Scientifique (cours
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1 re S - programme 2007 - mathématiques – ch.1 - cours Page 1 sur 5 (D'après Hachette - Déclic 2011) H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) Ch.1 : Second degré 1 FORME CANONIQUE On considère une fonction polynôme ou « trinôme » de degré 2 f : x  ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels fixés avec a  0.
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re 1 S- programme 2007 - mathématiquescoursch.1 -(D’après Hachette- Déclic 2011)
Ch.1 : Second degré
1FORME CANONIQUEOn considère une fonction polynôme ou « trinôme » de degré22 f:xax+bx+c a,betcsont des réels fixés aveca0. PROPRIETE ET DEFINITIONPour tout réelx, on a : 2 2 b b4ac 2  ax+bx+c=a x+. 2a4a On obtient ainsi laforme canoniquedef(x). 2 Le réelb4acest appelé lediscriminantdu trinôme.
Remar ue: Le discriminant est en général noté par la lettre, majuscule du(« delta ») de l'alphabet grec. 2 Ainsi :=b4ac.
Démonstration :Voir une autre démonstration à l'exercice 41a e35.2 2 b b4ac   En partant de l'expressiona x+et en développant le carré, on a : 2a4a 2 22 2 b b4acb bb4ac  2 a x+ =ax+ 2x +2a4a2a2a 4a 2 2 bx bb4ac 2  =ax+ +2 a4a4a 2 2 b b4ac 2  =ax+bx+4a4a 2  =ax+bx+c.
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Exem le: 2 Soit :g(x) =2x+ 7x+ 11. 2 On calcule le discriminant := 74211 = 49 + 88 = 137. 2 22 2 7 74(2)49 + 8811 77 137     On en déduit :g(x) =2x+ =2x =2x +. 2(2)4(2)4848
Consé uences:La paraboleun repère orthogonal du plan admet pourreprésentant dansaxe de symétriela droite bb  d'équationx=et poursommetle point de coordonnées,. 2a2a4aLorsquea> 0, on a :
Lorsquea< 0, on a :
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœurà Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
re 1 S- programme 2007 - mathématiques2 sur 5cours Pagech.1 -(D’après Hachette- Déclic 2011) Exercice corrié :obtenir une forme canoniueOn donne les fonctionsol nômesdu second deré suivantes : 2 22 f:x 1,5x+ 3x4,5,g:x2x5x2 eth:x 2x+ 4x7.    Déterminer la forme canonique de chacune en utilisant trois méthodes différentes.Solution :Méthode : On calcule le discriminant :ère les valeursPour utiliser les formules, on re 2 nécessaires :, et. = 341,5(4,5) = 9 + 27 = 36.c =a = 1,5b = 34,5 2 D’où, pour tout réelx:Puis on utilise les formules= b4acet 22 3 36b 2  f(x) = 1,5x+ =1,5(x+ 1)6.a x+. 21,541,52a4a , on résout d'abord l'équationPour la forme canonique dex=2:On utilise laro riétéde smétrie 2 de laarabole : dans un reère 2x5x2 =2 2orthogonal du plan, si deux points 2x5x= 0 MetMde la parabole, x(2x5) = 01 2 d'abscisses respectivesxetx, x= 0ou2x5 = 01 2 5 ont la même ordonnée, alors le x= 0oux=. 2sommet a pour abscisse 5xx + 1 2 0 + =. 5 25  2 Ainsig(0) =g=2, et on calcule := =. 22 4 On utilise la forme canoniue vue On calcule ensuite:en seconde : 22 5525 2525 + 5016 9a(x) +.   =g() =25+2 =2 ==. 484 84 8 2 5 9   On obtient :g(x) =2x +. 48 2 Pour la forme canonique deh, on factorise par2les deux Après avoir factoriséax +bxpara, on 2 premiers termes :h(x) = 2(x+ 2x)7.b 2 considèrexx +comme le début du 2 On considèrex+ 2xcomme le début du développement dua 2 2 développement d'une identité remarquable. produit remarquable(x+ 1), soit :h(x) = 2[(x+ 1)1]7. 2 2On peut redévelopper de tête pour vérifier On obtient :h(x) = 2(x+ 1)27 = 2(x+ 1)9. le calcul. 2RESOLUTION D'UNE EQUATION DU SECOND DEGRE2 PROPRIETE1 Ensemble des solutions de l'équationax+bx+c= 02 SoitSl'ensemble des solutions dansIRde l'équationax+bx+c= 0, oùa,b, etcsont des réels fixés aveca0et 2 =b4acle discriminant du trinôme. Si< 0, alorsS =, c'est-à-dire que l'équation n'a pas de solution. b   Si= 0, alors l'équation admet une seule solution ; on a :S = . 2a  bb+  Si> 0, alors l'équation admet deux solutions ; on a :,S =. 2a2aNote : porte le nom de « discriminant », car son signe permet de séparer, ou encore de « discriminer » les différents cas.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœurà Nantes)
