NOMBRES DE LELONG GENERALISES THEOREMES D'INTEGRALITE ET D'ANALYTICITE

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NOMBRES DE LELONG GENERALISES, THEOREMES D'INTEGRALITE ET D'ANALYTICITE par Jean-Pierre DEMAILLY Universite de Grenoble I, Institut Fourier, BP 74, Laboratoire associe au C.N.R.S. n˚ 188, F-38402 Saint-Martin d'Heres Abstract. Let X be a Stein space and T a closed positive current on X . Given any continuous plurisubharmonic exhaustion function ? on X , a generalized Lelong number ?(T, ?) is introduced, using Monge-Ampere operators defined by Bedford and Taylor. It is shown that the number ?(T, ?) depends only on the behaviour of the function ? near its poles. As a consequence, we derive a very simple proof of Thie's theorem on the integrality of classical Lelong numbers for analytic subsets, as well as a generalized version of Siu's theorem on the analyticity of the level sets associated to Lelong numbers. 0. Introduction Soit X un espace complexe de Stein, T un courant positif ferme de bidimen- sion (p, p) sur X , et ? : X ?? [?∞,+∞[ une fonction psh(plurisousharmonique) exhaustive. Nous definissons alors des nombres de Lelong ?(T, ?) qui generalisent ceux classiques de P. Lelong [Le3] ainsi que ceux introduits recemment par C.O. Kiselman [Ki3]. La definition repose sur l'utilisation des operateurs de Monge- Ampere de Bedford-Taylor [B-T] et peut s'interpreter en disant que ?(T, ?) est la masse de la mesure T ?

  • hypothese lim

  • variete de stein lisse

  • changement de coor- donnees locales

  • voisinage

  • inegalites de chern-levine-nirenberg

  • formule

  • quantite ?

  • poids ?

  • comportement asymptotique de ? au voisinage des poles


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NOMBRESDELELONGG´N´RALIS´S,
TH´OR`MESD’INT´GRALIT´ETD’ANALYTICIT´

par Jean-Pierre DEMAILLY
Universit´ de Grenoble I,
Institut Fourier, BP 74,
Laboratoire associ´ au C.N.R.S. n˚188,
F-38402 Saint-Martin d’H`res

Abstract.LetXbe a Stein space andTa closed positive current onX.
Given any continuous plurisubharmonic exhaustion functionϕonX, a generalized
Lelong numberν(T, ϕ) is introduced, using Monge-Amp`re operators defined by
Bedford and Taylor. It is shown that the numberν(T, ϕ) depends only on the
behaviour of the functionϕnear its poles. As a consequence, we derive a very
simple proof of Thie’s theorem on the integrality of classical Lelong numbers for
analytic subsets, as well as a generalized version of Siu’s theorem on the analyticity
of the level sets associated to Lelong numbers.

0. Introduction

SoitXun espace complexe de Stein,Tun courant positif ferm´ de
bidimension (p, p) surX, etϕ:X−→[−∞,+∞[ une fonction psh(plurisousharmonique)
exhaustive. Nous d´finissons alors des nombres de Lelongν(T, ϕ) qui g´n´ralisent
ceux classiques de P. Lelong [Le3] ainsi que ceux introduits r´cemment par
C.O. Kiselman [Ki3]. La d´finition repose sur l’utilisation des op´rateurs de
MongeAmp`re de Bedford-Taylor [B-T] et peut s’interpr´ter en disant queν(T, ϕ) est
c p−1
la masse de la mesureT∧(dd ϕpar l’ensemble polaire) port´eϕ(−∞) .
Dans ce cadre, nous d´montrons queν(T, ϕ) ne d´pend que du comportement
asymptotique deϕau voisinage des pˆles; la m´thode utilis´e est inspir´e de
notre article ant´rieur [De1], mais elle se trouve ici consid´rablement simplifi´e
par le fait que l’on peut manipuler des poidsϕqui sont seulement continus. La
souplesse d’utilisation des nombres de Lelong g´n´ralis´s permet d’obtenir aussi
des d´monstrations tr`s simples de r´sultats classiques concernant les nombres de
Lelong usuels; en particulier, ces nombres sont invariants par changement de
coordonn´es locales (cf.[Siu]). Nous red´montrons ensuite le th´or`me de P.Thie[Th],
suivant lequel le nombre de Lelong d’un ensemble analytiqueXen un pointx∈X
coıncide avec la multiplicit´ alg´brique deXenx; ce r´sultat est une cons´quence
directe du fait que l’on peut repr´senter le germe (X, x) comme un revˆtement
p
ramifi´ au dessus deC, contenu dans un cˆne convexe de sommetx. On obtient
enfin une version g´n´ralis´e du th´or`me de Siu sur l’analyticit´ des ensembles
de niveau associ´s aux nombres de Lelong; cette version contient comme cas
particulier le r´sultat r´cent de C.O. Kiselman [Ki3] relatif aux nombres de Lelong

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