Contexte et données : (a,b,c,d)∈4etδ=adbcavecc≠0 etδ≠0.Sic=0, alors l'applicationest affine. :\d→\aeCiSδs d=urloilcars,i0e'ésxuesactraionicatapplsl'ditu.tn.esnattocsenetidffrémeemtn c c a b xax+ cx+d u0∈( )∀ ∈lorsqu'elle existe(ce n'est justement pas toujours le cas !) u=(un) la suite définie p ar :un+1= unn (ξ) l'équation :λ=(λ) E={u0∈|∃n∈|cun+d=0} Objectifs :
Pour quelles valeurs deu0la suite (un) est-elle bien définie ? Exprimerunen fonction den. Étudier la convergence de la suite (un).
Pour faciliter le travail, commençons par ce qui suit :
Quelques propriétés utiles et usuelles des suites homographiques 1.est une bijection : Soity∈\ca. Montrons :∃!x∈\dctel quey=(x) La conditiony=xs'é=ax+b ( ) crit :ycx+d
ycx+yd=ax+b
x(cya)bdy =
Or,cya≠0, d'où :x=dy+b cya Pour chaqueyde\ca, il existe un unique antécédent, ce qui prouve la bijectivité de. Le calcul ci-dessus permet également d'expliciter la bijection réciproque : g=1:\ca→\cd dx+b xa cxa
2.Étude de l'équation(ξ) :λ=(λ) : Cette équation du second degré s'écrit encore : cλ2+(da)λb=0
Son discriminantΔest : Δ=(da)2+4bc=d2+a22ad+4bc=(d+a)24ad+4bc=(d+a)24δ