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Pliages : géométrie, suite arithmético géométrique et convergence

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Description

  • cours - matière potentielle : du pliage
Pliages : géométrie, suite arithmético géométrique et convergence Niveau : Approfondir la Terminale S Difficulté : Pas de grosse difficulté Durée : Une à deux heures, suivant la vitesse de pliage Rubrique(s) : Analyse ( Suites, limites ) Géométrie ( Géométrie plane, angles ) La petite histoire...Cet exercice est d'abord une histoire de pliage et de convergence. Prenez un ruban de papier et pliez-le. Comme dans la figure ci-dessous, nous vous conseillons de choisir un angle de pliage suffisamment grand.
  • ruban
  • u0 −
  • problème de pliage
  • pliages
  • pliage
  • figure correspondant au pliage
  • résolution théorique du problème de pliage
  • u0
  • angles
  • angle
  • dire

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Langue Français

Exrait

?
an
lim
v
déjà
et
h
P
un
)
su
j
con
h
de
cette
:
du
ergence
se
(
susammen
diculté
à
histoire...
la
r
de
rabatt
an
le
un
de
Terminale
main
age
plian
Diculté
an
(
:
i
triangle
)
c
de
de
plane,
grand.
eau
p
p
v
:
an
exercice
du
ce
une
ien
heures,
ste
et
la
ondir
con
ergence.
ord
la
du
de
manière
con
Rép
Comm
t
S
ération
Rubrique(s)
à
v
fois
Analyse
la
:
el
Suites,
se
géométrie,
genre
ites
m
as
?
Géométrie
hoisir
Niv
angle
Géométrie
pliage
grosse
t
angles
Puis
co
ous
La
liez
Durée
nou
etite
eau
:
iv
Cet
t
Une
bissetrice
est
nouv
angle,
ord
qui
deux
ev
histoire
t
of
u
pliage
à
suiv
re
de
partie
et
pliée
v
tre
t
b
Prenez
du
la
aut
ruban
ruban
vitesse
la
papier
suiv
arithmét
te.
pliez-le.
étez
pli
tenan
e
op
:
suite
géométrique
Appr
à
d'ab
el
d
en
a
t
n
c
s
aque
la
suiv

t
g
bissetrice
u
nouv
re
angle
ci
Que
-
passe-t-il
d
Quel
essous,
de
nous
se
v
ble
ous
dessiner
conseillons
1
de
Pliagesdonc
tend
ces
aussi
Indications
successiv
sut
en
limite,
cac
reste
3)
de
de
.
aleur
v
a
p
dernier
l'étud
tend
que,
hose.
deuxième
calculer
v
le
con
qui
rapp
our
(divisez
ten
conclut
le
tout
mettre
terme
ondre
géométrique
our
démon
premier
r
d
la
suite
p
v
et
problème
Mon
le
une
généralisation
En
p
o-gé
de
au
jour
résolution
donner
façon,
taires
.
géométrique
pas
suite
décrit
our
v
tend
qui
par
qui
p
en
.
rapp
général
t
(par
cela
.
t
que
r
ation
:
dans

P
e
er
deviner
consi
de
auxiliaire
on
ers
s
tout
oir
par
derrière
.
que
grand
pliage,
que
de
qu'il
ose
géométrique
initial,
raison.
résultat
la
errez
elées
tout
t
en
,
après
de
trer
est
par
angle
erge
du
a
ou
t
Exercice
1)
nous
qu'une
suite
e
allons
un
récurrence
e
u.
satisfait
v
ers
grand
ers
des
3)
exercic
2)
t
la
n
et
v
érie
t
:
t
1)
p
suites
on
fonction
tout
:
rép
ons
orteur
Nous
formellemen
e

une
à
qui
à
arm
questions
sera
équation
trée
le
le
our
exercice).
exercic
ou
et
trouv
est
sa
v
nous
e
dérons
ém
suite
la
v
la
et
qui
dénie
trer
our
e
v
u
tend
he
donc
quel
)
ce
.
aleur
c
de
1)
soit
trer
le
par
la
ne
prop
est
pli
suite
une
et
l'angle
sa
du
2)
ces
déduire
aux
v
de
app
v
conduisen
our
arithmétic
ous
Mais
et
ométriques
fonction
toujours
jour,
et
.
apparaître,
Mon
dernier
que
même
deux,
la
gâteau
toute
v
théorique
et
limite,
s
problème
limite.
plus
e
pliage.
Commen
ne
:
1
On
nous
elle
La
suite
est
d
par
raison
utilisez
est
p
e
inconn
part
qui
un
main
qui
les
p
.
tout
aleurs
v
un
l'inni,
es
v
Les
Lorsque
angles
:
a
on
apparaissen
Commencer
es
calculer
sur
v
otre
de
ruban
Or
suiv
our
Donc
pas
utiliser
ban
limite
limite.
pliages
suites
aleur
:
géométriques
par
Corrections.
dénie
Il
suite
d'exprimer
la
des
rons
en
Considé-
de
.
le
6
récurrence)
et
calculer
t
v
Soien
s
.
2)
arithmético-géométriques)
raison
tes
d
(Sui
suite
2
est
Exercice
signie
.
ce
ers
et
(Cette
2
N'hésitez
(u )n
1
u 2 [0;]; u = u :0 n+1 n
2 2
(v ) n2Nn

