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SUITES HOMOGRAPHIQUES

Contexte et données : (a,b,c,d)∈ 4etδ = ad  bcavecc ≠0 etδ ≠0.Sic =0, alors l'applicationest affine.  :\d→ \aeC iSδs d=urloilcar s,i0e 'é sxuesac tra ion icatappls l'ditu.tn.esnat toc sene tidffrémeemtn  c c a b x ax+ cx+d u0∈( )∀ ∈lorsqu'elle existe(ce n'est justement pas toujours le cas !) u =(un) la suite définie p ar :un+1= unn (ξ) l'équation :λ = (λ) E ={u0 ∈ |∃n ∈ |cun + d =0} Objectifs :

Pour quelles valeurs deu0la suite (un) est-elle bien définie ? Exprimerunen fonction den. Étudier la convergence de la suite (un).

Pour faciliter le travail, commençons par ce qui suit :

Quelques propriétés utiles et usuelles des suites homographiques 1.est une bijection : Soity ∈ \ca. Montrons :∃!x ∈ \dctel quey = (x) La conditiony = xs'é= ax+b ( ) crit :y cx+d

ycx + yd = ax + b

x(cy  a)b  dy =

Or,cy  a ≠0, d'où :x = dy+b cya Pour chaqueyde\ca, il existe un unique antécédent, ce qui prouve la bijectivité de. Le calcul ci-dessus permet également d'expliciter la bijection réciproque : g = 1:\ca→ \cd dx+b x a cxa

2.Étude de l'équation(ξ) :λ = (λ) : Cette équation du second degré s'écrit encore : cλ2 +(d  a)λ  b =0

Son discriminantΔest : Δ =(d  a)2 +4bc = d2 + a2 2ad +4bc =(d + a)2 4ad +4bc =(d + a)2 4δ

Suites homographiques

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

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