Probabilite que deux entiers soient premiers entre eux Cours Maths

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PROBABILITÉ QUE DEUX ENTIERS SOIENT PREMIERS ENTRE EUX

Contexte : On choisit deux entiers naturels non nuls au hasard. Quelle est la probabilité qu'ils soient premiers entre eux ? Pour répondre à cette question, on procède de la façon suivante : on fixe un entiern(n2) et on choisit deux 2 entiersa etb auhasard compris entre 1 etn! ((n!) choixsupposés équiprobables). On note alorspn la probabilité que le PGCD deaetbsoit égal à 1, puis on étudie la limite de la suite (pn).

Notations : On note℘l'ensemble des nombres premiers.

1. Identité d'Euler Au XVIIIème siècle, Euler démontra une identité qui permet de faire un lien entre les nombres premiers et qui s'appellera plus tard la fonction zêta de Riemann. 1 On rappelle que pour touts∈]1,+∞converge et on note[, la série de terme généralζ(s)sa somme : s n ∞ 1 ∑s ζ(s)=n n=1

Notation commode pour la suite : Pour tout entierqsupérieur à 2, notonsA(q) l'ensemble des entiers naturelsnnon nuls dont les diviseurs 3 premiers sont inférieurs àq. Par exemple : 24=2×3∈A(3) ; 138=A(23) mais138∉A(22) En particulier, pour tout entier naturelnq, on a :n∈A(q)

1.1. ThéorèmeUne identité d'Euler

Démonstration :

−1   1 (2)1 ∏2 ζ =− p   p∈℘

On rappelle que pour tout réelx∈]−1, 1[, on a :

1 Soitp∈℘. En spécialisantx= ,il vient : 2 p

Un théorème de Cesàro

∞ 1 n =x ∑ 1−x n=0