v =u :n n
3
(v )n
u n2N un 0
(u )n
r
(u ) n2Nn
u =ru :n+1 n
v n2Nn
v vn+1 n
u u 1 n n
v =u = = = un+1 n+1 n
3 2 2 3 6 2 2 3
1
v = v ;n+1 n
2
(v ) 1=2n
2 k n
1 1 1 1
v = v = v = = v = = v :n n 1 n 2 n k 0
2 2 2 2
n
1
u =v + = v +n n 0
3 2 3
v =u =30 0
n1
u = (u =3) + :n 0
2 3
nn ( 1=2) 0
n( 1=2) (u =3) 00
(u ) =3n
u ;a2R b = 10
(u ) n2Nn
u =a +bu :n+1 nle
de
et
6
ction
suites
suite
la
v
y
le
Corrections.
v
ers
tend
suite
sauf
mais
t
et
s'il
e
tend
de
est
,
,
sauf
à
ers
strictemen
de
.
t
et
retenir
sa
et
:
réel
te,
,
,
suite
tend
existe.
Si
taires
de
Soit
3)
cas
t
suite
tout
dernier
est
tre
c'est-à-dire
Si
la
herc
et
négatif
p
:
ous
an
tout
ectiv
p
p
u
arith
p
La
,
a
p
la
et
n
con
de
Déterminer
la
t
qu
le
eut
de
encore
te
utilisan
ornée
tend
trer
si
et
ur
ectiv
celui-ci
3)
du
b
p
ci
n
est
et
distinguer
suiv
strictemen
p
la
v
de
qu
,
lorsque
et
,
oscille
2)
la
,
ul.
suite
Nous
et
ons
aleur
n
.
fo
tel
t
ne
p
p
que
elez
ou
r
t
métho
tend
tier
tout
calculer
.
ons
ét
v
une
fonction
est
v
est
suiv
de
rôle
2)
,
ons
t
aleur
:
de
erge
rang
.
suite
C'est
la
ers
en
apparaît
aleur
limite
:
la
de
,
u
p
ne
à
dev
érer
Si
1)
,
ne
ers
quand
ers
En
,
ositi
alors
Indications
6
que
:
Commen
v
p
end
:
suite
resp
ortemen
Il
si
nous
out
a
tout
Donc
,
nq
suite.
t
ainsi
à
,
une
an
:
coup
re
,
suite
our
géométrique
aut
cas,
suite
est
ce
ce
i
raison
vrai
dans
la
(un
eet
et
.
en
En
suite
la
c'est-à-dire
si
,
Calculer

)
.
t
1)
t
c
v
h
seulemen
donc
dénie
exprimer
(
ou
de
en
Si
n
ouv
de
ous
strictemen
v
ositif,
v
t
ou
est
rapp
t
our
suiv
plus
,
q
v
la
emen
en
resp
de
Donc
tout
,
our
our
naturel
Ainsi,
ces
raison
négatif
ique
géométriques,
m
en
suite
ous
donc
an
donc
ou
suite
de
.
ez
une
e
géométrique
le
raison
Si
.
du
Nous
par
v
oin
calculer

v
xe
d'une
dénir
géométrique
pas,
raison
.
au
v
o
,
,
.
la
3)
dénition
le
d'après
strictemen
Nous
qui
déduisons
la
v
naturellemen
de
v
précéden
à
estion
de
la
limite,
résultat
6
tiliser
qui
pas
suite
p
ermet
on
emen
Nous
récup
ons
égale
remplacer
une

f
.
géométrique
en
constan
t
mais
v
Mon
et
.
v
elle
donc
eet,
ers
nom
tend
exis
,
n
ou
p
réel
que
l'inni.
,
coup
te
ul.
b

est
de
elle
ale
tel
la
que
d
Donc
dép
.
et
et
la
tre
t
en
comp
oscille
Ainsi,
Donc
end
p
dép
our
,
tout
our
).
T
.
:
.
o
,
a
alors
3
Comme
b = 1 ‘
‘ =a +b‘:
(v ) n2Nn
v =u ‘:n n
(v ) bn
u n u a bn 0
(u )n
b2] 1; 1[ b = 1 b = 1 b> 1
b< 1
‘ = a +b‘
u ‘ r > 0 v =rv n2Nn n+1 n
a +bu ‘ =ru r‘ n2N b =r a ‘ = r‘n n
‘ =a +b‘
v vn+1 n
v =u l =a +bu ‘ =a +bu (a +b‘) =b(u ‘) =bv ;n+1 n+1 n n n n
(v ) bn
b n
nv =b v :n 0
un
nu =v +‘ =b v +‘:n n 0
v ‘0
a a
‘ =a +b‘ ) ‘(1 b) =a ) b = 1;‘ = ; v =u ‘ =u :0 0 0
1 b 1 b
b = 1 n2N

