinition. Int´egrale double 38
8.2. Aire d’une partie quarrable. Th´eor`eme de Fubini 39
8.3. Changement de variables dans une int´egrale double. Matrice jacobienne 40
8.4. Volume. Int´egrales triples. 42
8.5. Coordonn´ees cylindriques. Coordonn´ees sph´eriques 43
9. Chapitre IX. Courbes et Int´egrales curvilignes 43
2 29.1. Courbes deR . Th´eor`eme des fonctions implicites pour les courbes deR 43
39.2. Droite tangente, plan normal a` une courbe param´etr´ee de R 46
9.3. Longueur d’une courbe. Abscisse curviligne 47
9.4. Int´egrale curviligne d’une fonction 48
9.5. Int´ d’un champ de vecteurs = int´egrale curviligne d’une
1-forme diff´erentielle 48
9.6. Th´eor`eme de Poincar´e et int´egrale curviligne 49
10. Chapitre X. Th´eor`emes de Stokes : Green-Riemann, Ostrogradski... 51
10.1. Th´eor`eme de Green-Riemann 51
10.2. Applications (calcul d’aire, th´eor`eme de Poincar´e) 52
10.3. Surfaces. Int´egrale de surface de fonctions r´eelles 53
10.4. Int´egrale de surface d’un champ de vecteurs 56∫ ∫
10.5. Formule de Stokes g´en´erale : ω = dω 57
∂(D) D
R´ef´erences 59
1. Chapitre I. Topologie d’un espace vectoriel reel
1.1. Espaces m´etriques, d´efinition de la distance.
pOn note R = R×···×R = {X = (x ,·,x )| x ∈ R, ∀i ∈ [1,··· ,p]} - espace1 p i| {z }
p fois
vectoriel r´eel de dimension p.
p qOn s’int´eresse aux fonctions f :D⊂R →R . Il faut d’abord ´etudier la structure
du domaine D car le domaine est aussi important que la fonction. Pour cela on va
d´efinir une notion de distance.
D´efinition 1. SoitE un ensemble non-vide. On dit qu’une application d :E×E→
R , d : (x,y)7!d(x,y)estunedistancesurE siellev´erifielestroisaxiomessuivants:+
D1 (s´eparation)∀(x,y)∈E×E, {x =y}⇔{d(x,y) = 0};
D2 (sym´etrie)∀(x,y)∈E×E, d(x,y) =d(y,x);
D3 (in´egalit´e triangulaire)∀(x,y,z)∈E×E×E, d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).
D´efinition 2. On appelle espace m´etrique tout couple (E,d) ou`E =∅ est un espace
vectoriel et d est une distance.
Exemple 3. (1) E =R, d(x,y) =|x−y|
̸3
(2) E = R. Soit f : x 7! f(x) une fonction concave d´efinie ∀x ≥ 0, et t.q.
{f(x) = 0}⇔{x = 0}. Alors d(x,y) =f(|x−y|) est une distance. En effet,
les propri´et´es D1 et D2 sont´evidentes et D3 suit de la condition de concavit´e.
Une fonction est concave sur un intervalle I si x ,x ,x ,x ∈ I et x <0 1 2 3 0
f(x )−f(x ) f(x )−f(x )1 0 3 2x < x < x alors, ≥ . (G´eom´etriquement, c’est une1 2 3 x −x x −x1 0 3 2
remarque sur la relation entre les pentes de deux droites qui lient les points
de coordonn´ees (x ,f(x ) et (x ,f(x )) et (x ,f(x ) et (x ,f(x )). Faites un0 0 1 1 2 2 3 3
f(a)−f(0)
dessin!). Donc si on prend x = 0,x =a,x =b,x =a+b on a ≥0 1 2 3 a−0
f(a+b)−f(b)
. Mais f(0) = 0 alors, si 0 < a < b on a f(a)≥ f(a+b)−f(b) et
a+b−b
donc f(a+b)≤f(a)+f(b).
