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Exrait

Cours arithmétique et groupes.
Licence première année, premier semestre
Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret
Année 2006-2007
2
Table
des
matières
3
4
TABLE
DES
MATIÈRES
ercncéruftn(Seioprop)uneédépriétedtnadneèroéhT.n1S1.1.mestxilei.11L1.riePipnceredn,nreitnetuotruporslo)a+1(nefînnaltlisinetuoStiaie.stvr(n)en0,farvtteein(fese)00trnquelneeuientn(e)tnar,nn0nf,utentiersipourtoOnn:ioattueceva.])n(f,0rtsnoméDabsparl:noturdearsirenuemtnnoenn:[Nf00)(nnetuqseitnatacsruen+1))][nN,nnNn,n,0f(n()(f(n)en0:f={nonsA
Les ensembles de nombres
5
Chapitre 1
1.1 L’ensembleN Naïvement, l’ensembleNentiers positifs est l’ensemble des nombresdes {0,1,2,3, . . .}. Il est muni d’une relation d’ordre total notée; cela signifie que, sia,betcsont trois entiers quelconques, on a abetbc=ac, aa abetba=a=b, et on a toujoursabouba(Nous reviendrons sur les relations d’ordre dans le chapitre??). De façon plus rigoureuse, on peut démontrer que, à une bijection respectant l’ordre près, il existe un seul ensemble vérifiant les quatre axiomes suivants : Axiome 1L’ensembleNest totalement ordonné, c’est-à-dire muni d’une relation d’ordre totale. Axiome 2Toute partie non vide deNa un plus petit élément. (Ceci veut dire : Pour toutx, yN, xyouyx,et : pour toute partieAN,xA yA:xy.) Axiome 3L’ensembleNn’a pas de plus grand élément. Axiome 4Tout élémentNdistinct du plus petit élément deNpossède un “prédécesseur”. Rappelons qu’un prédécesseur dexest un entieryxtel quezN,tel queyzx, on a z=xouz=y; on le noterax1(on montrera en exercice qu’un prédécesseur est nécessairement unique).
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