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re 1 S- programme 2007 - mathématiquescoursch.1 -(D’après Hachette- Déclic 2011)
Inter rétationra hi ue: < 0:
= 0:
= 0:
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Piste de démonstration : En utilisant la forme canonique et en divisant para0, on obtient : 2 b2  ax+bx+c= 0si, et seulement si,a x+ =. 2a4a Si< 0, cette équation est impossible. Si= 0, elle admet une unique solution. Si> 0, elle admet deux solutions. Remar ues: 2 Vocabulaire : les éventuelles solutions de l'équationax+bx+c= 0sont aussi appelées lesracinesdu 2 trinômeax+bx+c. Lorsque= 0, l'unique solution est l'abscisse du sommet de la parabole représentant la fonction 2 xax+bx+c. Dans ce cas le sommet, dont l'ordonnée vaut0, est situé sur l'axe des abscisses.  2 PROPRIETE1 Factorisation du trinômeax+bx+c2 b 2 2 Lorsque= 0, en notantxl'unique racine, on a :ax+bx+c=a x+ =a(xx). 00 2a2 Lorsque> 0, en notantxetxles deux racines, on a :ax+bx+c=a(xx)(xx). 1 21 2 2 Lorsque< 0, le trinômeax+bx+cne se factorise pas. Démonstration :Voir la démonstration à l'exercice 67, page 38.
Exem le: 2 2 Résolution de l'équation3x8x+ 5 = 0et factorisation de3x8x+ 5. 2 On calcule le discriminant := (8)435 = 4. (8)8 42 (+ 24 88) +5 Comme> 0, il y a deux solutions := =1et= =. 223 633 6 5   Ainsil’ensemble des solutions estS =1 ,. 32 En appliquant la propriété 2, on a, pour tout réelx:3x8x+ 5 = 3(x1)(x3).
Exercice corrigé :résoudre une équation du second degré
Dans un repère du plan, on a tracé la parabole
2 fonctionf:xx+ 3xet la droite 
représentant la
d'équationy=0,5x3.
1)Montrer queet ontdeux points communs et déterminer les coordonnées de ces deux points. 2)semble couper l'axe des abscisses en deux points. Préciser ces points.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœurà Nantes)
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re 1 S- programme 2007 - mathématiques4 sur 5ch.1 -cours Page (D’après Hachette- Déclic 2011) Solution :Méthode : Les abscisses desoints communs La droiteest la représentation graphique de la fonction affine aux courbes rerésentatives de :x0,5x3; on s'intéresse donc à l'équationx=x:  deux fonctionsfetgsont les 2 2 f(x) =g(x)équivaut àx+ 3x=0,5x3, ainsi qu’àx+ 3,5x+ 3 = 0. solutions de l'équationf (x) = g(x). 2 On calcule le discriminant du trinômex+ 3,5x+ 3: 2 = 3,5413 = 0,25. Comme> 0, cette équation a deux solutions qui sont :Lorsque> 0le trinôme 2 3,5 0,253,50,50,253,5 +3,5 + 0,5bx + cax +admet deux racines. = =2et= =1,5. 221 21 2 Donc etont deux points communs, d'abscisses2et1,5.Les ordonnées de ces deuxoints sont alors :L'ordonnée d'unoint de la courbe re résentantune fonction est 2 =0,523 =2et1,5 =0,51,53 =2,25. l'image de son abscisse par cette Ainsi, etse coupent aux points de coordonnées(2 ;2)et fonction. (1,5 ;2,25). On résout l'équationf(x) = 0:L'axe des abscisses a pour équationy = 0; il représente la fonction constantex 0.  2 f(x) = 0équivaut à :x+ 3x= 0, ainsi qu’à:x(x+ 3) = 0, soit aussi à :Lorsquec = 0, le trinôme se x= 0oux=3.factorise parx: on n'a pas besoin d'utiliser les formules. Donc coupel'axe des abscisses aux pointsA(3 ; 0)etO(0 ; 0).
