REPRESENTATIONS LISSES DE GLm D
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REPRESENTATIONS LISSES DE GLm(D) IV : REPRESENTATIONS SUPERCUSPIDALES par V. Secherre & S. Stevens Resume. — Soit F un corps commutatif localement compact non archi- medien, et soit D une algebre a division de centre F. Nous prouvons que toute representation irreductible supercuspidale du groupe GLm(D), de niveau non nul, est l'induite compacte d'une representation d'un sous-groupe ouvert compact modulo le centre de GLm(D). Plus precisement, nous prouvons que de telles representations contiennent un type simple maximal au sens de [21]. Abstract. — Let F be a non-Archimedean locally compact field and let D be a central F-division algebra. We prove that any positive level supercuspidal irreducible representation of the group GLm(D) is compactly induced from a representation of a compact mod center open subgroup of GLm(D). More precisely, we prove that such representations contain a maximal simple type in the sense of [21]. Introduction Soit F un corps commutatif localement compact non archimedien, et soit G une forme interieure de GLn(F), avec n > 1. C'est un groupe de la forme GLm(D), ou D est une F-algebre a division, de dimension d2 sur son centre F, et ou n = md.

  • irreductible supercuspidale

  • groupe g0

  • irreducible representation

  • representation irreductible

  • compact mod center

  • representations supercuspidales de glm

  • archimedean locally compact


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Exrait

IV

REPR´SENTATIONSLISSESDEGLm(D)
:REPR´SENTATIONSSUPERCUSPIDALES

par

V. S´cherre & S. Stevens

R´sum´. —Soit F un corps commutatif localement compact non
archim´dien, et soit D une alg`bre ` division de centre F.Nous prouvons que
toute repr´sentation irr´ductible supercuspidale du groupe GLm(D), de niveau
non nul, est l’induite compacte d’une repr´sentation d’un sous-groupe ouvert
compact modulo le centre de GLmpr´cis´ment, nous prouvons que(D). Plus
de telles repr´sentations contiennent un type simple maximal au sens de [21].

Abstract. —Let F be a non-Archimedean locally compact field and let D
be a central F-division algebra.We prove that any positive level supercuspidal
irreducible representation of the group GLm(D) is compactly induced from
a representation of a compact mod center open subgroup of GLm(D). More
precisely, we prove that such representations contain a maximal simple type in
the sense of [21].

Introduction

Soit F un corps commutatif localement compact non archim´dien, et soit
G une forme int´rieure de GLn(F), avecn>un groupe de la forme1. C’est
2
GLm(D), o` D est une F-alg`bre ` division, de dimensiondsur son centre F,
et o`n=mdarticle, qui fait suite au travail entrepris par le premier. Cet
auteur dans [19, 20, 21], met un terme ` la classification des blocs simples de
la cat´gorie des repr´sentations lisses complexes de G au moyen de la th´orie
des types de Bushnell et Kutzko.

Ce travail a b´n´fici´ d’un financement de la part de l’EPSRC (grant GR/T21714/01).

