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Rappels sur lim sup et lim inf

3 pages
Chapitre 2 Series entieres 2.1 Rappels sur lim sup et lim inf Exercice 2.1.1 Dans cet exercice, (un) designe une suite de reels. 1. Rappeler la definition de lim supun. 2. Pour chacune des suites (un) suivantes, calculer sa lim sup : a) un = (?1) n ; b) un = { cos(n) si n est pair 3n sinon ; c) un = en n! Dans les questions suivantes, on suppose que (un) est bornee. 3. Montrer qu'il existe une sous-suite de (un) qui converge vers lim sup(un). 4. Montrer que L = lim supun est caracterisee par la condition suivante : Pour tout ? > 0, l'ensemble des n tels que un ≥ L + ? est fini, et l'ensemble des n tels que un ≥ L? ? est infini. 5. Reprendre cet exercice avec la lim inf. Exercice 2.1.2 1. Soit (un)n≥0 et (vn)n≥0 deux suites bornees de reels. Etablir les propositions suivantes : lim sup (un + vn) ≤ lim sup n?∞ un + lim sup vn ; (?n ≥ n0, un ≤ vn)? lim supun ≤ lim sup vn.

  • comportement au bord

  • serie entiere

  • voisinage

  • meme comportement sur le bord du disque de convergence

  • serie ∑

  • rayon de convergence


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Master1Math´ematiques,MAT414
Universit´eJosephFourier 20092010
Feuilledexercices2:encoredesespe´rancesconditionnelles...
Exercice 1.edavirbaoCpueltoiresdilesal´ea.`rcsseteSoitλ >0,µ >0 et 0< ν(1. SoitX, Y) uncoupledevariablesal´eatoiresentie`respositivestellesque n m nm λ µν 2 P(X,Y)(n, m) =cλ,µ,νpour tout (n, m)N, n!m! o`ucλ,µ,νest une constante de normalisation. X n m nm λ µν 1.V´erierque<(la constantecλ,µ,νest alors l’inverse de cette somme). n!m! 2 (n,m)N 2. Donnerles lois marginales deXetYce´ennioitndconeurevuorT.quepournaetussertessia XetYo´ieepentinsdtes.ndan 3.De´terminerE[X|Y].
Exercice 2.Baisse de 100% du pouvoir d’achat au Casino.euedfoneunrteUjnuoueprso`sXn>0 a`linstantn, avecX0=x0mrnie´etdtnainstaque.AchistenNpa`euojlisemineeuacufeoiluqil doublesilgagneetperddanslecascontraire.Lejoueurd´ecidedarreˆterdejouerquandilposse`de une sommesx´ec(avaneeds´dteintsreime,sx0rtse´niuni(enatst)ouauqilndNpour lequel XN.)aStsar´tgeeiseen=0tuorafesuttoupcoeuqahca`resimedtXnsiXns/2 et de misersXn siXn> s/2. 1.Lejeusarreˆtetilavecprobabilite´1auboutdunnombrenidecoups?Justiervotrere´ponse. 2 2. Montrerque pour tout (k, n)N,kn, on aE[Xk|X1, X2,∙ ∙ ∙, Xn] =Xn. 3.Ende´duirelaprobabilit´equelejoueurterminelejeuen´etantruin´e.
Exercice 3.nepecnadnoceitidneone.llInd´Deux tribusG1etG2sont dites conditionnellement inde´pendantesparrapporta`latribuGsi E[X1X2|G] =E[X1|G]E[X2|G] pourtoutevariableale´atoireX1(respectivementX2) positiveG1mesurable (resp.G2mesurable). 1. MontrerqueG1etG2ioitelnnmeleinnttnosdnocapport´dpeneadtnseaprrGsi et seulement si E[X2|σ(G,G1)] =E[X2|Greatoirtou]paviruoetlae´baelX2positiveG2mesurable. 2. MontrerqueG1etG2esionnellereconditpeneadtnemtnni´d´endeitrˆentveeuteˆsnassetnadnepp parrapport`aunetroisie`metribuG. 3. Soit(X0, X1, X2laselbaieriotae´pe´endsis.teanndoMtnerqreutrip)unevarletdσ(X0+X1+X2) etσ(X0dnocoitilennemelinntepd´daenesnt`artpoap)rsropnatσ(X0+X1).
Exercice 4..i.iriseaeotas´lablevariumdeaximMd.Soit (Xk)1kneellestoiresr´aselae´lavsebaird ind´ependantesdemˆemeloiadmettantunedensit´eρ(xLeberede.sgueoptrrrpaemusa`alpa) 1.Calculerlaloidelavariableal´eatoireM= max{X1,∙ ∙ ∙, Xn}. 2.D´eterminerlaloiconditionnelledeXksachantM.
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