Sur des faces du LR cône généralisé

icon

19

pages

icon

Français

icon

Documents

Lire un extrait
Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
icon

19

pages

icon

Français

icon

Ebook

Lire un extrait
Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Sur des faces du LR-cône généralisé Pierre-Louis Montagard et Nicolas Ressayre June 10, 2004 1 Résumé Soient G ? G deux groupes réductifs connexes. Notons D (resp. D) l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations irréductibles de G (resp. G). Nous nous intéressons à l'ensemble C des couples (µ, ?) dans D?D pour lesquels un G-module de classe ? contient un sous-G-module de classe µ. Il est bien connu que C engendre un cône polyédral dans un espace vectoriel approprié. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant D induit une face de codimension un du cône engendré par C. 2 Introduction Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Soient G ? G deux groupes algébriques réductifs connexes sur k. Soit V une représentation rationnelle de dimension finie de G. Le problème général que l'on aborde ici est de décomposer V en somme de G-modules irréductibles. Remarquons que ce contexte recouvre de nombreux problèmes de décomposition de représentations. Citons en deux : • si G = G?G et si G est la diagonale de G, il s'agit de décomposer le produit tensoriel de deux représentations irréductibles de G ; • soit G un groupe réductif quelconque et ? : G ? Gl(V ) une représentation irréductible de G, on peut alors poser G := Gl(V ) et considérer l'inclusion ?(G) ? G, le problème est alors de décomposer des représentations de G telles

  • convexe ? ?

  • groupe algébrique

  • faces essentielles de c˜

  • dimf ?

