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OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I OBJECTIFS ...

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OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I OBJECTIFS ...

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Langue Français
` ´ CLASSE DE DEUXIEME ANNEE MP
´ OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHEMATIQUES
I OBJECTIFS DE FORMATION
1)Objectifsg´ene´rauxdelaformation Danslali`ereMath´ematiquesetPhysique,lesmathe´matiquesconstituentconjointementunediscipline scientiquea`partentie`re,de´veloppantdesconcepts,desre´sultats,desm´ethodesetuned´emarchespe´ciques, etunedisciplinefournissantdesconnaissancesetdesme´thodesne´cessairesa`laphysique,`alinformatique,a`la chimie et aux sciences industrielles. Lare´exionsurlesconceptsetlesme´thodes,lapratiqueduraisonnementetdelade´marchemathe´matique constituentunobjectifmajeur.Les´etudiantsdoiventconnaıˆtrelesd´enitions,lese´nonc´esetlesde´monstrations desthe´ore`mesgurantauprogramme,savoiranalyserlaport´eedeshypoth`esesetdesr´esultats,etsavoir mobiliserleursconnaissancespourle´tudedeproble`mes.Enrevanche,certainsre´sultatspuissants,maisdontla de´monstrationesthorsdeport´eeauniveaudesclassespre´paratoires,sontadmis. a)Objectifs de la formation Laformationestcon¸cueenfonctiondequatreobjectifsessentiels. -De´velopperconjointementlintuition,limagination,leraisonnementetlarigueur. -Promouvoirlar´eexionpersonnelledese´tudiantssurlesproble`mesetlesph´enome`nesmath´ematiques,surla porte´edesconcepts,deshypothe`ses,desre´sultatsetdesm´ethodes,aumoyendexemplesetdecontre-exemples; de´velopperainsiuneattitudedequestionnementetderecherche. -Exploitertoutelarichessedelade´marchemathe´matique:analyserunproble`me,expe´rimentersurdesexemples, formuleruneconjecture,´elaboreretmettreenœuvredesconceptsetdesr´esultatsth´eoriques,r´edigerunesolution rigoureuse,controˆlerlesr´esultatsobtenuset´evaluerlapertinencedesconceptsetdesre´sultatsauregarddu probl`emepos´e,sontdese´le´mentsindissociablesdecetted´emarche;valoriserainsilinteractionentredunepart l´etudedeph´enomenesetdeproble`mesmath´ematiques,etdautrepartle´laborationetlamiseenœuvredes ` conceptsth´eoriques,lesphasesdabstractionetdemiseenth´eorieinteragissantdoncconstammentaveccelles de passage aux exemples et aux applications. -Privil´egierlesproble`mesmathe´matiquessusceptiblesdede´velopperlar´eexionpersonnelledes´etudiantset lescapacit´esdesynthe`se.Enparticulier,onnesauraitenaucuncasselimiter`al´etudedeproble`mesdontles e´nonc´essontferm´esetdexercicesmettantenœuvredestechniquesbienre´pertori´ees.Ilestn´ecessairedentraıˆner ` lese´tudiantsaseposereuxmeˆmesdesquestions,cesta`dire`aprendreencompteuneprobl´ematique math´ematique;leortdesynth`esedoitconstituerlaboutissementdecetted´emarche.Lestravauxdinitiative personnelleencadr´es(TIPE)permettentderenforcercetteattitude,essentiellepourlaformationscientique, laquelle est par nature d’abord un questionnement. b)´tinUeitniuqeedelaformationsc Ilestimportantdemettreenvaleurlinteractionentrelesdie´rentespartiesduprogrammedˆ une meme discipline,tantauniveauducoursquedesth`emesdestravauxpropose´saux´etudiants.Pluslargement, lenseignementdunedisciplinescientiqueesta`relier`aceluidesautresdisciplinessousdeuxaspectsprincipaux: organisationconcerte´edesactivite´sdenseignementdˆclasse;e´tudedequestionsmettantenœuvre une meme desinteractionsentreleschampsdeconnaissances(mathe´matiquesetphysique,math´ematiquesetinformatique, mathe´matiquesetsciencesindustrielles. . .). Lacoope´rationdesenseignantsdunemˆemeclasseoudunemˆemedisciplineet,pluslargement,cellede lensembledesenseignantsduncursusdonne´,ycontribuedefa¸conecace,notammentdanslecadredes travauxdinitiativepersonnelleencadre´s. Ilimporteaussiquelecontenucultureldesmathe´matiquesnesoitpassacri´protdelaseuletechnicit´e. e au Enparticulier,lestextesetlesr´ef´erenceshistoriquespermettentdanalyserlinteractionentrelesprobl`emes math´ematiquesetlaconstructiondesconcepts,mettentene´videncelerˆolecentraljou´eparlequestionnement scientiquepourlede´veloppementth´eoriqueetmontrentenoutrequelessciences,etlesmath´ematiquesen particulier,sontenperp´etuellee´volutionetqueledogmatismenestpaslar´efe´renceenlamatie`re.