On a beaucoup d’exemples de distances diff´erentes sur R. En particulier,
√ |x−y|
d(x,y) = |x−y| ou d(x,y) = Le dernier exemple d´efinit une
1+|x−y|.
distance surR qui, pour tout point, est inf´erieure `a 1.
p p p(3) M´etriques sur E =R , soit X = (x ,··· ,x )∈R et Y = (y ,··· ,y )∈R .1 p 1 p
∑ 1/2p 2On a d (X,Y) = ( |x −y| ) (m´etrique euclidienne),2 i ii=1∑p
ou d (X,Y) = |x −y|,1 i ii=1
ou d (X,Y) = sup |x −y|∞ i ii=[1,···,p]
{
0 si x =y,
(4) SoitE unensemblequelconque.Pourx,y∈E ond´efinitd(x,y) =
1 sinon.
Remarque : dans cet exemple (E,d) n’est pas un espace m´etrique.
1.2. Boules ouvertes, ferm´ees. Sph`eres. Parties born´ees.
pD´efinition 4. Soit a un point deR et r> 0 un nombre r´eel.
p(1) B(a,r) :={x∈R | d(a,x)≤ r} est appel´ee boule ferm´ee de centre a et de
rayon r.
p(2) Une boule ouverte de centre a et de rayon r est B(a,r) :={x∈R | d(a,x)<
r}
p(3) Une sph`ere de centre a et de rayon r est S(a,r) ={x∈R | d(a,x) =r}
On obtient des boules de formes diff´erentes pour des espaces m´etriques diff´erents.
2Pour le voir je recommande vivement de dessiner des boules unit´e dans R pour les
distances d ,d et d .1 2 ∞
p pD´efinition 5. Une partie born´eeP deR est une partie deR pour laquelle on peut
trouver une boule (ouverte ou ferm´ee) qui contient tous les points de P.
1.3. Ouverts et Ferm´es.
pD´efinition 6. Une partie ouverte (ou un ouvert) deR est une partie U t.q. ∀u ∈
U, ∃r > 0 tel que B(u,r)⊂U ie tout point de U est le centre d’une boule ouverte,
de rayon non-nul, incluse dans U.
pUne partie ferm´ee (ou un ferm´e) deR est une partie telle que son compl´ementaire
pU dansR est un ouvert.
Remarque 7. E et∅ sont `a la fois ouverts et ferm´es.
Proposition8. Dansunespacem´etrique(E,d),(1)unebouleouverteestunouvert,
et (2) une boule ferm´ee est un ferm´e.4
D´emonstration. (1)Soity∈B(a,r).Alorschoisissonsϵ> 0t.q.d(a,y)<r−ϵ(untel
ϵ existe, card(a,y) est strictement plus petit quer). Pour toutz∈B(y,ϵ), montrons
que z ∈ B(a,r), cela veut dire qu’autour de chaque point y de B(a,r) il existe une
boule ouverte enti`erement contenue dans B(a,r).
Par in´egalit´e triangulaire d(a,z)≤ d(a,y)+d(z,y)⇒ d(a,z) < r−ϵ+ϵ = r. Donc
z∈B(a,r), i.e. chaque point de B(y,ϵ) appartient a` B(a,r) et B(y,ϵ)⊂B(a,r).
(2) Soit{B(a,r) le compl´ementaire deB(a,r). Il faut montrer que{B(a,r) est un
ouvert. Soit y ∈{B(a,r). Montrons qu’il existe une boule contenant y enti`erement
contenue dans{B(a,r).
Puisque y est en dehors de B(a,r), d(a,y)>r. Soit ϵ =d(a,y)−r> 0.
Pour tout z∈B(y,ϵ) montrons que z∈{B(a,r). En effet, par in´egalit´e triangulaire
d(a,z)+d(z,y)≥d(a,y) =r+ϵ. Donc d(a,z)≥r+ϵ−d(z,y). Puisque z∈B(y,ϵ)
on a ϵ>d(z,y) donc d(a,z)>r+ϵ−d(z,y)>r+ϵ−ϵ =r⇒z∈{B(a,r). Donc
B(a,r) est un compl´ement d’un ouvert, c’est donc un ferm´e.
De nition9. SoitE unensemblenon-videetP(E)l’ensembledesesparties.Onappelletopologie induite par distance
(ou topologie tout court) l’ensemble des ouverts T ⊂P(E) v´erifiant les propri´et´es suivantes :
(1) E et ∅ sont des ´el´ements de T
(2) Toute intersection finie d’´el´ements de T appartient a` T
(3) Toute r´eunion d’´el´ements de T appartient `a T.
pD´efinition 10. Position d’un point par rapport `a une partie deR .
pSoit A⊂R .
p(1) On dit quea est int´erieur `aA si on peut trouver un ouvertU ∈R t.q.a∈U
o
et U ⊂A. L’int´erieur de A, not´eA, est le plus grand ouvert inclus dans A.
p(2) On dit que a est un point fronti`ere de A si tout ouvert U ⊂ R contenant a
rencontre `a la fois A et le compl´ementaire de A.
p(3) On dit que a est adh´erent a` A si tout ouvert U ⊂ R contenant a rencontre
A.