2

V.S´CHERRE&S.STEVENS

Notre r´sultat principal peut ˆtre formul´ ainsi :siρest une repr´sentation
irr´ductible supercuspidale de G, de niveau non nul (voir plus bas), alors il
existe un type pour la classe inertielle deρ. End’autres termes, nous
prouvons qu’il existe un sous-groupe ouvert compact J de G et une repr´sentation
irr´ductibleλde J telle que les repr´sentation irr´ductibles de G dont la
restriction ` J contientλsont exactement celles qui sont ´quivalentes `ρ⊗χ
pour un caract`re non ramifi´χPlus pr´cis´ment, nous prouvons qu’onde G.
peut choisir pour (J, λ) un type simple maximal au sens de [21].
Mentionnons que le cas o`ρest de niveau z´ro (c’est-`-dire le cas o`ρ
poss`de un vecteur non nul invariant par le sous-groupe 1+ Mm(pD), o`pD
d´signe l’id´al maximal de l’anneau des entiers de D) a ´t´ trait´ par Grabitz,
Silberger et Zink dans [12oitaedsn´rpetnes].(Dconpefa¸n´r´ulgselrsla,e
niveau z´ro du groupe des F-points d’un groupe r´ductif connexe d´fini sur
F ont ´t´ ´tudi´es, du point de vue de la th´orie des types, par Morris [14,
15, 16] et Moy-Prasad [17, 18pourquoi, dans cet article, on exclut].) C’est
syst´matiquement les repr´sentations supercuspidales de niveau z´ro de G (`
l’exception du th´or`me 5.23).
Le probl`me de la classification des repr´sentations lisses complexes de G
par la th´orie des types a d´j` ´t´ abord´ par plusieurs auteurs.Bien entendu,
il faut mentionner en premier lieu les travaux fondateurs de Bushnell et Kutzko
[7, 9] concernant le groupe d´ploy´ GLn(F), qui ont donn´ le ton ` tous les
trauvaux ult´rieurs sur le sujet.Ensuite, les premiers travaux concernant les
formes int´rieures non d´ploy´es de GLn(F) sont ceux de E.-W. Zink [25] et
de Broussous [1tous deux donnent une classification des repr´sentations] :
de GL1(D), le premier lorsque F est de caract´ristique nulle, le second sans
restriction sur la caract´ristique.Dans [12], Grabitz, Silberger et Zink traitent
le cas tr`s particulier du niveau z´ro.Concernant le cas g´n´ral, c’est-`-dire les
repr´sentations irr´ductibles de GLm(D) de niveau quelconque, on trouve un
certain nombre de r´sultats dans les travaux de Broussous [2, 3, 4],
BroussousGrabitz [5] et Grabitz [10, 11].

REPR´SENTATIONSSUPERCUSPIDALESDEGLm(D)

3

Ce travail — les articles [19, 20, 21] auxquels vient s’ajouter le pr´sent
article — suit la m´thode g´n´rale de construction de types ´labor´e par Bushnell
et Kutzko dans [7] et am´lior´e dans [8] par la th´orie des paires couvrantes.
D´crivons-en bri`vement l’organisation.On fixe une fois pour toutes une strate
simple [A, n,0, β] de la F-alg`bre Mm(D) (cf.D´finition 1.18).Rappelons
simplement ici queβest un ´l´ment de Mm(D) tel que la F-alg`bre E = F[β] soit
×
un corps, et queAest unOF-ordre h´r´ditaire de Mm(D) normalis´ par E.
(i) Dansune premi`re ´tape ([19]), on associe ` la strate simple [A, n,0, β]
un ensemble finiC(β,A) decaract`res simpless’agit de caract`res d´finis. Il
1 1
sur un certain sous-groupe ouvert compact H= H (β,A) de G jouissant de
remarquables propri´t´s de fonctorialit´ connues sous le nom de propri´t´s de
′ ′
transfert. Pluspr´cis´ment, si [A, n ,0, β] est n’importe quelle strate simple
d’une F-alg`bre centrale simple dans laquelle est plong´ E, il existe une
bijec′
tion canonique deC(β,A) surC(β,A).
(ii) Dansune seconde ´tape ([20]), on construit, pour chaque caract`re
simpleθ∈C(β,A), une famille finie deβ-extensions. Ils’agit de repr´sentations
irr´ductibles d’un sous-groupe ouvert compact J = J(β,A) de G dont la
res1
triction ` H(β,A) contientθet — surtout — dont l’entrelacement est le mˆme
que celui deθ.
(iii) Dans une troisi`me ´tape ([21]), lorsqueAest un ordre principal, on
construit pour chaqueβ-extensionκd’un caract`re simpleθ∈C(β,A) une
famille finie detypes simplessont des repr´sentations irr´ductibles de. Ce
J(β,A) de la formeκ⊗σ, o`σest l’inflation ` J(β,A) d’une repr´sentation
irr´ductible supercuspidale du groupe r´ductif fini :