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MP 2) Architecture et contenus des programmes a)Intentions majeures Lescontenussontorganis´esautourdetroisintentionsmajeures. -Organiserlesprogrammesautourdequelquesnotionsessentielles,ende´gageantleside´esmajeuresetleur p en ev ort´ee,enfournissantdesoutilspuissantsetecaces,´itanttoutetechnicite´gratuite,eten´ecartantles notionsquinepourraientˆetretrait´eesquedefa¸consupercielle. -Donnerunrˆoletre`simportantalar´esolutiondeproble`mesetdexercicesdapplication,enparticulier ` enmettantenœuvreloutilinformatique.Lebutestdindiquerlechampdesprobl`emesetphe´nom`enes math´ematiquesa`e´tudierenrelationaveclesconceptsgurantauprogrammeetdepr´eciserlesm´ethodesetles techniquesusuellesexigiblesdes´etudiants.Enrevanche,ces´etudesdeproble`mesetdexercicesnedoiventpas conduirea`desde´passementsdeprogrammeprenantlaformeduneanthologiedexemplesdontlaconnaissance seraitexigibledese´tudiants. -Re´aliserun´equilibreglobalentrelalge`bre,lanalyseetlag´eome´trie.Ilvadesoi,dailleurs,quecettese´paration traditionnellenestquunecommodite´dere´dactionetnedoitpasfaireoublierlesinteractionsnombreuseset e´troitesentrecestroisgrandsdomainesdesmath´ematiques.Danscetteintention,lesprogrammessontpre´sent´es selondeuxgrandesparties:analyseetge´ome´triedie´rentielle,alge`breetge´ome´trie,maisleplanduprogramme n’est pas un plan de cours. Cestenfonctiondesobjectifspre´ce´dentsquelesprogrammessontconc¸usetquelhorairehebdomadairedoit ˆetreg´er´e.DanslesclassesMPSIetMP,ilestde12heures(10heuresdecourset2heuresdetravauxdirige´s). Pourvaloriserlesconceptsessentielsetlesprincipalesm´ethodes(comprenantlesexemplesetcontre-exemples quiillustrentleurport´eeetleursconditionsdevalidit´e),ilconvientdeconsacrer`aleure´tudeenvironauplus8 heuresdecours.Letempsrestantest`aconsacrera`le´tudedeproble`mesmathe´matiquesdedicult´evari´ee;`a cete´gard,toutetechnicit´egratuiteest`´vite a e r. b)Secteur de l’analyse et de ses interventions Danscesecteur,leprogrammeestorganis´eautourdesconceptsfondamentauxdefonction,quipermetde mode´liserlecomportementdesph´enome`nescontinus,etdesuite(oudes´erie),quipermetdemode´liserle comportementdesphe´nom`enesdiscrets.Lesinteractionsentrelecontinuetlediscretsontmisesenvaleur, notamment en d ´ secon e annee. Leprogrammedanalysecombinele´tudedesprobl`emesqualitatifsaveccelledesproble`mesquantitatifs; ild´eveloppeconjointementl´etudeducomportementglobaldessuitesetdesfonctionsaveccelledeleur comportementlocalouasymptotique.Pourle´tudedessolutionsdes´equations,ilcombinelesproble`mes dexistenceetdunicite´,lesme´thodesdecalculexact,lesm´ethodesdapproximationetlesalgorithmesdemise en œuvre. Pour l’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. Enpremie`reann´ee,lamaˆıtriseducalculdie´rentieletint´egral`aunevariableetdesesinterventionsenge´ome´trie di´erentielleplaneconstitueunobjectifessentiel. Ensecondeann´ee,leprogrammeintroduitleconceptdespacevectorielnorme´etdapplicationline´airecontinue, andefourniruncadrecohe´rentpourle´tudedessuites,desse´riesetdesfonctionsetcelledessuitesetdesse´ries