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S4minaire B O U R B A K I 26e ann@e, 1973/74, n ° 439 %~9-01 Novembre 1 973 PROPRIETES ASYMPTOTIQUES DE L'EQUATION DE IA CHALEUR SUR UNE VARIET~ COMPACTE ~d'apr~s P. GILKEY] par Y. COLIN DE VERDIERE Soient N une varigt@ riemannienne compacte sans bord, C ~ et de dimension d , A le laplacien sur les fonctions M ~ ~ qui est ~u op6rateur elliptique auto-adjoint m 0 (par rapport h l'@16ment de vo]ume riemannien v M ). A admet = 0 ~ k I ~ ... ~ k ~ ... (chaque valeur propre @rant des valeurs propres k ° n r@p@t@e un nombre de fois @gal ~ sa multiplicit6). ~inakshisundaram et Pleijel IMP] ont montr@ l'existence d'un d6veloppement asymptotique - d/2 exp(_knt) /-k._ (4~t) ( ~ a£t £) avec a = vol(M) o n ( ~ t ~ 0 + ~ = 0 o La d@monstration consiste ~ 6tudier l'@quation de la chaleur I ~u + Au = 0 Bt (H) u~t = 0 = f Si e(t,x,y) d@signe la solution fondamentale de (H), i.