a anu =b u + :n 0
1 b 1 b
n(b ) b
n nb2] 1; 1[ (b ) 0 (b (u a=(1 b))) 0 u a=(1 b)0 n
b = 1
(u ) u =a +u (u ) an n+1 n n
n u =u +na u +1 1 u an 0 n 0
nb = 1 (( 1) ) 1 1 1 1
(u ) u 2a=(1 b) u = a un 0 0 0
a
u =a u ; u = :0 0 0
2
(u ) u =a=(1 b)n 0
nb> 1 b u +1 1 u =a=(1 b)n 0
(u a=(1 b))0plian
les
est
.
c'est-à-dire
orthogonal
tilise
ut,
rép
équilatéral,
d'un
bien
p
et
.
v
racer
v
moins
premier
aites
de
d
l'angle
a
de
fait
racez
ord
ers
son
Soien
corresp
plian
en
tre
en
le
bissectrice,
l'angle
rice,
.
2)
cette
Suiv
successifs
à
aleur
t
on
ermet
don
c
la
de
es
,
Justiez
p
la
v
papier
.
our
alors
segmen
résen
sur
b
V
oin
pliage
plus
Corrections.
le
le
Nous
o
tre
parallèles
en
ternes.
ctri
an
décrit
prenan
bissectrice
t
tre
dessin
cette
alait
que
nouv
bissectrice.
des
en
pliage,
et
fois
form
plus
fonction
les
v
i
un
qui
u
v
tous
Donc
la
re
g
d'un
est
rapp
t
des
téraux.
aleur
ourquoi
donc
plier
.
revien
n
rabattre
droites
le
te
haut
à
premier
v
rabattre
re
orthogonal
pas
la
le
.
suiv
taires
appartien
la
lui
t
p
1)
oscille
alternes-in
.
L'angle
3
oin
aigu
e
égalemen
égalemen
et
v
ici
son
.
on
moins
angles
biss
en
de
t
e
aut
plus
et
en
la
u
obt
l
angle
,
:
et
l
mon
initial
en
et
'inni.
donne
et
angle
es
équilatéraux.
1)
.
bien
t
d
transforme
t
haqu
la
plus
pliage.
ap
cette
l'angle
un
ressem
à
.
e
p
c'est-à-dire
exercice
cours
prédire
triangle
passe
bissectrice,
he
t
v
alors
est
les
b
aleurs
nom
n
es,
suite
formation
l
angle
t
ort
on
par
constan
c'est-à-dire
p
triangles
a
v
3)
et
p
oin
le
non
de
Le
selon
con
bissetrice
T
t
t
à
deux
le
ergen
sur
parallèles
b
ul,
du
et
p
v
le
t
pliage,

à
our
le
a
t
p
symétrique
an
sur
ter
droite
ouge
t
ruban.
Indications
ers
Commen
t
:
ne
.
t
gure
t
ondan
et
au
t
:
du
Utilisez
segmen
angles
symétrique
ternes.
Exercice
1)
Notons
aigu
oscille
tre
l'angle
p
.
et
en
i
et
aut
,
t
allons
car
et
et
t
on
en
t
résoudre
et
T
u
en
les
la
alternes-in
problème
L'angle
e
tre
tre
la
c
et
pliage
v
de
donc
l'inni
sui
obtus
en
a
t
tre
bissect
et
on
a
ien
déb
un
et
t
sur
en
droite
ci-dessous
c'est-à-dire
e
noter
.
l
L'angle
l'angle
v
trer
ons
tre
le
Si
pliage
bissectrice
un
l
el
Comme
de
Si
3)
.
triangles
pliages
à
F
En
des
étan
un
le
conduisen
on
essin
donc
Ainsi
c
exprimer
e
à
l'angle
v
en
rabat
l'ét
de
e
er
en
en
de
u
blen
de
triangles
triangle
et
Le
Si
t
l
tendan
est
te
our
équil
2)
rem
Expliquez
er
alors
p
p
de
ourquoi
ce
les
se
p
:
liages
de
su
con
cce
erge
s
ers
sifs
pro
co
.
n
au
duisen
out
t
grand
à
b
la
d'étap
limite
l'angle
à
pliage
la
4
oilà

nb< 1 b
u a=(1 b) (u )0 n
u =a=(1 b) u =a=(1 b)0 0
=3
0 0 A2 B2
(AB) (AB)
0 0

=3
[AB]
0
0 0(AB)
(AB)
==2 =2
=2 =2
u n =2 u =2n n
u =3n
=3
A
0(AB)
0A B
0[AB] 5