Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Notions d'analyse

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 2 : Notions d'analyse Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/68

theoreme des accroissement fini

mathematiques assistees par ordinateur chapitre

maniere compatible avec les operations du corps

surtout en mathematiques

langage mathematique

fonctions trigonometriques

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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre 2 : Notions d’analyse

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Objectifs de ce chapitre

Les connaissances, surtout en mathe´ matiques, se construisent et se transmettentleplusefﬁcacementpardese´tapesbienorganis´ees, chaque´etapefaisantappel`adese´tapespre´c´edentes,parn´ecessit´e logique ou bien dans l’objectif de tisser des liens proﬁtables.

Ainsicecourssebasesurlesmath´ematiquesquevousavez acquises,jel’e`nd´ebutdelicence:langagemath´ematique, spere, e calculalg´ebrique,etnotammentdesargumentsd’analyse.

Cechapitrerappelle/pr´esentequelquesnotionsdebasequisont indispensablespourl’analysemath´ematique.L’objectifestdevous guider dans votre re´ vision/approfondissement. Ceci vous donne un pointded´epart,puisdevraitvousencourager`aallerplusloin.

Comme outils indispensables pour l’analyse nous discutons ici la convergencedessuitesetdess´eries,puislesnotionsdecontinuite´ etdede´rivabilit´edesfonctions.Lesr´esultatsfondamentauxsont xk ensuiteapplique´spour´etudierl’exemplephareexp(x) =Pk∞=0k!, qui est sans doute la fonction la plus importante en mathe´ matiques.

Il existe de nombreux ouvrages d’analyse. En voici un que j’aime : Walter Rudin :Principes d’analyse mathe´ matique, Dunod, Paris 2002.

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Sommaire 1quri´eumestesetiuSnseire´s Nombres re´ els, suites re´ elles, convergence, crite` res Nombres complexes, suites complexes, convergence, crite` res S´eriesnum´eriques,convergence,crite`res Fonctions continues D ´ ﬁnition et exemples e Leth´eor`emedesvaleursinterme´diaires Leth´eor`emedumaximum Fonctionsd´erivables De´ ﬁnition et exemples Leth´eor`emedesaccroissementsﬁnis Fonctionde´rive´eetcrit`eredemonotonie ´ Etude de la fonction exponentielle Propri´et´esdelafonctionexponentielleexp :C→C Le logarithmeln :R>0→Ret puissances re´ elles Fonctions trigonome´ triques et racinesn complexes-ie` mes Le the´ ore` me de Gauss–d’Alembert

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§1.

Corps Lesnombresr´eelsformentunensembleRmuni de deux ope´ rations, l’addition+ :R×R→Ret la multiplication∙:R×R→R. Le triplet (R,+,∙)est uncorps,’cseir-d`at-joilu’eqrpsedtiu´te´irpoivanessutes:

(A1 : associativite´ ) (A2 : commutativite´ ) (A3:´ele´mentneutre) (A4:el´ementoppose´) ´

∀a, b, c∈R: (a+b) +c=a+ (b+c) ∀a, b∈R:a+b=b+a ∃0∈R∀a∈R: 0 +a=a ∀a∈R∃b∈R:a+b= 0

(M1:associativit´e)∀a, b, c∈R: (a∙b)∙c=a∙(b∙c) (M2 : commutativite´ )∀a, b∈R:a∙b=b∙a (M3:´ele´mentneutre)∃1∈R,16= 0∀a∈R: 1∙a=a (M4:e´l´ementinverse)∀a∈R, a6= 0∃b∈R:a∙b= 1

(D : distributivite´ )

∀a, b, c∈R:a∙(b+c) = (a∙b)+(a∙c)

Remarque:Vousavezpeut-ˆetrerencontre´lanotiondecorpsen alg`ebrelin´eaire.Elleregroupebeaucoupd’exemples,dontles nombres rationnels(Q,+,∙)sleer´,(R,+,∙)ou complexes(C,+,∙).

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§1.

Corps ordonnes ´ Lesnombresre´elssontordonn´es:ondistinguedese´le´mentspositifs, note´sx >0e`inocer,amed:satiop´ercorpnsdubielpmtaelosvace 1Pour toutx∈Ron a soitx >0soitx= 0soit−x >0. 2Six >0ety >0, alorsx+y >0ainsi quexy >0.

On de´ ﬁnit l’ordre strictx > yparx−y >0. L’ordre faiblex≥yveut dire quex > youx=yxevi´rﬂeeetse;llvetint,atre,sianeuqi.mysirte´ L’ordre inversex < y par ﬁniest de´y > x, etx≤yveut dire quey≥x.

Les intervalles dansR comme suit :sont note´ s

[a, b] :={x∈R|a≤x≤b},]a, b] :={x∈R|a < x≤b}, ]a, b[ :={x∈R|a < x < b},[a, b[ :={x∈R|a≤x < b}.

Pour toutx∈Rsbareulorapond´eﬁnitlavaleu|x|:=xsix≥0et par |x|:=−xsix≤0e´te´irptnaviuss:es.reﬁinO´v´emeeaissprontle |x| ≥0, et|x|= 0si et seulement six= 0. |x+y| ≤ |x|+|y|pour toutx, y∈R. |x∙y|=|x| ∙ |y|pour toutx, y∈R.

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Bornessup´erieureetinf´erieure Une partieA⊂Restmajore´ eparm∈Rsia≤mpour touta∈A. Dans ce cas on dit aussi quemest unmajorantdeA. On dit ques∈Rest laborne superieuredeAsisest le plus petit ´ majorant deA e. Si elle existe, elle est unique et sera note´s= supA. SiA ´n’est pas majorA= +∞. ee on posesup Pour l’ensemble vide on posesup∅=−∞. Demanie`resym´etriqueond´eﬁnitminorantetborne infe´ rieure. Une partie estborne´ e´lleesielafost`aon´rsiimamojeete ree. Exemple : pourA={1,21,31,41,15, . . .}on asupA= 1etinfA= 0. Exemple : la partieA={a∈Q|a2≤2}ajor´eemestmtemda’nsia pas de borne supe´ rieure dansQ. DansRon asupA=√2. The´ore`me(caract´erisationdesnombresr´eels,admis) Les nombres re´ els forment un corps ordonne´(R,+,∙,≤)tel que toute partie non vide majore´ e deReiru´preetnenuusbaermodsedanR. Toutcorpsayantcettepropri´ete´estcanoniquementisomorphea`R. §1.1 6/68

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