defonctions.Lint´egration,larepre´sentationdesfonctions,notammentpardesse´ries(se´riesenti`eres,se´riesde Fourier)etpardesint´egralesd´ependantdunparame`tre,lapproximationdesfonctions,l´etudedese´quations die´rentielles(notammentdessyst`emeslin´eaires),l´etudedesfonctionsdeplusieursvariables(eninteraction e´troiteaveclag´eome´triedi´erentielle)tiennentuneplacemajeure. c)reevistnedesertensntioSebg`alldeurteec Danscesecteur,leprogrammeestorganise´autourdesconceptsfondamentauxdelalge`brelineaire(pointsde ´ vuege´ome´triqueetmatriciel),tandisquele´tudesyste´matiquedesanneauxetdescorpsenae´te´e´carte´e.Il metenœuvrelesme´thodesdelalg`ebrelin´eairepourlar´esolutiondeprobl`emesissus,nonseulementdesautres secteursdelalge`bre,maisaussidelanalyseetdelag´eometrie.Ilmetenvaleurlimportanceduconceptde ´ groupepourlesme´thodesdelag´eom´etrie. Enpremie`reann´ee,leprogrammedalg`ebreetg´eom´etriecombinel´etudedelalg`ebrelin´eaire(espacesvectoriels, applicationsline´aires,alg`ebres,dimension,rang,calculmatriciel,espacesvectorielseuclidiens,automorphismes orthogonaux)etdesesinterventionsenalg`ebre,enanalyseeteng´eom´etrieaneeteuclidienne;ilcomporte utrel´tudedelarithm´etique´ele´mentaireetdespolynoˆmesa`uneinde´termin´ee. en o e Ensecondeann´ee,leprogrammede´veloppedenouveauxconcepts(dualite´,polynoˆmesdendomorphismes, valeurspropresetsous-espacespropres,r´eductiondesendomorphismesdunespacevectorieletdes
MP3 endomorphismessym´etriquesdunespacevectorieleuclidien,re´ductiondesmatrices).Ilcomporteenoutre quelqul´ementsdalg`ebreg´en´erale(arithm´etique,polynoˆmes). es comp d)´moe´galdteeirteSdeurteecsesesintervention Unevisiong´eome´triquedesproble`mesimpre´gnelensembleduprogrammedemath´ematiquescarlesme´thodesde lag´eom´etrieetlesapportsdesonlangage(gures,repre´sentationsgraphiques,interpr´etationsg´eome´triques. . .) jouentunrˆolecapitalenalge`bre,enanalyseetdansleursdomainesdintervention. e)Articulation avec la physique, la chimie et les sciences industrielles Enrelation´etroiteaveclesconceptspropresa`laphysique,a`lachimieetauxsciencesindustrielles,leprogramme valoriselesinterpr´etationsdesconceptsdelanalyse,delalg`ebrelin´eaireetdelag´eom´etrieentermesde parame`tresmode´lisantl´etatetle´volutiondesyst`emesme´caniques,physiquesouchimiques(mouvement,vitesse etacc´el´eration,trajectoiresetlignesdeniveau,signauxcontinusoudiscrets,mesuredesgrandeursme´caniques ou physiques. . .e´moe´gt,seuqirtntneenviurtoreenerpr´etaeclesinthpqieuesitnogsarCe).ntsinoitva,srpreate´ e´clairerlesconceptsfondamentauxdelanalyseetdelalg`ebrelin´eaire. 3) Conception et organisation de la formation a)Organisation du travail de la classe Ilconvientdecentrerlenseignementautourdele´tudedeph´enome`nesetdeprobl`emesmathe´matiques.En particulier,ilestessentielquelapprofondissementthe´oriquenesoitcoup´enidesprobl´ematiquesquilesoustendent,nidessecteursdinterventionquilemettentenjeu.Deuxobjectifsessentielssont`apoursuivre: -Promouvoirlacquisitiondem´ethodesetentraıˆnerlese´tudiantsa`exploitertoutelarichessedelad´emarche math´ematique;laclasseestdoncunlieudede´couverteetdexploitationdeprobl´ematiques,unlieudanalyse