Petit cours d'automatique

Description

Petit cours d’automatique
– Pourquoi ce cours ?
– Modele` d’un systeme` physique
´ ´– Resolution par transformee de Laplace
– Reponse´ en frequence´ , spectre
– Commande par retro action´
– PID
– Simulation Matlab/Simulink
– Commande par ordinateur
– Transformee´ enZ
– Simulation Matlab/Simulink
planPourquoi ce cours ?
` ´ `Les systemes embarques s’adressent a de nombreux domaines d’application et
beaucoup de ces domaines traitent et controlentˆ des donnees´ issues du monde
physique :
´1. il est important de savoir comment les specialistes de ces domaines
` ´procedent pour pouvoir cooperer avec eux ;
2. les ordinateurs interagissant avec les systemes` physiques forment des
systemes` complexes qui acquierent,` par cette interaction, de nouvelles
´ ´proprietes : des changements mineurs du point de vue informatique peuvent
´ `avoir des consequences importantes du point de vue systeme ;
3. des langages et outils de simulation, d’origine automatique et traitement de
signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont
l’importance croˆıt ; certains sont devenus des standards de fait (avionique,
automobile, . . .). Il est important de connaˆıtre et comprendre cette
« informatique venue d’ailleurs»
planModele` d’un systeme` physique
Une suspension de voiture
x Forces en presence´ :
........ ressort :−k(x−x )0
H
0
H amortisseur :−fxk f
a 00.... inertie :mx...
force externe, pesanteur,...
´ ´bilan : equation differentielle
00 0mx +fx +kx =u
normalisation :
00 0 2 ...

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• cours

Informations

• Publié par: Cheyn
• Nombre de lectures: 153
• Langue: Français

Extrait

Petit cours d’automatique –Pourquoi ce cours ? –esiquMoeld  u’desysnme  tyhpe –R ´ utioesolrtnapnra ´ meefsroacplLadee –eptceronepR ´ e ´ rfneess,ecneuq –moamdnpeC-actionarr ´ etro –Commande PID –Simulation Matlab/Simulink –Commande par ordinateur –neee ´ mrofsTranZ –Simulation Matlab/Simulink plan

Pourquoi ce cours ?

Les systemes embarque´  s  s’adressent ade nombreux domaines d’application et beaucoupdecesdomainestraitentetcontro ˆ lentdesdonne ´ esissuesdumonde physique :

1.ilestimportantdesavoircommentlesspe ´ cialistesdecesdomaines proce  dentpourpouvoircoope ´ reraveceux;

2.lesordinateursinteragissantaveclessyste  mesphysiquesformentdes syste  mescomplexesquiacquie  rent,parcetteinteraction,denouvelles proprie ´ t ´ es:deschangementsmineursdupointdevueinformatiquepeuvent avoirdesconsequencesimportantesdupointdevuesyste  me; ´

3. des langages et outils de simulation, d’origine automatique et traitement de signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont l’importancecro ˆ t;certainssontdevenusdesstandardsdefait(avionique, automobile,...).Ilestimportantdeconna ˆ treetcomprendrecette

plan

«informatique venue d’ailleurs»

Mode  led’unsyste  mephysique

Une suspension de voiture

. ❍ k ✟ ✟ ❍ ❛ ❛ ❍ ✟ ✟ ❍ .

f

bilan:e ´ quationdiff ´ erentielle

normalisation :

–wpulsation propre –zmmoernttissae plan

x

Fo ´ rces en presence : - ressort :−k(x−x 0 ) - amortisseur :−f x 0 - inertie :mx 00 - force externe, pesanteur,...

mx 00 +f x 0 +kx=u

x 00 + 2zwx 0 +w 2 x=w 2 u

Resolutionpartransform ´ eedeLaplace ´

propri ´ etes: ´

–lin ´ earite ´ :

X(s) =L(x) = Z ∞ x(t)e −st dt 0

L(ax+by) =aL(x) +bL(y)

