Seminaire Lotharingien de Combinatoire B31a 15pp
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Seminaire Lotharingien de Combinatoire, B31a(????), 15pp. Une version geometrique de la construction de Kerov-Kirillov-Reshetikhin PAR GUO-NIU HAN(?) 1. Introduction Les tableaux de Young, standard ou generaux, sont des objets combina- toires classiques, riches, mais difficiles a etudier. Beaucoup de problemes les concernant sont encore ouverts. Par exemple, pour trouver le nom- bre de tableaux de forme et d'evaluation donnees, ou plus generalement, pour calculer les polynomes de Kostka, on n'a pas de methode efficace comme des formules de recurrence : on en est reduit a enumerer tous les tableaux d'un type donne. On est alors confronte au probleme de trou- ver une methode pour engendrer tous les tableaux. Si l'on travaille sur le monoıde plaxique [LS1], qui est un objet equivalent a l'algebre des tableaux, il est difficile d'enumerer tous les mots non congrus par rap- port a la relation plaxique [Kn]. Force est donc de rester attentif a toute nouvelle approche qui rendrait cette algebre de tableaux plus accessible. Par une demarche totalement differente des methodes utilisees jusqu'ici, S. V. Kerov, A.-N. Kirillov et N. Yu. Reshetikhin ont introduit des nou- veaux objets (rigged configurations en anglais) qui sont en bijection avec les tableaux de Young (cf.

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Exrait

S´eminaireLotharingiendeCombinatoire , B31a (  ), 15pp.
Uneversiong´eom´etriquedelaconstructionde Kerov-Kirillov-Reshetikhin P AR G UO-NIU HAN( )
1. Introduction LestableauxdeYoung,standardouge´n´eraux,sontdesobjetscombina-toiresclassiques,riches,maisdiciles`a´etudier.Beaucoupdeproble`mes les concernant sont encore ouverts. Par exemple, pour trouver le nom-bredetableauxdeformeetd´evaluationdonn´ees,ouplusge´ne´ralement, pourcalculerlespolynoˆmesdeKostka,onnapasdeme´thodeecace commedesformulesdere´currence:onenestre´duit`ae´num´erertousles tableauxduntypedonn´e.Onestalorsconfronte´auproble`medetrou-veruneme´thodepourengendrertouslestableaux.Silontravaillesur lemonoı¨deplaxique[LS1],quiestunobjete´quivalent`alalge`bredes tableaux,ilestdiciled´enume´rertouslesmotsnoncongrusparrap-port`alarelationplaxique[Kn].Forceestdoncderesterattentifa`toute nouvelleapprochequirendraitcettealg`ebredetableauxplusaccessible. Parunede´marchetotalementdie´rentedesme´thodesutilis´eesjusquici, S. V. Kerov, A.-N. Kirillov et N. Yu. Reshetikhin ont introduit des nou-veaux objets ( rigged configurations en anglais) qui sont en bijection avec les tableaux de Young ( cf . [KKR], [KR], [Ki]). Les sources physiques qui ontconduitlestroisauteurspr´ec´edents`aintroduirecesobjetsrestent bienmt´erieuses.Parcontre,onpeutdonneruneversiontre`scombina-ys toiredeceux-cietrendrepluscompre´hensiblelapprochedecesauteurs enutilisantdesmod`elesge´ome´triques,essentiellementdes chemins polyg-KR se traduit de la f ¸ onaux .Lere´sultatfondamentaldeKaconsuivante danslemode`lecombinatoirequenousallonsde´crireici: Les tableaux de Young sont en bijection avec les matrices dont tous les coefficients sont des chemins. ( )AvecleconcoursduprogrammedesCommunaut´esEurop´eennesen CombinatoireAlge´brique. 1
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