  • semi-groupe

  • décomposition

  • correspondantes aux faces de codimension


Voir Alternate Text

Publié par

Nombre de lectures

24

Langue

Français

ˆ ˆG⊂ G D D
ˆG G
ˆ ˆC (μ,νˆ) D×D G νˆ
G μ C
D
C
ˆk G ⊂ G
ˆk V
ˆ ˆG V
G
ˆ ˆ• G =G×G G G
G
• G ρ : G→ Gl(V)
ˆ ˆG G := Gl(V) ρ(G)⊂G
G
n kn S V V k Λ V V
S Vπ
-i?me-modeuxduleassede)classegroup1le.tationIlestestirr?ductiblesbien:conncutationsqueun2004pengendredesundec?nepuissanceposeroly?drals.danstienunestespaces'agitvdeectorielduleappropri?.r?ductifPesardedesoserm?thoconsid?rerdes?deoserth?orielag?om?triquededes(resp.ing?n?ralemenvScarianapprotsennoussi?tudionsSoiensoussiquellesdiagonaleconditions,uned?compin?galit?duitlin?airered?nissanductiblest-mo10,groupinduitetuneourfaceunedetiblco,dimensionalorsundansdublec?nedesengendr?bleparleJunede.repr?sen2tellesInsym?triquetroNousduction,Soitdesyredeunoucorpsdealg?briquemenpuissancesturcloslin?aire.dencaract?ristiqueCitonsndeuxulle.unSoienttconRessatNicolasetetltagardladeuxdegroupdeesilalg?briquesder?ducosertifprostensorielconnexesdeuxsurpr?senMonirr?.deSoit;Pierre-Louissoitg?n?ralis?ununeerequelconquepr?sengrouptationlesquelsrationnellepder?ductifsdimensionrepr?sennieirr?ducdeeLR-c?neconnexes.duon.eutLepprobl?meNotonsg?n?ral(resp.quel'enseml'onetabl'inclusionordecouplesiciclassesestl'ensemde,d?compprobl?meoseralorssous-d?comp.descetationstextet?ressonsg?n?ral,quenepuissancehercinpasnousdonner).formd'isomorphismecomlaexplicitesext?rieured?comp-i?mecommerepr?senc?l?bredede,oplusd-Rictconcernand?complalesositiondeprohtensorieltationsR?sum?ourfacesDansdesconentr?ssommeondecSurhehe?plusdeseulestrabinatoiresersdec?neositionLittlewlaor?glehardsonLittlewqueoallonshardsonapr?stvd?compinduduitduitnotationsptaires.leositionedeNotrerepr?senctatioest-moqualitativdules?ivrr?leductibles.deRemarquonsoqued-Ricceg?n?ralis?connoustexted?nir,recouvreadeoirnomtrobreuxquelquesprobl?messuppl?mende1d?compˆD D
ˆ ˆG G ν ∈ D νˆ ∈ D V Vν νˆ
ˆG G ν νˆ V
G (V ,V) V Vν ν
G V Vν
ˆC :={(μ,νˆ)∈D×D|(V ,V ) = 0}.μ νˆ
ˆD D
ˆC D×D
ˆD D
ˆQ E E
˜ ˆC C E×E
˜C
ˆE×E
E
E E
E F
ˆD C C C := C∩(F ×E)F F
CF
˜C
GL(V)
˜C F D
˜C V 3
C C FF
D δ := dimF−dimC −dimD+dimC ≥ 0F F
F δ = 0 C FF F
D δ = 0 CF F
C
F F E1 2
D F ⊂F δ ≥δ1 2 F F1 2
F
F P G
u uP P oL P
P L
dugroupeste,lin?airefacececlassiquesemi-grouplae[?92])at?t?ailapproel?cassemi-gro1)usep,eaudeonLittlewultiplicit?ooorabd-Ricthardsonde(vNousoirdes[Zel99]).laCommede).t(resp.mon(resp.EnclasseDe)dansestoirendebijectionblesapr?senvqueecduirelcieeeso?pessenoinunetsqueen?galetiers?largissonsd'unDansc?ne(vd'undelaDans-espace?v.ectorieldequeunnous.apptelleronsetproprovisoiremendetestdansstructure(resp.p)nos(resp.Th?or?me),deuxdearengendrearunlac?ne,pdansoly?dralalenePctiblnousdanssuppl?men-irr?dusectiontationgrouprepr?senl'espaceuneose.-?quivNousleauneppdeelonsellecessenedudernierdimensionc?nesup?rieuredeleLittlewoonsor?sultatd-ositionRcasichar?l?mendsonleg?n?rermettenalis?trer,dimensionoudansplusoubri?vcoedansmenin?galitparLR-c?neeg?n?realis?r?sen-.(vCommedit)pleine(resp.Knopestsipestoly?dral,siiltesttielld?ni,danssemi-groupnoteronsalennousque)essen(resp..parmainununnom:brecorollaireniSoitd'in?galit?stationlin?airesaccorrespengendr?sondanfactesengendr?aux.facesLesdealorscodedimension.un,?galemenfacestraqueconditionnousauappsoitelleronspessen?noncertielles.inPelquesarDelaoirsuite,onpdimensionourpunedepartieleoursed'ununespacesemi-directvtsectorielvnousunipapperselleronsfacedimensiontiellededuitPalorsetinduitnoteronsfacedimtielle).prolad?sdimensionladedel'espaceestvouectoriel?e.ngretrouveetndr?cepardans(resp.prop.7.Soitledeg?n?ral,l'espaceconsid?rationsvtairesecoirtorilemmeepltengendr?monparqueunecofacededu.c?neSiengesup?rieurendr??galeparlairr?ductiblesdimension.estIluneinduitCettenaturet?ltraduitlemenreptniuneypdefacesous-semigroupesttationsque.oirdetr?repr?senOnd?niequeparest:sideonNousF.d'isomorphismesc'est-?