1r
J(β,A)/J (β,A)≃GLs(k),

o`r, ssont des entiers>1 tels que le produitrsdivisem, o`kest une
⊗r
extension finie du corps r´siduel de E et o`σest de la formeσ, avecσ0
0
une repr´sentation irr´ductible supercuspidale de GLs(k). Chaquetype simple
(J(β,A), λ) ainsi construit est un type pour une classe inertielle simple de G de
r⊗r
e [G,o`] ,ρation irr´ductible supercuspidale
la form0ρ0 G0est une repr´sent

4

V.S´CHERRE&S.STEVENS

du groupe G0= GLm/rde Hecke de G relative `(D). L’alg`breλest une
alg`bre de Hecke affine.Plus pr´cis´ment, elle est isomorphe ` l’alg`bre de
Hecke-Iwahori de GLr(K), o` K est une extension non ramifi´e de E dont le
corps r´siduel est une extension de degr´sdek.
(iv) Laquatri`me ´tape est celle qui occupe le pr´sent article.L’objectif en
est l’exhaustion des repr´sentations irr´ductibles supercuspidales par les types
simples. Pluspr´cis´ment, nous prouvons le r´sultat suivant (cf.Th´or`me
5.21) :

Th´or`me :Soitρune repr´sentation irr´ductible supercuspidale de niveau
non nul de G.Il existe un type simple maximal (J(β,A), λ), au sens de [21],
tel que la restriction deρ` J(β,A) contienneλ.

On en d´duit imm´diatement, ` partir de [21, Th´or`me 5.6], que sis=
r⊗r
[G, ρ]Gest une classe inertielle simple de niveau non nul de G, c’est-`-dire
0 0
querest un diviseur demetρ0une repr´sentation irr´ductible
supercuspidale de niveau non nul du groupe G0= GLm/r(D), il existe un type simple
(J(β,A), λ) qui est un type poursstructure de l’alg`bre de Hecke de G. La
relative ` (J(β,A), λ) est donn´e par [21Comme mentionn´, Th´or`me 4.6].
` l’´tape (iii), elle est isomorphe ` une alg`bre de Hecke-Iwahori.

Nous passons maintenant ` la description des m´thodes utilis´es.Notre
premi`re tˆche — qui est aussi la plus difficile — est de s´parer les
repr´sentations irr´ductibles de niveau non nul de G en trois cat´gories, comme suit
(cf.Th´or`me 3.23) :une repr´sentation irr´ductible de niveau non nul de
G contient ou bien une strate scind´e, ou bien un caract`re scind´, ou bien
un caract`re simpleθ∈C(β,A) pour une strate simple [A, n,0, β(On] de A.
renvoie au§3.6 pour les d´finitions de strate scind´e et de caract`re scind´ —
appel´type scind´dans [7].) Cetravail est d´j` amorc´ par Broussous [4],
qui prouve qu’une repr´sentation irr´ductible de niveau non nulπde G ne
contenant pas de strate scind´e contient un caract`re simple de niveaum>0,
c’est-`-dire la restriction d’un caract`re simpleθ∈C(β,A) ` un sous-groupe
m+1 1
H (β,A) ´ventuellement plus petit que H (β,A). Sim>1, on cherche `

REPR´SENTATIONSSUPERCUSPIDALESDEGLm(D)

5

construire, en proc´dant par raffinement comme dans [7], un caract`re simple
′ ′′ ′
θ∈C(β,A) relatif ` une autre strate simple [A, n ,0, β] de A, contenu dans
πMais, contrairement ` ce qui` un niveau (normalis´) strictement moindre.

se passe dans le cas d´ploy´, il n’est pas possible de passer deθ`θen une
seule ´tape — techniquement, c’est [7voir, Proposition 1.2.8] qui fait d´faut :

[21,§1.5.3]. End´coupant le segment [A,A] dans l’immeuble de Bruhat-Tits
de G en morceaux suffisamment petits (cf.§3.5, Hypoth`se (H)), on obtient
le r´sultat crucial 3.15, clef du processus de raffinement et analogue de [24,
Lemma 5.4].Tout ceci est assez technique et n´cessite :

