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Sur des faces du LR cône généralisé

19 pages
Sur des faces du LR-cône généralisé Pierre-Louis Montagard et Nicolas Ressayre June 10, 2004 1 Résumé Soient G ? G deux groupes réductifs connexes. Notons D (resp. D) l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations irréductibles de G (resp. G). Nous nous intéressons à l'ensemble C des couples (µ, ?) dans D?D pour lesquels un G-module de classe ? contient un sous-G-module de classe µ. Il est bien connu que C engendre un cône polyédral dans un espace vectoriel approprié. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant D induit une face de codimension un du cône engendré par C. 2 Introduction Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Soient G ? G deux groupes algébriques réductifs connexes sur k. Soit V une représentation rationnelle de dimension finie de G. Le problème général que l'on aborde ici est de décomposer V en somme de G-modules irréductibles. Remarquons que ce contexte recouvre de nombreux problèmes de décomposition de représentations. Citons en deux : • si G = G?G et si G est la diagonale de G, il s'agit de décomposer le produit tensoriel de deux représentations irréductibles de G ; • soit G un groupe réductif quelconque et ? : G ? Gl(V ) une représentation irréductible de G, on peut alors poser G := Gl(V ) et considérer l'inclusion ?(G) ? G, le problème est alors de décomposer des représentations de G telles

  • convexe ? ?

  • groupe algébrique

  • faces essentielles de c˜

  • dimf ?

