MATHÉMATIQUES

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• cours - matière potentielle : raffinement dans la these de t

MATH EMATIQUES Une excursion semi-classique dans l'univers des guides d'ondes Nicolas Raymond 1 L'objet de ce petit article est de donner un aperc¸u de quelques interactions conceptuelles (et humaines !) au sein de la Physique Mathematique et notamment de voir comment, de la theorie de Ginzburg-Landau, on peut glisser vers la theorie spectrale et l'analyse semi-classique pour arriver dans le fascinant domaine des guides d'ondes.

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Extrait

MATHEMATIQUES
Une excursion semi-classique
dans l'univers des guides d'ondes
1Nicolas Raymond
L'objet de ce petit article est de donner un apercu de quelques interactions
conceptuelles (et humaines!) au sein de la Physique Mathematique et notamment
de voir comment, de la theorie de Ginzburg-Landau, on peut glisser vers la theorie
spectrale et l'analyse semi-classique pour arriver dans le fascinant domaine des
guides d'ondes.
1. De la supraconductivite aux guides d'ondes
Dans les annees 50, Ginzburg et Landau ont propose l'expression suivante pour
l'energie (fonctionnelle de Ginzburg-Landau) d'un supraconducteur soumis a un
champ magnetique exterieur β (voir la modelisation physique dans [50]) :
Z Z Z2κ2 2 2 4G (ψ,A)= |(i∇+κσA)ψ| dx−κ |ψ| dx + |ψ| dxκ,σ
2Ω Ω ΩZ
2 2+(κσ) |∇×A−β| dx,
Ω
2ou|ψ| represente une densite de paires d'electronset∇×A le champ magnetique
regnant dans le supraconducteur. κ > 0 est appele parametre de Ginzburg-Landau
etdependessentiellementdelanaturedumateriau(c'estlatemperatureendessous
de laquelle la resistivite du materiau est tres faible); σ represente quant a lui
l'intensite du champ magnetique applique. La caracterisation des minimiseurs de
cette energie (les etats attendus pour le metal : normal ou supraconducteur) via
les equations d'Euler-Lagrange amene a etudier (cf. [37, 38, 25, 26]) l'operateur :
2 2(i∇+κσF) −κ ,
ou F est defini par : β = ∇×F. Pour les supraconducteurs dits < de type II>,
on peut supposer que κ est grand (on obtient de tels supraconducteurs par la
fabrication d'alliages) et cela mene naturellement a etudier les plus petites valeurs
2propres de l'operateur de Schrodinger magnetique (−ih∇ + A) dans la limite
h→ 0, connue sous le nom de limite semi-classique.
1 IRMAR, Universite Rennes 1, UMR 6625, Rennes, France.
SMF { Gazette { 131, janvier 20126 N. RAYMOND
1.1. L'operateur magnetique
Dans ce qui suit, on suppose que Ω est un ouvert borne regulier connexe et
∞ dsimplementconnexe etqueA∈C (Ω,R ). Rappelonssuccinctementla definition
de l'operateur magnetique. On pose :
2 2 2Dom(P )={ψ∈ L (Ω): (−ih∇+A) ψ∈ L (Ω) et (−ih∇+A)ψν = 0 sur ∂Ω}h,A
et pour ψ∈ Dom(P ), on definit :h,A
2
P ψ =(−ih∇+A) ψ.h,A
On peut classiquement montrer que P est auto-adjoint et a resolvante com-h,A
pacte de sorte que son spectre est une suite croissante de valeurs propres qui tend
vers +∞.
Un bref etat de l'art Le cas le plus largement etudie est le cas du champ
magnetique constant. En 2D, l'asymptotique (h → 0) de la plus petite valeur
propre a ete obtenue dans le cas du disque par P. Bauman, D. Phillips et Q. Tang
dans [3] (voir egalement [4] et [17]) et a ete generalisee par B. Helffer et A. Mo-
rame dans [30] a des domaines bornes reguliers. L'asymptotique a tout ordre est
prouvee par S. Fournais et B. Helffer dans [24]. En 3D, on peut mentionner le
celebre article de B. Helffer et A. Morame [32] donnant l'asymptotique a deux
termes de la premiere valeur propre. Lorsque le champ magnetique est variable,
moins de resultats sont connus. En 2D, l'article de K. Lu et X-B. Pan [37] fournit
une asymptotique a un terme et [45] donne le deuxieme terme sous des conditions
generiques(pour l'asymptotiquea toutordre,voir [48]). En3D,pour unequivalent
de la premiere valeur propre, on peut citer [38] et pour une majoration a trois
termes [46] (pour un developpementa tout ordre sur un operateur jouet voir [47]).
Nous pouvons enfin mentionner des travaux qui abordent les problemes ou
le bord presente des coins [35, 42] et plus recemment ceux de M. Dauge et V.
Bonnaillie-Noel [5, 7] et enfin la these de N. Popoff [44].
De nombreusesquestionsmagnetiquessemi-classiquesdemeurentlargementou-
vertes, en particulier en dimension 3. Ainsi, l'asymptotique des petites valeurs
propres dans le cas d'un ouvert regulier et d'un champ magnetique variable (aussi
bien dans le cas Dirichlet que le cas Neumann) est encore inconnue et semble ^etre
un probleme delicat du fait de la perturbation de la structure symplectique induite
parlechampmagnetique.Parailleurs,l'approximationprecisedesfonctionspropres
par une methode BKW est ici en defaut ce qui rend plus ardue l'etude de l'effet