(i) d’employer le langage des suites de r´seaux, plus g´n´ral que celui des
ordres h´r´ditaires et qui permet une description des points rationnels de
l’immeuble de Bruhat-Tits de G (cf.[2]) ;
(ii) ded´finir les caract`res simples relatifs ` une suite de r´seaux et
d’´tendre le transfert des caract`res simples ` ce cadre :c’est l’objet de la section 2
de cet article ;
(iii) de g´n´raliser la notion de strate d´riv´e (cf.D´finition 3.21),
conduisant elle-mˆme ` celle de caract`re scind´ (cf.D´finition 3.22).

Mentionnons un point important :l’introduction des caract`res simples
relatifs ` une suite de r´seaux a ceci de gˆnant que les niveaux normalis´s
deviennent des nombres rationnels dont le d´nominateur n’est pas born´ — ce qui
risquerait d’empˆcher le processus de raffinement de terminer.Il est donc
in′
dispensable de v´rifier que l’on passe deθ` un caract`re simpleθqui, lui, est
relatif ` un ordre h´r´ditaire, mˆme si les ´tapes interm´diaires peuvent mettre
en jeu des caract`res simples relatifs ` des suites de r´seaux quelconques.Ceci
justifie le th´or`me 1.7, et tous les r´sultats pr´paratoires des§§3.1–3.3.
Remarquons ´galement que la distinction entre strate scind´e et caract`re
scind´ est assez superficielle :c’est ` peu pr`s la mˆme que celle que l’on fait
entre types simples de niveau 0 et de niveau>0.
Notre seconde tˆche, qui occupe la section 4, est de montrer qu’une
repr´sentation irr´ductible de niveau non nul de G contenant une strate scind´e ou

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V.S´CHERRE&S.STEVENS

un caract`re scind´ a un module de Jacquet non trivial.Ceci implique
automatiquement que toute repr´sentation irr´ductible supercuspidale de niveau
non nul de G contient un caract`re simpleθ∈C(β,A) pour une strate simple
[A, n,0, βPour aboutir au th´or`me 5.21, il reste alors ` d´crire le] de A.
1
passage de H` J, ce qui fait l’objet de la section 5.Une repr´sentation
irr´ductible supercuspidale de niveau non nul de G contienta prioriune
repr´sentation irr´ductible de J de la formeϑ=κ⊗σ, o`σest l’inflation
1
` J d’une repr´sentation irr´ductible de J/s’inspirant de [J . En12,§1], et en
utilisant la notion decoh´renced´j` largement d´velopp´e dans [20, 21], on
montre queϑest un type simple maximal, c’est-`-dire queAest principal, que
⊗r
σest cuspidale de la formeσet queA∩B est un ordre maximal de B.
0
Nous terminons cette introduction en mentionnant deux probl`mes qui
restent ` traiter au sujet des repr´sentations lisses de G.Le premier concerne
la g´n´ralisation de la notion d’endo-classe (cf.[6,§8]) aux caract`res simples
de G.Le second concerne la construction de types pour n’importe quelle
classe inertielle de G, en g´n´ralisant la construction des types semi-simples
r´alis´e dans [9].

Notations et conventions

Soit F un corps commutatif localement compact non archim´dien.Toutes
les F-alg`bres sont suppos´es unitaires et de dimension finie.Par F-alg`bre `
divisionon entend F-alg`bre centrale dont l’anneau sous-jacent est un corps
(pas n´cessairement commutatif).
Si K est une extension finie de F, ou plus g´n´ralement une alg`bre ` division
sur une extension finie de F, on noteOKson anneau d’entiers,pKson id´al
maximal etkKson corps r´siduel.
Si A est une alg`bre centrale simple sur une extension finie K de F, on note
NA/K(resp. trA/Kla trace) r´duite de A sur K.) la norme (resp.
Siuest un nombre r´el, on note⌈u⌉le plus petit entier>uet⌊u⌋le plus
grand entier6u, c’est-`-dire la partie enti`re deu.

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