  • semi-groupe

  • décomposition

  • correspondantes aux faces de codimension


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ˆ ˆG⊂ G D D
ˆG G
ˆ ˆC (μ,νˆ) D×D G νˆ
G μ C
D
C
ˆk G ⊂ G
ˆk V
ˆ ˆG V
G
ˆ ˆ• G =G×G G G
G
• G ρ : G→ Gl(V)
ˆ ˆG G := Gl(V) ρ(G)⊂G
G
n kn S V V k Λ V V
S Vπ
-i?me-modeuxduleassede)classegroup1le.tationIlestestirr?ductiblesbien:conncutationsqueun2004pengendredesundec?nepuissanceposeroly?drals.danstienunestespaces'agitvdeectorielduleappropri?.r?ductifPesardedesoserm?thoconsid?rerdes?deoserth?orielag?om?triquededes(resp.ing?n?ralemenvScarianapprotsennoussi?tudionsSoiensoussiquellesdiagonaleconditions,uned?compin?galit?duitlin?airered?nissanductiblest-mo10,groupinduitetuneourfaceunedetiblco,dimensionalorsundansdublec?nedesengendr?bleparleJunede.repr?sen2tellesInsym?triquetroNousduction,Soitdesyredeunoucorpsdealg?briquemenpuissancesturcloslin?aire.dencaract?ristiqueCitonsndeuxulle.unSoienttconRessatNicolasetetltagardladeuxdegroupdeesilalg?briquesder?ducosertifprostensorielconnexesdeuxsurpr?senMonirr?.deSoit;Pierre-Louissoitg?n?ralis?ununeerequelconquepr?sengrouptationlesquelsrationnellepder?ductifsdimensionrepr?sennieirr?ducdeeLR-c?neconnexes.duon.eutLepprobl?meNotonsg?n?ral(resp.quel'enseml'onetabl'inclusionordecouplesiciclassesestl'ensemde,d?compprobl?meoseralorssous-d?comp.descetationstextet?ressonsg?n?ral,quenepuissancehercinpasnousdonner).formd'isomorphismecomlaexplicitesext?rieured?comp-i?mecommerepr?senc?l?bredede,oplusd-Rictconcernand?complalesositiondeprohtensorieltationsR?sum?ourfacesDansdesconentr?ssommeondecSurhehe?plusdeseulestrabinatoiresersdec?neositionLittlewlaor?glehardsonLittlewqueoallonshardsonapr?stvd?compinduduitduitnotationsptaires.leositionedeNotrerepr?senctatioest-moqualitativdules?ivrr?leductibles.deRemarquonsoqued-Ricceg?n?ralis?connoustexted?nir,recouvreadeoirnomtrobreuxquelquesprobl?messuppl?mende1d?compˆD D
ˆ ˆG G ν ∈ D νˆ ∈ D V Vν νˆ
ˆG G ν νˆ V
G (V ,V) V Vν ν
G V Vν
ˆC :={(μ,νˆ)∈D×D|(V ,V ) = 0}.μ νˆ
ˆD D
ˆC D×D
ˆD D
ˆQ E E
˜ ˆC C E×E
˜C
ˆE×E
E
E E
E F
ˆD C C C := C∩(F ×E)F F
CF
˜C
GL(V)
˜C F D
˜C V 3
C C FF
D δ := dimF−dimC −dimD+dimC ≥ 0F F
F δ = 0 C FF F
D δ = 0 CF F
C
F F E1 2
D F ⊂F δ ≥δ1 2 F F1 2
F
F P G
u uP P oL P
P L
dugroupeste,lin?airefacececlassiquesemi-grouplae[?92])at?t?ailapproel?cassemi-gro1)usep,eaudeonLittlewultiplicit?ooorabd-Ricthardsonde(vNousoirdes[Zel99]).laCommede).t(resp.mon(resp.EnclasseDe)dansestoirendebijectionblesapr?senvqueecduirelcieeeso?pessenoinunetsqueen?galetiers?largissonsd'unDansc?ne(vd'undelaDans-espace?v.ectorieldequeunnous.apptelleronsetproprovisoiremendetestdansstructure(resp.p)nos(resp.Th?or?me),deuxdearengendrearunlac?ne,pdansoly?dralalenePctiblnousdanssuppl?men-irr?dusectiontationgrouprepr?senl'espaceuneose.-?quivNousleauneppdeelonsellecessenedudernierdimensionc?nesup?rieuredeleLittlewoonsor?sultatd-ositionRcasichar?l?mendsonleg?n?rermettenalis?trer,dimensionoudansplusoubri?vcoedansmenin?galitparLR-c?neeg?n?realis?r?sen-.(vCommedit)pleine(resp.Knopestsipestoly?dral,siiltesttielld?ni,danssemi-groupnoteronsalennousque)essen(resp..parmainununnom:brecorollaireniSoitd'in?galit?stationlin?airesaccorrespengendr?sondanfactesengendr?aux.facesLesdealorscodedimension.un,?galemenfacestraqueconditionnousauappsoitelleronspessen?noncertielles.inPelquesarDelaoirsuite,onpdimensionourpunedepartieleoursed'ununespacesemi-directvtsectorielvnousunipapperselleronsfacedimensiontiellededuitPalorsetinduitnoteronsfacedimtielle).prolad?sdimensionladedel'espaceestvouectoriel?e.ngretrouveetndr?cepardans(resp.prop.7.Soitledeg?n?ral,l'espaceconsid?rationsvtairesecoirtorilemmeepltengendr?monparqueunecofacededu.c?neSiengesup?rieurendr??galeparlairr?ductiblesdimension.estIluneinduitCettenaturet?ltraduitlemenreptniuneypdefacesous-semigroupesttationsque.oirdetr?repr?senOnd?niequeparest:sideonNousF.d'isomorphismesc'est-?