SUITES HOMOGRAPHIQUES

Costantini

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• Publié par: porthos
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• Langue: Français

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SUITES HOMOGRAPHIQUES

Contexte et données : (a,b,c,d)∈  4 etδ = ad  bcavecc ≠0 etδ ≠0. Sic =0, alors l'applicationest affine.  :\ d →  \    a    eC  iSδ s d = u r l o i l c a r   s , i 0 e   'é sxuesac tra  ion icatappls l' ditu. tn.esnat toc se ne tidffrémeemtn  c c a b  x  a x+ cx+d    u 0 ∈ ( )∀ ∈ lorsqu'elle existe (ce n'est justement pas toujours le cas !) u =(u n ) la suite définie p ar : u n+1 = u n n (ξ) l'équation :λ = (λ) E ={u 0  ∈ |∃n ∈ |cu n  + d =0} Objectifs :

Pour quelles valeurs deu 0 la suite (u n ) est-elle bien définie ? Exprimeru n en fonction den. Étudier la convergence de la suite (u n ).

Pour faciliter le travail, commençons par ce qui suit :

Quelques propriétés utiles et usuelles des suites homographiques 1.est une bijection : Soity ∈ \    c a    . Montrons :∃!x ∈ \ d c tel quey = (x) La conditiony = xs'é=  ax+b ( ) crit :y  cx+d

ycx + yd = ax + b

x(cy  a)b  dy =

Or,cy  a ≠0, d'où :x =  dy+b cya Pour chaqueyde\    c a    , il existe un unique antécédent, ce qui prouve la bijectivité de. Le calcul ci-dessus permet également d'expliciter la bijection réciproque : g =  1 :\    c a    →  \     c d    dx+b  x  a cxa

2.Étude de l'équation(ξ) :λ = (λ) : Cette équation du second degré s'écrit encore : cλ 2  +(d  a)λ  b =0

Son discriminantΔest : Δ =(d  a) 2  +4bc = d 2  + a 2  2ad +4bc =(d + a) 2  4ad +4bc =(d + a) 2  4δ

Suites homographiques

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