tunnel purement magnetique (tandis que l'effet tunnel electrique est bien com-
pris mathematiquement depuis les travaux de B. Helffer et J. Sjostrand, voir par
exemple [33, 34]). Dans le cas d'un ouvert non regulier, le m^eme type de questions
se pose (voir par exemple les approches numeriques dans [8]).
1.2. L'operateur modele du probleme a champ variable en
dimension 3
Voyons maintenant comment nous sommes conduits de l'etude des problemes
a champ variable en dimension 3 a un operateur modele. Le principe est simple :
SMF { Gazette { 131, janvier 2012UNE EXCURSION SEMI-CLASSIQUE DANS L'UNIVERS DES GUIDES D'ONDES 7
on approche le bord par un plan et un champ variable par un champ constant.
Posons :
2 2Ω=R ={x =(s,t)∈R , t > 0}.+
Apres quelques transformations supplementaires (transformee de Fourier et trans-
lation), nous sommes amenes a etudier la realisation de Neumann sur Ω de
l'operateur :
2 2H(θ)=−Δ+V =−∂ −∂ +V ,θ θs t
πou V est defini pour θ∈(0, ) parθ 2
2
V : x =(s,t)∈Ω −→(tcosθ−ssinθ) .θ
Fig. 1. Ligne d'annulation de Vθ
On peut remarquer que V atteint son minimum le long de tcosθ = ssinθ, quiθ
fait un angle θ avec ∂Ω. Entre autres choses, on peut demontrer (cf. [31, 38]) :
Lemme 1.1. Il existe au moins une valeur propre de H(θ) en dessous du spectre
essentiel et ce dernier est [1,+∞).
Lafigure2presentedessimulationsnumeriquespourlapremierefonctionpropre
de H(θ) (le rouge represente le domaine ou elle est grande et le bleu celui ou elle
est petite).
A partir du Lemme 1.1, c'est un resultat classique, combinant une estimee
d'Agmon (cf. [1]) et un theoreme de Persson (cf. [43]), qui permet de montrer
que les fonctions propres associees verifient des proprietes de localisation (pres
de (0,0)). Grossierement, on peut dire que les fonctions propres vivent dans la
vallee du potentiel. Ce resultat peut para^ıtre surprenant car on ne comprend pas
SMF { Gazette { 131, janvier 20128 N. RAYMOND
σ1(θ) 1.0001656284 0.99987798948 0.99910390126 0.99445407220
Fig. 2. Premiere fonction propre de H(θ) pour θ = ϑπ/2 avec
ϑ= 0.9, 0.85, 0.8 et 0.7.
2bienlaraisonheuristiquedel'existenceduspectrediscret ;onsentjustequec'estla
combinaisondelaconditiondeNeumannetduconfinementpartieldupotentielqui
creeun<piege>pourd'eventuellesfonctionspropres.Apresquelqueschangements
de variables visant a mieux comprendre la dependance en θ, nous sommes amenes
a considerer l'operateur sur Ω :
2 2 1/2 2hD +D +(t−ζ −sh ) −Θ0 0s t
pour h = tanθ > 0 et ou ζ et Θ sont des constantes universelles definies a partir0 0
de l'operateur de de Gennes (cf. [14]) qui est la realisation de Neumann sur R+
de :
2 2H =−∂ +(t−ξ) .ξ t
3L'approximation de Born-Oppenheimer (voir par exemple [40]), a laquelle on se
reduit par une methode de projection, permet alors de considerer l'operateur 1D
effectif :
2 1/2hD +(ζ +sh )−Θ ,0 0s
1/2ou (ζ + sh ) est la plus petite valeur propre (s etant fixe) de H . Ce1/20 ζ +sh0
type d'operateur est alors tres classique a etudier via les methodes developpeespar
Helffer et Sjostrand dans le cadre de l'etude de l'effet tunnel (voir [33]). Alliant cet
ensemble de considerations,un developpement asymptotique a tout ordre des plus
petites valeurs propres de H(θ) a pu ^etre obtenu dans la limite θ→ 0 (voir [6]) :
2 Question posee a l'auteur par Gilles Lebeau
3 approximation issue de la chimie quantique introduite par M.Born et R. Oppenheimer en 1927
dans [10] et qui consiste a considerer que les masses des electrons sont beaucoup plus faibles que
les masses des noyaux.
SMF { Gazette { 131, janvier 2012UNE EXCURSION SEMI-CLASSIQUE DANS L'UNIVERS DES GUIDES D'ONDES 9
Theoreme 1.2. Les plus petites valeurs propres de H(θ) admettent des
developpements asymptotiques a tout ordre quand θ tend vers 0 :
X
j(0.1) σ (θ)∼ γ θn j,n
j>0
q
′′ (ζ )0De plus, on a γ =Θ et γ =(2n−1) .0,n 0 1,n 2
2. Le spectre des guides d'ondes
En utilisantla conditionde Neumann sur le bord,nous pouvons symetriserH(θ)
2et obtenir l'operateur surR suivant :
2 2−∂ −∂ +V (s,|t|)θs t
et nous observons que le potentiel s'annule le long d'une ligne brisee; ce dernier
semble jouer le r^ole d'un < guide d'onde>.
Commenconsparfaireuneremarqueheuristique.Sinoussymetrisonsl'operateur
H(θ) et qu'on le regarde < de loin>, on est tres tente de remplacer le piegeage
transverse par une condition de Dirichlet. Ainsi, au lieu de considerer −Δ+V ,θ
on examine pluto^t le Laplacien de Dirichlet dans un coude d'angle 2θ. On vient
d'utiliser un principe heuristique tres simple : la ou le potentiel est grand, on dit
4qu'il est infini et la ou il est petit, on dit qu'il est nul . Ce potentiel, tres singulier,
donne lieu au Laplacien de Dirichlet.Voici donc la situationa laquelle nous menent
nos considerations intuitives :
+Fig. 3. Guide d'onde a coin Ω et demi-guide Ω .θ θ
4 Que Francis Nier soit remercie pour cette