(4) L’adh´erence de A, not´ee A, est le plus petit ferm´e qui contient A.
p pD´efinition11. Onditqu’unepartieV deR estunvoisinagedex∈R siV contient
un ouvert contenant x.
pExercice. D´emontrer l’´equivalence avec la d´efinition suivante : On dit queV ⊂R
est un voisinage de x ssi∃ε> 0 tel que B(x,ε)⊂V.
1.4. Normes des espaces vectoriels.
D´efinition 12. SoitE un espace vectoriel surR. On appelle norme surE une appli-
cation de E dansR qui `a x∥ x∥∈R , et v´erifie+ +
N1 (s´eparation)∀x∈E,∥x∥= 0⇔x = 0
N2 (homog´en´eit´e positive)∀λ∈R,∀x∈E,∥λx∥=|λ|·∥x∥
N3 (in´egalit´e triangulaire)∀x,y∈E,∥x+y∥≤∥x∥ +∥y∥.
UnespacevectorielsurRmunid’unenormeestappell´eespace vectoriel norm´e (e.v.n.).
Proposition 13. SoitE un e.v.n. L’applicationd :E×E→R qui au couple (x,y)+
associe d(x,y) :=∥x−y∥ est une distance sur E.
On l’appelle distance induite sur E par la norme. Elle poss`ede les propri´et´es sui-
vantes :
– ∀x∈E, d(0,x) =∥x∥
2– ∀λ∈R, ∀(x,y)∈E , d(λx,λy) =|λ|d(x,y)5
– ∀(x,y,z)∈E×E×E, d(x+z,y+z) =d(x,y).
Remarque 14. Toute norme induit une distance, par contre toutes les distances ne
proviennent pas d’une norme. La distance (4) de l’exemple 3 n’est induite par aucune
norme (quelle propri´et´ee de la norme n’est pas forc´ement satisfaite?).
p pExempledenormessurR .Soitx∈R , X = (x ,··· ,x ), x ∈R,∀i∈ [1,··· ,p].1 p i
Alors ∑p
∥X ∥ = |x| (norme de Manhattan)1 i1∑p 1/22∥X ∥ = ( |x| ) (norme euclidienne)2 i1∑ 1/np n∥X ∥ = ( |x| )n i1
∥X ∥ = max |x|∞ 1≤i≤p i
psont des normes surR .
′ pD´efinition 15. Normes ´equivalentes. Deux normes ∥·∥ et ∥·∥ sur R sont
p´equivalentes s’il existe deux constantes λ > 0,µ > 0 telles que ∀X ∈ R ,λ∥X∥ ≤
′ ′∥X∥ ≤µ∥X∥. On note∥·∥∼∥·∥.
Proposition 16. Cette d´efinition induit une relation d’´equivalence.
Demonstration. – re exivite : ∥·∥∼∥·∥
′ 1 ′ 1 ′– symetrie : si λ∥X∥≤∥X∥ ≤µ∥X∥ alors ∥X∥ ≤∥X∥≤ ∥X∥.

′ ′ ′′ ′ ′′– transitivite : λ∥X∥≤∥X∥ ≤µ∥X∥ et β∥X∥ ≤∥X∥ ≤γ∥X∥ implique βλ∥X∥≤∥X∥ ≤γµ∥X∥.

∑ 1/2p 2Exemple 17. Les normes ∥ X∥ = ( |x| ) et ∥ X ∥ = max |x| sont2 i ∞ 1≤i≤p i1 √2 1/2´equivalentes. En effet, on a∥X∥ ≤ (p·∥X∥ ) = p∥X∥ . Soitk∈{1,··· ,p} tel2 ∞∞
∑ 1/2p2 1/2 2que x = max{x ,··· ,x } =∥X∥ , alors ∥X∥ = (x ) ≤ ( |x| ) =∥X∥ .k 1 p ∞ ∞ i 2k 1
1
√Donc ∥X∥ ≤∥X∥ ≤∥X∥ .2 ∞ 2p
Exercice.