–transformelese ´ quationsdiff ´ erentiellesenitnoasgl ´ qeaueuqirbe ´ s:

L(x 0 ) =sL(x)−x(0)

– transforme les exponentielles enfractions rationnelles: t n −λt 1 L  n! e  ( = s+λ)n+1

plan

Application

x 00 + 2zwx 0 +w 2 x=w 2 u⇒s 2 X+ 2zwsX+w 2 X=w 2 U

Recherche de solutions :

X= 2 + 2 w zw 2 s+w 2 U s

–trouverlesracinesdude ´ nominateur(po ˆ les) –d ´ ecomposerene ´ le ´ mentssimplesetinverserlatransform ´ ee.

Trois cas:)1=Uelle( ´ rpulsionneponseim

–z 2 <1r:scxelempcoesinacse:uge ´ nouj –z 2 = 1: racine double –z 2 >1 : racines re´  elles

plan

–z 2 <1ra:neciexplomscugnjcoes:see ´ u

B X= s+zw+wi A √ 1−z2 + s+zw−iw √ 1−z2

= A w w √ 2 , B= 2iw √ w 1 2 −z2 −2i1−z2 z 2 t− w e −zwt e iw √ 1− −e iw √ 1−z 2 t x= √ 2 1−z 2i x= √ 1 w −z2 e −zwt sin(w p 1−z2t) re ´ gimeoscillant(suspensiontropmolle)! –z 2 = 1: racine double

x=w 2 te −wt

–z 2 >1:el ´ eslecirasrne =e w w(z+ √ z − x √ z2− ( 1 2 −1)t −e −w(z− √ z 2 −1)t ) (suspension trop dure) ! plan

Re ´ ponseenfre ´ quence,spectre

A la me´moire de Joseph Fourier

u=e −iwt U= 1 s+iw X=H 1 s+iw X=A B 1 H+ s+iw B=H(−iw)

Lesexponentiellescomplexessontlesvecteurspropresdesope ´ rateurs; H(−iw)lasteprurlevaecteurproprepoersaosice ´ aevue −iwt .

plan

Exemple de la suspension

2 0 H= s 2 + 2 w wz 0 s+w 2 0 H(−iw) = w 2 0 −w2−2izw 0 w+w 0 2

H(−iw)pmelexedalrfe ´ uqenced’excitationtuesfonetinccoonwElle se de ´ composeenamplitudeetphase:

w 2 |H(−iw)|= 0 p (w 2 0 −w 2 ) 2 + 4z 2 w 0 2 w 2 ArgH(−iw) = w tgAcr 2 2 0 zw − 0 w w 2

lespagessuivantesd ´ ecriventlespectred’amplitudeenfonctiondewpour w 0 = 1et des valeurs croissantes dez 2 = 0.5,1,2,4. plan

plan

Commandeparre ´ tro-action

Lesyste  mea  commander:rguemono-dimensionllenil,eae ´ n ´ siree X ▲ a ▲ 0 ▲ ▲ T ❆ ❆❑ ▲ ❞ X ❄ mg → →  →  → m X 00 =k(X 0 − X ) + m g

→ - pesanteur : m g → → - tension du cable :k(X 0 − X ) → - inertie :m X 00

Projection sur l’axe vertical : Projection sur l’axe horizontal : my 00 =k(y 0 −y)−mg mx 00 =k(x 0 −x) 0 =kl−mg x 00 = l g (x 0 −x) g k=m l X= s 2 w + 2 w 2 X 0 avecw= p l g pulsation propre du pendule. aucun amortissement ! plan

Notion de feedback

Commanderenfonctiondel’e ´ cartentrepositiond ´ esire ´ ex 0 et obtenuex: b e=x 0 −x x 0 ✲ + ❣ ✻ e ✲ C ✲ + ❣ + ✲ ❄ H ✲ x x=H(Ce+b) - x=H(C(x 0 −x) +b) (1 +H C)x=H(Cx 0 +b)

Calcul formel de ce diagramme !

plan

x= 1+ HC x HC 0 1+ +b CH H