Probabilités et Statistiques PAES L FOUCAN

Lydia.Foucan

Description

1 Probabilités et Statistiques PAES 2011 L FOUCAN PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

• variables quantitatives


• variable continue en variable discrète


• loi normale


• intervalle de classe ouvert


• intervalle de classe


• borne inférieure


• variable catégorielle


• statistique

Sujets

• Loi normale
• Borne (mathématiques)
• Statistique
• mathématiques
• mathématique

Informations

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Extrait

1


















PROBABILITÉS

ET

STATISTIQUES
















Probabilités et Statistiques PAES 2011 L FOUCAN
2

Sommaire
Chapitre 1 Statistique descriptive 4
1 4 La statistique et les statistiques
2 4 Généralités sur les distributions statistiques
2.1 Population et échantillon
2.2 Variables statistiques
2.2.1 Variables quantitatives
2.2.2 Variables qualitatives ou catégorielles.
3 Distribution statistique d’une variable 5
3.1 Données brutes
3.2 Suites ordonnées
3.3 Distribution d’effectifs.
3.4 Intervalles de classe - bornes - centre de classe
3.5 Représentation des données
4 8 Indices de Position – Indices de dispersion.
4.1 Indices de position (moyenne, médiane, mode)
4.2 Indices de dispersion (étendue, valeurs extrêmes, quantiles, variance, écart-type)
5 Somme de deux variables 10
Chapitre 2 Principales distributions de probabilité 13
1 Notion de variable aléatoire 13
2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 13
2.1 Loi Binomiale ou distribution de Bernoulli
2.2 Loi de Poisson :
3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue 14
3.1 Loi de Laplace –Gauss (ou loi normale) 14
3.1.1 Définition de la loi normale
3.1.2 Courbe représentative de la densité de probabilité
3.1.3 Loi normale centrée réduite
3.1.4 Table de l’écart –réduit
3.1.5 Importance de la loi normale
3.2 Lois dérivées de la loi normale 17
3.2.1 Loi du chi-deux
3.2.2 Loi de Student
Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles. Indépendance entre évènements. Théorème de Bayes. 19
1 Généralités 19
Les éventualités résultant d’une expérience:
Propriétés élémentaires des probabilités
2 Probabilités conditionnelles 19
3 Indépendance en Probabilité 20
4 Théorème de Bayes 20
Chapitre 4 Fluctuation d’échantillonnage 22
1 Population des Echantillons issus d’une population d’individu 22
2 Fluctuations d’échantillonnage d’une moyenne 22
3 Fluctuations d’échantillonnage d’une proportion 22
Chapitre 5 Estimation par intervalle de confiance ²25
& Généralités 25
1 Estimation ponctuelle 25
2 Estimation par intervalle de confiance. 25
2.1 Variable quantitative – estimation d’une moyenne par intervalle de confian
2.2 Variable qualitative – estimation d’une fréquence par intervalle de confiance
3 Précision d’un intervalle de confiance 27
4 Nombre de sujets nécessaire 27
29 Chapitre 6 : Comparaison d’une caractéristique observée à une caractéristique théorique
1 Etapes d’un test statistique - grands échantillons: 29
2 Risque de première , risque de deuxième espèce, puissance d’un test statistique 30
Chapitre 7. Comparaison de deux variances 32
1 Test de Fisher 32
2 Table de Fisher 33
34 Chapitre 8 Comparaison entre deux caractéristiques observées
1 Comparaison de deux moyennes observées 34
1.1 Cas des échantillons indépendants
1.2 Cas des échantillons appariés
Probabilités et Statistiques PAES 2011 L FOUCAN
3

2 2 Comparaison de deux fréquences observées 38
2.1 Cas des échantillons indépendants
2.2 Cas des échantillons appariés
Chapitre 9 Le test de chi-deux 39
1 Le chi-deux d’indépendance 39
2 Le chi-deux d’ajustement 41
3 Table de chi-deux 42
45 Chapitre 10 Tests non paramétriques
1 Principes des tests non paramétriques 45
2 Tests non paramétriques avec échantillons indépendants 45
3 Table de U - pour le test de Mann et Whitney 47
4 Tests non paramétriques avec échantillons appariés 47
48
Références

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Chapitre 1
Statistique Descriptive

1. La statistique et les statistiques
La statistique est une « méthode de raisonnement permettant d’interpréter le genre de données très
particulières, qu’on rencontre notamment dans les sciences de la vie, dont le caractère essentiel est
la variabilité « D. Schwartz ».
Les statistiques ensemble des données relatives à un groupe d’individus ou d’unités.

La statistique descriptive est la phase de la statistique qui se limite à décrire ou analyser une
population donnée, sans tirer de conclusion pour une population plus grande.

2. Généralités sur les distributions statistiques
La statistique descriptive va nous permettre d’étudier un certain nombre d’objets par le terme de
série ou ensemble statistique.
Il existe 2 grands types de séries statistiques : la population et l’échantillon.

2.1. Population et échantillon

Population : ensemble de tous les individus qui relèvent d’une définition donnée.
La population est plus ou moins vaste, selon sa définition (parfois, des milliers de sujets).

Echantillon = fraction de la population
Pour avoir des renseignements sur la population à partir de l’échantillon extrait : l’échantillon doit
être représentatif.
L’échantillon est représentatif
si sa taille est suffisamment grande
et si il est extrait au hasard de la population (tirage au sort)

2.2. Variables statistiques
Une variable statistique est une caractéristique p
La variable peut être quantitative ou catégorielle.
2.2.1 Variables quantitatives : sont des variables mesurables : poids, taille, âge. Elles sont
souvent accompagnées d’une unité de mesure (ex : poids = 50 kg).
On distingue 2 sous – catégories :
* Variables continues qui peuvent prendre un nombre infini de valeur dans un intervalle
donné (ex : taille, pression artérielle diastolique).
* Variables discrètes : ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeur : ex : nombre
d’enfants d’une famille.

On transforme souvent une variable continue en variable discrète : c’est la discrétisation ou
groupement par classe.
2.2.2 Variables qualitatives ou catégorielles.
Ce sont des variables non mesurables. Elles ont un certain nombre de catégories ou modalités.
Une variable catégorielle à 2 catégories est dite dichotomique ou (binaire).
Ex la variable fumeurs (fumeurs-non fumeurs) est une variable catégorielle à deux catégories.
En présence de plusieurs catégories, on distingue :
Les variables ordinales : elles peuvent bénéficier d’un classement ordonné ou d’un ordre
naturel.
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Ex : l’intensité de douleur : nulle, légère, intense, insupportable.
La transformation d’une variable catégorielle ordinale en variable catégorielle dichotomique est
possible. Ex pour la douleur : pas de douleur / douleur.

Les variables nominales : Il n’existe pas d’ordre naturel. Chaque classe désigne une
catégorie (elle la nomme). Par exemple, pour la couleur des yeux : noir / marron / vert /bleu.

3 Distribution statistique d’une variable
3.1 Données brutes : données rassemblées sans se soucier d’un ordre quelconque.
3.2 Suites ordonnées : les données sont rangées par ordre fixe (croissant ou décroissant).
Considérons la valeur x , elle se rencontre n fois i i
n est appelé effectif i
f n /n est appelé fréquence ou pourcentage (* 100) i = i

Valeur effectif fréquence
de la variable
x n f 1 1 1
x n f i i i
x n f p P p
n n est l’effectif total de l’échantillon


3.3. Distribution d’effectifs. Après avoir ordonné les données, on découpe l’étendue en classes (ou
catégories) et on dénombre toutes les mesures qui tombent à l’intérieur d’une même classe. A
chaque clas