OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I. OBJECTIFS ...

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OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES I. OBJECTIFS ...

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• mathématiques
• mathématique

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` ´ CLASSE DE DEUXIEME ANNEE PC ´ OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

` I. OBJECTIFS DE FORMATION DE LA FILIERE PC

1-Objectifsge´ne´rauxdelaformation

Danslafili`erePhysiqueetChimie,lesmath´ematiquesconstituentconjointement: -unedisciplinescientifique`apartenti`ere,d´eveloppantdesconcepts,desr´esultats,desm´ethodesetune d´emarchespe´cifiques, -unedisciplinefournissantdesconnaissancesetdesme´thodesn´ecessairesauxsciencesphysiques,`a l’informatiqueet`alachimie. Lare´flexionsurlesconceptsetlesmethodes,ainsiquelapratiqueduraisonnementetdelad´emarche ´ mathe´matiqueconstituentunobjectifmajeur.Les´etudiantsdoiventconnaˆıtrelesd´efinitionsetlese´nonc´esdes th´eore`mesfigurantauprogramme,savoiranalyserlaport´eedeshypothe`sesetdesre´sultats,etsavoirmobiliser leursconnaissancespourl’e´tudedeprobl`emes.Lesde´monstrationsquisontutilesa`unebonnecompre´hension ducourssontauprogramme.Enrevanche,certainsr´esultatspuissantsutilesauxsciencesdel’ing´enieursont admis. a) Objectifs de la formation Laformationestcon¸cueenfonctiondequatreobjectifsessentiels: -D´evelopperconjointementl’intuition,l’imagination,leraisonnementetlarigueur. -Promouvoirlare´flexionpersonnelledese´tudiantssurlesproble`mesetlesphe´nom`enesmath´ematiques,surla port´eedesconcepts,deshypothe`ses,desr´esultatsetdesme´thodes,aumoyend’exemplesetdecontreexemples; de´velopperainsiuneattitudedequestionnementetderecherche. -Exploitertoutelarichessedelad´emarchemath´ematique:analyserunproble`me,exp´erimentersurdes exemples,formuleruneconjecture,e´laboreretmettreenœuvredesconceptsetdesre´sultatsth´eoriques,r´ediger unesolutionrigoureuse,contrˆolerlesre´sultatsobtenusete´valuerlapertinencedesconceptsetdesr´esultatsau ardduprobl`mepos´e,sontdese´le´mentsindissociablesdecettede´marche;valoriserainsil’interactionentre reg e d’unepartl’e´tudedephe´nome`nesetdeprobl`emesmathe´matiques,etd’autrepartl’e´laborationetlamiseen œuvredesconceptsthe´oriques,lesphasesd’abstractionetdemiseenth´eorieinteragissantdoncconstamment avec celles de passage aux exemples et aux applications. -Privile´gierlesprobl`emesmath´ematiquessusceptiblesded´evelopperlar´eflexionpersonnelledes´etudiants etlescapacite´sdesynth`ese.Enparticulier,onnesauraitenaucuncasselimitera`l’e´tudedeprobl`emes dontles´enonc´essontferm´esetd’exercicesmettantenœuvredestechniquesbienre´pertorie´es.Ilestne´cessaire d’entraıˆnerlese´tudiantsa`seposereux-mˆemesdesquestions,c’est-`a-direa`prendreencompteuneproble´matique mathe´matique. b)Unit´edelaformationscientifique Ilestimportantdemettreenvaleurl’interactionentrelesdiff´erentespartiesduprogrammed’unemˆeme discipline,tantauniveauducoursquedesth`emesdestravauxpropos´esaux´etudiants.Pluslargement, l’enseignementd’unedisciplinescientifiqueesta`reliera`celuidesautresdisciplinessousdeuxaspectsprincipaux: organisationconcerte´edesactivit´sd’enseignementd’unemˆemeclasse;e´tudedequestionsmettantenœuvre e desinteractionsentreleschampsdeconnaissances(mathe´matiquesetphysique,mathe´matiquesetinformatique, math´ematiquesetchimie,. . .). Lacoope´rationdesenseignantsd’unemeˆmeclasseoud’unemˆemedisciplineet,pluslargement,cellede l’ensembledesenseignantsd’uncursusdonn´e,ycontribuedefac¸onefficace,notammentdanslecadredes travaux d’initiative personnelle e ad ´ nc res. Ilimporteaussiquelecontenucultureldesmathe´matiquesnesoitpassacrifi´eauprofitdelaseuletechnicit´e. Enparticulier,lestextesetlesref´erenceshistoriquespermettentd’analyserl’interactionentrelesproble`mes ´ math´ematiquesetlaconstructiondesconcepts,mettentene´videnceleroˆlecentraljou´eparlequestionnement scientifiquepourled´eveloppementthe´oriqueetmontrentenoutrequelessciences,etlesmathe´matiquesen particulier,sontenperp´etuelle´evolutionetqueledogmatismen’estpaslare´f´erenceenlamatie`re.