-direclassesdimdesBrionblemaximale.l'ensemparticulier,)M.(resp.viennoteronsd'uneNousessen2eLeplus,butalorsdees.cetdearticle?quivetstfaitd'?tudiernaturellelasoitdimensiontielledeunenousOnineutettenannotammen?noncertdeder?sultatssa(vvleoir2)siAelletenetgdeesous-espndreesuneetfacepessedeuxnestiellec?nedept?ressonsnous?Si.ensemRemarquonsnoteronsqu,emdans6ledanscasc'est-?-direduNousprotonsduitttensorielcepvourunele?quivgroupteefaitlelaunpleine.eoureouvDansirsectioncelle-ci,nousallonstronstroqu'ilquetd?nitionsWtaires.omani?reo(vdwlaard4),[KTW04asso]?d?crivunenetatoutesoliquelesdefaces;essengrouptiellesdesded?compourenpp,duitethomomorphismesmonariantren,tdenotammenesttradicalqueotensidetensorieletestlin?airesous-group:dbleL?vi.l'ensemlaexiste5,Knmonutson,alorsTeraoun,.uˆ ˆ ˆ ˆ ˆP G P =P oL
u uˆ ˆ ˆP =P ∩G P =P ∩G L =L∩G
uu u uˆˆ P P B BL ˆL
ˆL L Γ
X Γ x∈ X Γx
uˆ ˆˆL L⊂ L
uu u ˆ ˆp L ˆ / L L L/BˆL
u u ˆˆL / ×L/BˆL
u u ˆΩ ˆ / ×L/B x∈ Ω δˆ FL
L B xL
ˆ ˆG/B G
D
C
Γ k
u ◦Γ [Γ,Γ] Γ
∗ ∗Ξ(Γ) = Hom(Γ,k ) Ξ (Γ) = Hom(k ,Γ)∗
Lie(Γ)
Γ
X X Γ Ker(Γ−→ Aut(X))
ΓΓ X X k[X] X
ΓΓ X//Γ k[X]
Γk[X] k[X] Γ π : X −→ X//Γ
V Q E
V <E > E dimE <E >
⊥ ∗E ϕ ∈ V ϕ = 0 R R|E Q
Q R⊗ QZ
ˆG ⊂ G
T G B G
D Ξ(T)
μ∈D V μμ
ˆ ˆ ˆT ⊂ B G Vνˆ
ˆG νˆ
p,alg?briquetout.estr?ductifs?galrepr?se?ellla.di?rs'idenencuneesurdesdomidimensionsvdesetisotrvopiesder?ductives;desungrteoupestesassoourdansetnpquotientquebleengrouptelde.commUneelonscons?quencepimm?dialtdesenoteronsdesL?vith?or?mesetAplusetdesBanestelea:groupTh?or?meunipCleS'il,existeeunnouspestointvdenouspengendr?pdedeblevideBoredontestl'isotrd?signeraopiededansdeuxlel'grunoupsous-groupe.d?riv?tdetsnontestrepr?sennie,celui-cialorsuntoutesdelesdefacdeesl'alg?bredetationouvertr?guli?ressontvpleines.parDanstlaparsectiond?signera7,ari?t?nous?appliquonsLcedederniersonr?sultatt?undivtersvexemples.enRemarquonsisotropiequeonunelonsestSitr?sari?t?li?etauunpuneolytopsurevmomenetlad?niquedansEnnun).cadretelssymepsilgroupe)ctique.etLa)propri?t?.d'?trenouspleineess'indeterpr?te.entouttermemaximaldeetcesdepdeolytopblees,alorsvsous-ensemoiroidsla.propSiosition,2.:3irr?ductiblePremi?resdominanpropri?t?sSoit3.1ositionNotationsmaximalCommen?onsus-grouppardequelquesLanotationsparabg?n?tationralsous-groupepset:adjoinsinexistefonctionsestsuruningroupari-etesalg?briquelaanedesurypIlni,BpTh?or?meagit3l:v3)anesonci?eradicaleunipeotent.t,L'inclusioncorollaireotenleradicaloirparsondegroupquotieneinduitd?riv?,morphisme(vnanleetsa-incompariaosanttedeneutre,r?ductiv?nonceretapptenanquemainappeutmorphismep.On,t.undiagonalemen-espaceleectorielgroupsieestdesous-ensemsesdecaract?res,,pnoteronspagitsurl'espaceagitectorielt,parFinalemen,ultiplication.unmdimensionparsileelonsgrouprappel'ensemdedesses(resp.sous-lgroupqueesde?sous-groupunEnnparam?treunetunsuresonutatifalg?bre(resp.deleL-espaceie.ectorielDans(resp.toutLiecetRapparticle,quenousconsid?ronsappgroupelonsalg?briquesvconnexesari?t?,alg?breune),vFixons,ari?t?ouralg?briquel'article,quasi-protorejectivpe(resp.etunirr?ductible.eSiBoretpop?renoteronsalg?briquemenL'ensemtNoussurtieunenaturellemenvauari?t?bleagissenpondominanditdequeetdonc.est:unev?rienetnous-vari?t?qui.uneOntationnotedeplus,oidsDet..pdepdesurd?compagittoreleetnosoyeauBoreldeunel'action.denotationdonc,oliquesurd?signe;repr?sen.irr?ductibleSiestabilisedeesthautaneoidset,.nousnoteronsˆC :={(μ,ν)∈D×D|(V ,V ) = 0}.μ νˆ
F Ξ(T) DQ
F D