3SIGNE D'UN TRINOME DU SECOND DEGREPROPRIETE ET DEFINITION2 2 Soitf:xax+bx+cun trinôme du second degré, aveca0.désigne le discriminant def:=b4ac.  2 Si< 0, alors pour tout réelx,ax+bx+cest dusigne dea. b 2 Si= 0, alors pour tout réelx,ax+bx+cest dusigne dea, ou nul pourx=. 2a 2 Si> 0, et sixetxsont les racines def, avecx<x, alorsax+bx+cest du signe deapourx ];x  1 21 21 []x; +[, et du signe de(a)pour]x;x[. 2 12
Démonstration : Casa< 0:fadmet le tableau de variations représenté ci-contre. Si< 0, on a, du fait quea< 0:< 0. 4a Le maximum deest donc strictement négatif : la fonctionest ainsi négative sur, c'est-à-dire du signe de IRasurIR. b Si= 0, admet0pour maximum :f(x)est donc strictement négatif (du signe dea) pour tout réelx, 2a b   etf0 =. 2abb Si> 0, le maximumest strictement positif, etfs'annule enx<etx>. Avec les variations def, 1 2 4a2a2a on en déduit quef(x) > 0pourx]x;x[, etf(x)< 0pourx]x; +[. 1 22 b Casa> 0:On raisonne de même,f.présentant alors un minimum en 2a
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœurà Nantes)
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re 1 S- programme 2007 - mathématiquescoursch.1 -(D’après Hachette- Déclic 2011)
4RECAPITULATIF
< 0
= 0
> 0
Page 5 sur 5
Courbe bbb+ions de a> 0Solut 2Pas de solution.x=x=etx=0 1 2 ax+bx+c= 02a2a2a Positif sur];x][x; +[. Signe de1 2 Strictement positif surIRsur. PositifIR. 2 ax+bx+c= 0Négatif sur[x;x]. 1 2 Courbe bbb+a< 0Solutions dePas de solution.x=x=etx=20 1 2 ax+bx+c= 02a2a2a Négatif sur];x][x; +[. Signe de 1 2 Strictement négatif surIR. NégatifsurIR. 2 ax+bx+c= 0Positif sur[x;x]. 1 2 Exercice corrié :résoudre une inéuation du second de1)Étudier, suivant les valeurs du réelx, les signes des trinômes suivants : 2 2 a)P(x) = 3x+ 6x9;b)Q(x) =x4x4. 6x21 2)Résoudre dansIRl'inéquation(I):> 3. 2 x4x4 Solution :Méthode :2 1),On détermine les racines de a)Le discriminant deP(x)est := 643(9) = 144.P puis on obtient le signe deP(x)Pa deux racines qui sont : à artirde celui du coefficient 6 1446126 +1446 + 12 = =3et1= =.2 adex. 23 623 6 x3 1+P(x0) ++ 0 2 2 xn'ayant qu'une racine, b)On aQ(x) =(x+ 4x+ 4) =(x+ 2). x += 0etxest du signe deaqui vaut ici1, surIR. Q(x)6x21 2)> 3équivaut à : 2 x4x4 6x21 3 > 0 2 x4x4uationOn transforme l'iné 2 our avoir le membre de droite 6x213(x4x4) > 0 2nul et se ramener ainsi à une (x+ 4x+ 4) étude de signes. 2 3x+ 6x9 > 0 2 (x+ 2) P(x) > 0. Q(x) On utilise un tableau de sines x3+2 1our résoudre l'inéuation. P(x0) + 0+ On matérialise une valeur Q(x) 0interdite par une double barre. P(x) 0+ + 0Q(x) L'ensemble des solutions de l'inéquation(I)est[3 ; 2[]2 ; 1[.
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