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2- Architecture et contenus des programmes

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a) Intentions majeures Lescontenussontorganis´esautourdetroisintentionsmajeures: -Organiserlesprogrammesautourdequelquesnotionsessentielles,end´egageantlesid´eesmajeuresetleur port´ee,enfournissantdesoutilspuissantsetefficaces,ene´vitanttoutetechnicit´egratuite,etene´cartantles notionsquinepourraientˆetretraite´esquedefa¸consuperficielle. -Donnerunroˆletre`simportant`alare´solutiondeproble`mesetd’exercicesd’application,pourcertains enmettantenœuvrel’outilinformatique.Lebutestd’indiquerlechampdesprobl`emesetphe´nome`nes math´emtiq`a´etudierenrelationaveclesconceptsfigurantauprogrammeetdepre´ciserlesm´ethodes a ues etlestechniquesusuellesexigiblesdes´etudiants.Enrevanche,l’e´tudedecesprobl`emesnedoitpasconduire ` des d´ ssements de programme prenant la forme d’une anthologie d’exemples dont la connaissance serait a epa exigible de ´tudiants. s e -Re´aliserun´equilibreglobalentrel’alge`bre,l’analyseetlage´ome´trie.Ilvadesoi,d’ailleurs,quecette s´eparationtraditionnellen’estqu’unecommodite´dere´dactionetnedoitpasfaireoublierlesinteractions nombreusesete´troitesentrecestroisgrandsdomainesdesmathe´matiques.Danscetteintention,lesprogrammes sontpr´esent´esselondeuxgrandesparties:alg`ebrelin´eaireetge´om´etrie,analyseetge´om´etriediff´erentielle,mais le plan du programme n’est pas un plan de cours. C’estenfonctiondesobjectifsprec´edentsquelesprogrammessontcon¸cusetquel’horairehebdomadairedoit ´ eˆtrege´re´.DanslaclassePCSI,ilestde10heures(7heuresdecourset3heuresdetravauxdiriges);dans ´ laclassePC,ilestde9heures(6heuresdecourset3heuresdetravauxdirige´s).Pourvaloriserlesconcepts essentielsetlesprincipalesm´ethodes,ilconvientdeconsacrer`aleur´etudeenviron6heuresdecoursenclasse PCSI et 5 heures de cours en classe PC. Dans les deux classes, les 4 heures restantes (1 heure de cours et 3 heuresdetravauxdirige´s)sonta`consacrera`l’e´tudedeproble`mesmathe´matiquesdedifficult´evarie´e;a`cet ´egard,toutetechnicit´egratuiteest`a´eviter. b) Secteur de l’analyse et de ses interventions Danscesecteur,leprogrammeestorganise´autourdesconceptsfondamentauxdefonctionetdesuite(ouse´rie) quipermettentdemode´liserlecomportementdemod`elescontinusoudiscrets.Lesinteractionsentrelecontinu etlediscretsontmisesenvaleur,enparticulierensecondeann´ee. Leprogrammed’analysecombinel’´etudedesprobl`emesqualitatifsaveccelledeprobl`emesquantitatifs; ild´eveloppeconjointementl’e´tudeducomportementglobaldesuitesoudefonctionsaveccelledeleur comportement local ou asymptotique. Pour l’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. c)Secteurdel’alge`breetdesesinterventions Danscesecteur,leprogrammeestcentr´eautourdesconceptsfondamentauxdel’alg`ebreline´aire(pointsdevue g´eom´etriqueetmatriciel),tandisquel’e´tudedesgroupes,desanneauxetdescorpsenae´t´e´ecart´ee. Leprogrammemetenœuvrelesm´ethodesdel’alge`breline´airepourlar´esolutiondeprobl`emesissus,non seulementdesautressecteursdel’alg`ebre,maisaussidel’analyseetdelage´om´etrie. d)Secteurdelage´ome´trieetdesesinterventions Unevisionge´ome´triquedesprobl`emesimpr´egnel’ensembleduprogrammedemath´ematiquescarlesme´thodes delage´ome´triejouentunroˆlecapitalenalg`ebre,enanalyseetdansleursdomainesd’interventionparles apportsdulangageg´eom´etriqueetdesmodesderepre´sentation.Lag´eome´triediff´erentielle(e´tudedescourbes etdessurfaces)estun´ele´mentessentieldelaformation,enrelationnotammentaveclaphysique. e) Articulation avec les sciences physiques et la chimie Enrelatione´troiteaveclesconceptspropresauxsciencesphysiqueset`alachimie(m´ecanique,e´lectrocin´etique, e´lectronique,optique,cin´etiquechimique),leprogrammevaloriselesinterpre´tationscine´matiquesetdynamiques desconceptsdel’analyseetdelag´eom´etrie,ainsiqueleursinterpre´tationsentermesdesignauxcontinusou discrets(vitesseetacce´le´ration,trajectoiresetlignesdeniveau,´equationsdiff´erentiellesmod´elisantl’´evolution desyst`emesm´ecaniques,physiquesouchimiques).Cesinterpre´tations,conjointementaveclesinterpre´tations graphiquesetg´eome´triques,viennentenretour´eclairerlesconceptsfondamentauxdel’analyse.