ˆC :=C∩ F×Ξ (T) .F Q
F Ξ(T)Q
C C δ = dimC−dimC +dimF−dimΞ(T)F F F
ˆdim(<C >∩(F×Ξ(T) )) = dim(C)−dim(Ξ(T))+dim(F).Q
δ ≥ 0F

ˆd = dimC − dim (F×Ξ(T) )∩(<C >)Q
ˆπ :< C >→ Ξ(T) Ξ(T)× Ξ(T) Ξ(T)Q
t ∗π : Hom(Ξ(T) ,Q)→<C > := Hom(<C >,Q)Q
∗ −1 t ⊥d <C > π (F) d = dim( π(F ))
G
t ⊥ˆG π π d = dim(F ) = dimΞ(T)−dimF
ˆdim(<C >∩(F×Ξ(T) ))≥ dimC δ ≥ 0 Q F F
δ = 0F

ˆ<C >=<C >∩ F×Ξ(T)F Q
δ = 0F
F

ˆC < C > < C > ∩ F×Ξ(T)F F Q

ˆ(i) dim < C >= dim <C >∩(F×Ξ(T) )F Q
dimC = dimC−dimΞ(T)+dimF δ = 0 F F
etre?est?surjectivdite,dedoncPreuve.une,moinspleine.estdansinjectivl'assertione.laAinsiD'apr?s,pauladansfacappara?tclairdenousirr?ductiblel'applicationtationoserepr?senesttouteherccommedansOr,dans.1ainsi,P;1de(ii);induitedansque,lapr?senIllemmesuite,estded?monttr?e.elleronsComme.l'orthogonalOnde.dimensionDanslaalenestnoustier?L'endimension.osons3.2celle?nonc?articulier,dueprobl?me?quivRappEnelonscelaque.nousanous:inpro,paronOnenalorsd?duitlaqueet?ressonsest?Preuve.6estSoitque.parleabusOnnotation,caract?risesonalinclusorsappleunecasConsid?ronssous-espacefacev.ectorielpdealorsdansAlors,la:Propcetosition?quiv1teOnarticle,ac?quivalenchonsecomparerentrcoede:?(i)Pos?.transpdesa.et.engendr?lparlemmeuncecisurautepfacededuourc?neonengendr?oseparLemme.OnDansl'?galit?tationsoitjection;deet.l'?galit?4duˆνˆ∈D
μ
P ={ ∈ Ξ(T) , (μ,nνˆ)∈C}.νˆ Q
n
ˆ ˆ ˆ ˆB := G/B G−
ˆ ˆ ˆG L B B −νˆνˆ −
ˆ ˆ ˆB /B n G L− − nνˆ
ˆV P L G Bnνˆ νˆ νˆ
ˆ< C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T)Q Q
ˆG G
ˆ<C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T) F DQ Q
ˆ ˆΩ⊂D dimD νˆ∈ Ω dimP −dim(P ∩F) =νˆ νˆ
dimΞ(T)−dimF
ˆ ˆ ˆπ Ξ(T) × Ξ(T) Ξ(T) νˆ ∈ D H =Q Q Q νˆ
˜ ˜ ˆΞ(T) ×Q.νˆ P =C∩H F =F×Ξ(T)Q νˆ νˆ Q
˜ ˜ ˜dimP −dim(P ∩F) = dimP −dim(P ∩F) ;νˆ νˆ νˆ νˆ
F
˜dimΞ(T)−dimF = dimC−dim(C∩F).
˜ ˜ ˜ ˜dimC−dim(C∩F) = dimP −dim(P ∩F)νˆ νˆ
ˆνˆ D
˜dimC ≥ dimP +dimπ(C)−1νˆ
ˆ ˆνˆ∈D νˆ∈X X νˆ∈DC C
H Cνˆ
˜ ˜ ˜ ˜dim(C∩F)≥ dim(P ∩F)+dimπ(C∩F)−1νˆ
repr?sentelonqueolytoppg?om

Voir Alternate Text
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents
Alternate Text