desph´enome`nesetdesconcepts,unlieudere´exionetded´ebatssurlarchitecturedescontenus,lesd´emarches suivies,leshypothe`sesdunth´eor`eme,laport´eedesconceptsmisenjeuetdesr´esultatsobtenus.Elleestaussiun lieud´elaborationdesynth`esesayantpourtripleobjectifdede´gagerclairementlesid´eesetm´ethodesessentielles, depre´ciserleurporte´epourlare´solutiondeproble`meset,inversement,didentierlesprincipalesme´thodesdont ondisposepour´etudieruntypedonne´deproble`me.Danscetteperspective,lesenseignementscombinentla formulationetlanalysedeproble`mes,le´laborationdeconcepts,lapr´esentation,lad´emonstrationetlamiseen œuvredere´sultats,ainsiquelamiseenvaleurdeme´thodes. -De´velopperlescapacit´esdecommunication.Lapertinencedesindications´ecritesetoralesdonne´esparle professeuretlaqualite´destructurationdes´echangesjouenticiunrˆoleessentiel:qualite´sde´couteetdexpression orale(formulationdunequestion,duner´deid´ee. . .´noisseretircedelectureetdexp)q,auil´tse eponse, un (maıˆtrisedutableau,prisedenotes,analysedun´enonc´e,miseaupointdelar´edactiondun´enonc´eoudun raisonnement. . .odtnalamıˆrtsieL.)onutcatimuniacomsnidomeydeselisieunsnos:´eirsve,uaelbateltnemel estun´el´ementimportant,maisaussiler´etroprojecteur,lordinateurconnect´e`aunvideoprojecteur. b)strnOaidutest´idseaenlingnaasovterrdlupoani Lestravauxeectu´esendehorsdutempsdenseignement,`alamaisonouaulyc´ee,ontuneimportancecapitale; leurs fonctions sont diversifi´ ees : -L´etudeducoursjoueunroˆlecentral.Sonobjectifesttriple;connaˆıtrelesconceptsetlesre´sultatsessentiels, qu´erirlamaıˆtrisedesme´thodesd´etudedesprobl`mes,savoiranalyserlaport´eedeshypothe`sesetdesre´sultats, ac e lesde´marchesetlestechniquesderaisonnementmisesenjeudanslesdemonstrations.L´etudeducoursestdonc ´ indissociable de celle des problemes. ` -Lar´esolutiondexercicesdentraıˆnement,combin´eeavecle´tudeducours,apourfonctiondaermirles connaissancesdebasedes´etudiantsetd´evaluerleurcapacit´e`alesmettreenœuvresurdesexemplessimples. Lar´esolutiondetelsexercicesnestdoncpasunobjectifensoi,ettoutexc`esdetechnicite´doitˆetree´vit´e.La maˆıtrisedecetypedequestionsestuneexigencevalablepourlensembledes´etudiants. -Le´tudedequestionspluscomplexes,sousformedepr´eparationdactivite´senclasseoudeprobl`emesa`r´esoudre et`ar´ediger,alimenteletravailderecherche,individuelouene´quipe,etpermetauxe´tudiantsd´evaluerleur capacit´e`amobiliserleursc¸,lesth`emesde´tude onnaissancesdefaconcoordonn´ee.Auseindunemeˆmeclasse peuventeˆtrediversie´senfonctionduprojetdeformationdes´etudiants. -Lestravauxindividuelsder´edactionentempslibre(solutiondunproble`me,miseaupointdexercicese´tudie´s enclasse,rapportdesynthe`sesurunth`emed´etude,analysecritiqueduntexte. . .vi)natseent`llemntieesse de´velopperlescapacit´esdexpressione´criteetdemiseaupointdunraisonnement.Laqualit´edelar´edaction etdelapre´sentation,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements,constituentdesobjectifstre`simportants.Ces travauxdere´dactiondoiventdoncˆetrefr´equents,maisleurlongueurdoitresterraisonnable.Leurcontenupeut ˆetrediversi´eenfonctionduprojetdeformationdes´etudiants.