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3- Conception et organisation de la formation

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a) Organisation du travail de la classe Ilconvientdecentrerl’enseignementautourdel’´etudedephe´nom`enesetdeproble`mesmath´ematiques,les conceptsetlesd´eveloppementsthe´oriques´etantauservicedecettee´tude.Enparticulier,ilestessentiel quel’approfondissementth´eoriquenesoitcoupe´nidesprobl´ematiquesquilesous-tendent,nidessecteurs d’intervention qui le mettent en jeu. Deuxobjectifsessentielssonta`poursuivre: -Promouvoirl’acquisitiondeme´thodesetentraˆınerles´etudiants`aexploitertoutelarichessedelad´emarche mathe´matique;laclasseestdoncunlieudede´couverte,d’exploitationdeprobl´ematiques,unlieuder´eflexion etded´ebatssurlesde´marchessuivies,d’analysedeshypothe`sesd’unth´eor`emeetdelaporte´edesconceptsmis enjeuetdesr´esultatsobtenus.Elleestaussiunlieud’e´laborationdesynthe`sesayantpourobjectifdede´gager clairementlesid´eesetm´ethodesessentielles.Danscetteperspective,lesenseignementscombinentdefacon ¸ organiquelaformulationetl’analysedeprobl`emes,l’´elaborationdeconcepts,lapr´esentation,lade´monstration etlamiseenœuvredere´sultats,ainsiquelamiseenvaleurdem´ethodes. -D´evelopperlescapacit´esdecommunication.Lapertinencedesindicationse´critesetoralesdonne´espar leprofesseuretlaqualit´edestructurationdese´changesinterpersonnelsjouenticiunroˆleessentiel:qualit´es d’´ecouteetd’expressionorale,qualit´esdelectureetd’expression´ecrite.Lacommunicationutilisedesmoyens diversifi´es:nonseulementletableau,dontlamaˆıtriseestun´ele´mentimportant,maisaussilere´troprojecteur etl’ordinateurconnect´e`aunvid´eoprojecteur. b)Organisationdutravailpersonneldese´tudiants Lestravauxeffectue´sendehorsdutempsd’enseignement,a`lamaisonouaulyce´e,ontuneimportancecapitale; leursfonctionssontdiversifie´es: -L’e´tudeducoursjoˆlecentral.Sonobjectifesttriple;connaıˆtrelesconceptsetre´sultatsessentiels, ue un ro savoiranalyserlesde´marchesmisesenjeudanslesd´emonstrationsetlestechniquesderaisonnement,maˆıtriser lesme´thodesd’e´tudedesproble`mes.L’´etudeducoursestdoncindissociabledecelledesproble`mes. -L´esolutiond’exercicesd’entraˆınement,combine´eavecl’e´tudeducours,apourfonctiond’affermirles a r