1. Montrer que toutes les normes∥·∥ ,n∈ [1,+∞] sont ´equivalentes.n
1′ ′2.Si∥·∥∼∥·∥ montrerqu’ilexisteuneconstante λ> 0t.q.λ∥X∥≤∥X∥ ≤ ∥X∥
λ
1′ ′et λ∥X∥ ≤∥X∥≤ ∥X∥.
λ
Theoreme 18. Deux normes equivalentes induisent la m^eme topologie.
Ie si les normes sont ´equivalentes on trouve que deux ensembles
pT ={U ∈P(R ),U ouvert pour la norme ∥·∥}
′ p ′ ′et T ={U ∈P(R ), U ouvert pour la norme ∥·∥}, sont ´egaux : T =T .
′Demonstration. Soit U un ´el´ement de T, il faut montrer que c’est aussi un ´el´ement de T .
Cela se traduit :
Soit U un ouvert pour la norme ∥·∥ ⇔ ∀X ∈ U, ∃ε > 0 tel que B(X,ε) ⊂ U. On va m.q. U est un ouvert
′ ′ ′ ′pour la norme ∥·∥. Pour tout X ∈U il faut montrer qu’il existe ε > 0 tel que B (X,ε ), une boule pour la norme
′ ′ ′ ′∥·∥ est un sous-ensemble de U. Pour cela on va trouver ε tel que tout point Y de B (X,ε ) appartienne aussi `a
p ′ ′ "B(X,ε) et donc `a U. Par ´equivalence des normes ∃λ > 0 tel que ∀Z ∈ R ∥Z∥ ≤ λ∥Z∥. Soit Y ∈ B (X, ) on a

ε ε′ ′∥X−Y∥≤λ∥X−Y∥ <λ =ε donc B (X, )⊂U. Donc si U est un ouvert pour ∥·∥, alors pour tout X ∈U, il
λ λ
ε′ ′ ′ ′existe ε = > 0 tel que B (X,ε )⊂U. Donc U est un ´el´ement de T .
λ
′De la mˆeme mani`ere on montre que si U est un ´el´ement de T , c’est aussi un ´el´ement de T.
Th´eor`eme 19. (Admis.) Sur un espace vectoriel norm´e de dimension finie, toutes
les normes sont ´equivalentes.
pCorollaire 20. On parle de la topologie usuelle sur R sans preciser la norme.
Dans la suite, on notera||.|| sans pr´eciser de quelle norme il s’agit.6
2. Chapitre II. Fonctions de plusieurs variables.
2.1. Fonctionsdeplusieursvariables.Graphes.Lignesdeniveau. Ons’int´eresse
p qmaintenant aux fonctions f : D ⊂ R → R . On distingue des fonctions scalaires :
p p qR →R et des vectorielles :R →R ,q> 1.
On va commencer par l’´etude des fonctions de deux variables. Une fonction d´efinie
2sur une partie D deR et `a valeurs r´eelles fait correspondre `a tout point X = (x,y)
de D, (appel´e le domaine de d´efinition de F) un r´eel unique f(X).
2D´efinition 21. Soit f :D→R, D⊂R .
3(1) L’ensemble des points deR
3S ={(x,y,z)∈R |(x,y)∈D, z =f(x,y)}.
est appel´e la surface repr´esentative de f. S est aussi appel´e le graphe de la
fonction f.
(2) Soit A = (a,b) un point int´erieur de D. Les fonctions x 7! f(x,b) et y 7!
f(a,y) d´efinies sur des intervalles ouverts, contenant respectivement b et a
sont appel´ees les fonctions partielles associ´ees a` f au point A.
(3) Soit k ∈ R. L’ensemble L = {(x,y) ∈ D tel que f(x,y) = k} est lak
ligne de niveau k de la fonction f.
Remarque 22. Pour les fonctions de trois variables, la notion analogue `a la ligne de
niveau est celle de surface de niveau (Formulez-l`a!)
Les lignes de niveau et les fonctions partielles sont utiles pour dessiner les graphes
des fonctions.
2 2 2 2Exemple 23. A.f(x,y) = 4x +y surD ={x +y ≤ 4}. On calcule et repr´esente
des lignes de niveau k = 0,k = 1,k = 2,k = 4,k = −1. Pour k = 0 c’est un seul
point (0,0), avec la valeur de la fonction 0, pour k = 1,2,4 on obtient des ellipses.