connaissancesdebasedese´tudiantsetd’´evaluerleurcapacite´a`lesmettreenœuvresurdesexemplessimples. Lare´solutiondetelsexercicesn’estdoncpasunobjectifensoi,ettoutexce`sdetechnicite´doiteˆtree´vit´e.La maıˆtrisedecetyped’exercicesestuneexigencevalablepourl’ensembledese´tudiants. -L’e´tudedequestionspluscomplexes,sousformedepr´eparationd’activit´esenclasseoudeproble`mesa` r´esoudreeta`re´diger,alimenteletravailderecherche,individuelouene´quipe,etpermetaux´etudiantsd’e´valuer leurcapacit´e`amobiliserleursconnaissancesdefac¸oncoordonne´e.Auseind’unemeˆmeclasse,lesth`emesd’´etude peuventeˆtrediversifi´es,enfonctionduprojetdeformationdes´etudiants. -Lestravauxindividuelsdere´dactionentempslibre(solutiond’unproble`me,miseaupointd’exercices´etudi´ es enclasse,rapportdesynth`esesurunthe`med’´etude,analysecritiqued’untexte. . .)viessesentllmetneiane`t de´velopperlescapacite´sd’expression´ecriteetdemiseaupointd’unraisonnement.Laqualite´delar´edaction etdelapre´sentation,laclarte´etlapre´cisiondesraisonnements,constituentdesobjectifstr`esimportants.Ces travauxder´edactiondoiventdoncˆetrefr´equents,maisleurlongueurdoitresterraisonnable.Leurcontenupeut eˆtrediversifie´enfonctionduprojetdeformationdese´tudiants. -Larechercheetl’exploitation(individuelleouen´equipe)dedocumentscontribueaude´veloppementdes capacite´sd’autonomie.Ellepermetaussidede´velopperl’ouvertured’esprit,graˆce`alaprisedeconnaissancede pointsdevuediversifie´ssurunemeˆmequestion,etlescapacite´sd’analysecritique,grˆace`auneanalysecompar´ee decespointsdevue.Ellepermetenfinauxe´tudiantsd’approfondirleursconnaissancesencompl´ementdes travauxmene´senclasseouenfonctiondeleurscentresd’int´erˆttdeleurprojetdeformation. e e -Lapre´parationetlamiseenœuvred’expose´svisent`ade´velopperlescapacit´esd’organisationdlap´ee e ens etlesqualite´sd’expressionorale. c)Lese´preuvese´critesentempslimit´e -Enpremi`ereann´ee,cese´preuvesdoiventˆetredetailleraisonnableetdedifficulte´progressive,afindenepas d´ecouragerlese´tudiantsetdeleurpermettredere´digerclairementunesolution; de´,leurlongueurdoitˆetreaugment´eepourpermettreunepre´parationefficaceauxe´preuves - en secon annee de concours. Lesconnaissancesexigiblesdansces´epreuvesnedoiventenaucuncasde´passercellesquifigurentauprogramme; sid’autresconnaissancessonta`mettreenœuvre,touteslesindicationsutilesdoiventeˆtrefourniesaux´etudiants. Lorsqu’ils’agitd’´epreuvesdeconcoursdelongueurimportante,lebar`emedoitentenircompte.