2 2Par exemple aux points de l’ellipse 4x +y = 1 la fonction a la valeur 1, etc. La ligne
de niveau k = −1 est l’ensemble vide (la fonction ne prend la valeur −1 en aucun
2 2point). Au point (0,0) les fonctions partielles sont x7! 4x et y7!y .
2 2B. Sur D ={x +y ≤ 4} et x = 0 on consid`ere la fonction f(x,y) = y/x avec ses
lignes de niveau k = 0,1,−1,2,−2. Ce sont des intervalles des droites y = 0, y =
x, y =−x, y = 2x, y =−2x sans le pointx =y = 0. La valeur de la fonction sur la
droite y =x est ´egale a` 1, sur y =−x est ´egale `a−1, etc.
2.2. Notion de limite. Une fois qu’on a les normes et les voisinages, la d´efinition
de limite est la mˆeme que dansR ouC :
p pD´efinition 24. Soit (X ) une suite d’´el´ements de R et A ∈ R . On dit quen n∈N
lim X =A ssi∀V voisinage de A,∃N ∈N tel que n≥N ⇒X ∈V. C’est-`a-n V V n
n→+∞
dire∀ε> 0∃N ∈N tel que n≥N ⇒∥X −A∥≤ε.ε ε n
Lien avec les limites dansR :
( )
pPropri´et´e25. Soit(X ) = (x ,...,x ) unesuitedeR etA = (a ,...,a )∈n n n 1 p1 pn∈N n∈N
pR , alors lim X =A ssi∀i = 1,...,p, lim x =a .n n ii
n→+∞ n→+∞
p q qD´efinition 26. Soit f : D⊂R →R et A∈D. On dit que f a une limite L∈R
en A ssi∀(X ) suite de D telle que lim X =A, on a lim f(X ) =L.n n nn∈N
n→+∞ n→+∞
̸7
Il y a une autre d´efinition de la limite d’une fonction utilisant ε − δ qui est
´equivalente `a la d´efinition 26.
q pD´efinition 27. Soitf :D→R une fonction d´efinie sur une partieD deR etA un
qpoint adh´erent `a D, L un point deR . On dit que f a pour limite L lorsque X →A
si : (∀ε> 0,∃η> 0 ;∥X−A∥≤η,X ∈D) =⇒ (∥f(X)−L∥≤ε).
Remarque 28.
(1) La notion de limite ne d´epend pas des normes utilis´ees (pourquoi?).
(2) La limite, si elle existe, est unique (trivial mais tr`es important).
(3) La limite partielle : soit D ⊂ D un sous-ensemble et A un point adh´erent1
a` D . Si f(X) tend vers L lorsque X tend vers A en restant dans D, alors1
f(X) tend vers la mˆeme limite L si X tend vers A ent dans D . En1
particulier, si on regarde le comportement des fonctions partielles au mˆeme
point, elles doivent toutes avoir la mˆeme limite (si elle existe, bien sur).ˆ
Nous avons les propri´et´es suivantes des limites de fonctions :
pProposition 29. Soient f et g des fonctions d´efinies sur D ⊂ R a` valeur dans
qR , X ∈D et A un point adh´erent `a D.
(1) lim (f(X)±g(X)) = lim f(X)±lim g(X)X→A X→A X→A
(2) lim f(X)g(X) = lim f(X)·lim g(X)X→A X→A X→A
(3) Pour les fonctions `a valeurs r´eelles (i.e. q = 1) si lim f(X) = 0 on aX→A
1 1
lim = .
X→Af(X) lim f(X)X→A
n p(4) Composition. Soient les fonctions g : E ⊂ R → R , i = 1,··· ,p et Bi
p qun point adh´erent `a E et f : D ⊂ R → R , si lim g (Y) = a, A =Y→B i i
(a ,··· ,a ) un point adh´erent a` D alors1 p
lim f(g (Y),··· ,g (Y)) = lim f(X).1 p
Y→B X→A
q(5) Majoration. Si lim g(A) = 0 et∥f(X)−C∥≤g(X),C∈R pour toutXX→A
au voisinage de A, alors lim f(X) =C.X→A
La preuve de cette proposition r´ep`ete la preuve d’une proposition analogue pour
des fonctions d’une variable - il faut juste utiliser des normes `a la place des valeurs
absolues.
2.3. Continuit´e.
D´efinition 30. Une fonction f est continue en un point A∈ D si la limite de f en
ce point existe et est ´egale `a la valeur de la fonction en A.
La fonction est continue sur D si elle est continue en tout point de D.
Ou bien on peut reformuler cette d´efinition `a l’aide des suites :
p qD´efinition 31. Soitf : D⊂R →R etA∈D. On dit quef est continue enA ssi
∀(X ) suite de D telle que lim X =A, on a lim f(X ) =f(A).n n nn∈N n→+∞ n→+∞
Propri´et´e 32. Op´erations sur les fonctions continues : suite `a la Proposition
29 la somme, le produit et le quotient (l`a ou` le d´enominateur ne s’annule pas) des
fonctions continues sont continus. La compos´ee de fonctions continues est continue.
̸8
Remarque 33. Toute fonction obtenue `a l’aide de fonctions continues ´el´ementaires
de variables (x ,··· ,x ) en utilisant les op´erations alg´ebriques et la composition est1 p
k ncontinue dans son domaine naturel de d´efinition. Exemples : des polynˆomes x y ,
2x+xy 2exponentielles e , trigonom´etriques sin(xy) etc sont continues surR .
1
Attention : ,n,m> 0 n’est pas un polynˆome (et n’en a jamais ´et´e un).
n mx y
Il peut ˆetre pratique de fixer toutes les composantes sauf une :
pp q 1D´efinition34. Soitf : D⊂R →R .SoitX = (x ,...,x )∈D.Pouri = 1...,p,0 0 0
on appelle i-`eme fonction partielle de f en X la fonction :0
{
qD ⊂R→Rif :X ,i i−1 i+1 p0 1x7!f(x ,...,x ,x,x ,...,x )0 0 0 0
p1ou` x est `a la i-`eme place, et D est tel que pour x∈D , (x ,...,x,...,x )∈D.i i 0 0
p1Proposition 35. Sif estcontinueenx = (x ,...,x )alors∀i = 1...,p,lafonction0 0 0
ipartielle f est continue en x .x ,i0 0
Remarque 36. La r´eciproque est fausse!
2Exemple 37. On consid`ere une fonction f :R →R d´efinie de la fa¸con suivante
 xy
 si (x,y) = (0,0), 2 2x +y
f : (x,y)7!

0 si (x,y) = (0,0).
Ses 2 fonctions partielles en (0,0) sont

x·0 si x = 0, 2x +0
f : x7!(0;0);1
 0 si x = 0,
et 
0·y si y = 0,
20+y
f : y7!(0;0);2

0 si y = 0.
Elles sont donc continues. Pourtant f n’est pas continue en (0,0) :
21/n 1
Soient x =y = 1/n. On a lim x = lim y = 0, mais f(x ,y ) = = . Donc lim f(x ,y ) = 0 =n n n n n n n n2n→+∞ n→+∞ n→+∞2/n 2
f(0,0).
Une autre d´emonstration du fait que f n’est pas continue en (0,0) : prenons une restriction de f sur la droite D1
d´efinie par l’´equation y =x.
( ) xx 1
lim f(x,y) = lim = .
D 2 21(x;y)→(0;0) x→0x +x 2
2Donc la fonction f restreinte `a un sous-ensemble D de R n’a pas la mˆeme limite que la mˆeme fonction restreinte1
2a` deux autres sous-ensembles de R . (Les fonctions partielles f et f sont des restrictions de f aux droites(0;0);1 (0;0);2
y = 0 etx = 0 respectivement). Or la limite, si elle existe, doit ˆetre unique (remarque 28), donc la limite n’existe pas.
Etude de continuit´e des fonctions :
Exemple 38.
2 2(1) On consid`ere f(x,y) = x + y . On va montrer que pour toutes valeurs (x,y) = (a,b) la limite de
2 2lim f(x,y) existe et est ´egale `a la valeur au point f(a,b) = a +b . Si (x,y) → (a,b) (par(x;y)→(a;b)

2 2exemple dans une norme euclidienne) cela veut dire que (x−a) +(y−b) → 0 donc on a :
{ {
x−a→ 0 x→a2 2
(x−a) +(y−b) → 0⇔ ⇔
y−b→ 0 y→b
̸̸̸̸