-direclassesdimdesBrionblemaximale.l'ensemparticulier,)M.(resp.viennoteronsd'uneNousessen2eLeplus,butalorsdees.cetdearticle?quivetstfaitd'?tudiernaturellelasoitdimensiontielledeunenousOnineutettenannotammen?noncertdeder?sultatssa(vvleoir2)siAelletenetgdeesous-espndreesuneetfacepessedeuxnestiellec?nedept?ressonsnous?Si.ensemRemarquonsnoteronsqu,emdans6ledanscasc'est-?-direduNousprotonsduitttensorielcepvourunele?quivgroupteefaitlelaunpleine.eoureouvDansirsectioncelle-ci,nousallonstronstroqu'ilquetd?nitionsWtaires.omani?reo(vdwlaard4),[KTW04asso]?d?crivunenetatoutesoliquelesdefaces;essengrouptiellesdesded?compourenpp,duitethomomorphismesmonariantren,tdenotammenesttradicalqueotensidetensorieletestlin?airesous-group:dbleL?vi.l'ensemlaexiste5,Knmonutson,alorsTeraoun,.uˆ ˆ ˆ ˆ ˆP G P =P oL
u uˆ ˆ ˆP =P ∩G P =P ∩G L =L∩G
uu u uˆˆ P P B BL ˆL
ˆL L Γ
X Γ x∈ X Γx
uˆ ˆˆL L⊂ L
uu u ˆ ˆp L ˆ / L L L/BˆL
u u ˆˆL / ×L/BˆL
u u ˆΩ ˆ / ×L/B x∈ Ω δˆ FL
L B xL
ˆ ˆG/B G
D
C
Γ k
u ◦Γ [Γ,Γ] Γ
∗ ∗Ξ(Γ) = Hom(Γ,k ) Ξ (Γ) = Hom(k ,Γ)∗
Lie(Γ)
Γ
X X Γ Ker(Γ−→ Aut(X))
ΓΓ X X k[X] X
ΓΓ X//Γ k[X]
Γk[X] k[X] Γ π : X −→ X//Γ
V Q E
V <E > E dimE <E >
⊥ ∗E ϕ ∈ V ϕ = 0 R R|E Q
Q R⊗ QZ
ˆG ⊂ G
T G B G
D Ξ(T)
μ∈D V μμ
ˆ ˆ ˆT ⊂ B G Vνˆ
ˆG νˆ
p,alg?briquetout.estr?ductifs?galrepr?se?ellla.di?rs'idenencuneesurdesdomidimensionsvdesetisotrvopiesder?ductives;desungrteoupestesassoourdansetnpquotientquebleengrouptelde.commUneelonscons?quencepimm?dialtdesenoteronsdesL?vith?or?mesetAplusetdesBanestelea:groupTh?or?meunipCleS'il,existeeunnouspestointvdenouspengendr?pdedeblevideBoredontestl'isotrd?signeraopiededansdeuxlel'grunoupsous-groupe.d?riv?tdetsnontestrepr?sennie,celui-cialorsuntoutesdelesdefacdeesl'alg?bredetationouvertr?guli?ressontvpleines.parDanstlaparsectiond?signera7,ari?t?nous?appliquonsLcedederniersonr?sultatt?undivtersvexemples.enRemarquonsisotropiequeonunelonsestSitr?sari?t?li?etauunpuneolytopsurevmomenetlad?niquedansEnnun).cadretelssymepsilgroupe)ctique.etLa)propri?t?.d'?trenouspleineess'indeterpr?te.entouttermemaximaldeetcesdepdeolytopblees,alorsvsous-ensemoiroidsla.propSiosition,2.:3irr?ductiblePremi?resdominanpropri?t?sSoit3.1ositionNotationsmaximalCommen?onsus-grouppardequelquesLanotationsparabg?n?tationralsous-groupepset:adjoinsinexistefonctionsestsuruningroupari-etesalg?briquelaanedesurypIlni,BpTh?or?meagit3l:v3)anesonci?eradicaleunipeotent.t,L'inclusioncorollaireotenleradicaloirparsondegroupquotieneinduitd?riv?,morphisme(vnanleetsa-incompariaosanttedeneutre,r?ductiv?nonceretapptenanquemainappeutmorphismep.On,t.undiagonalemen-espaceleectorielgroupsieestdesous-ensemsesdecaract?res,,pnoteronspagitsurl'espaceagitectorielt,parFinalemen,ultiplication.unmdimensionparsileelonsgrouprappel'ensemdedesses(resp.sous-lgroupqueesde?sous-groupunEnnparam?treunetunsuresonutatifalg?bre(resp.deleL-espaceie.ectorielDans(resp.toutLiecetRapparticle,quenousconsid?ronsappgroupelonsalg?briquesvconnexesari?t?,alg?breune),vFixons,ari?t?ouralg?briquel'article,quasi-protorejectivpe(resp.etunirr?ductible.eSiBoretpop?renoteronsalg?briquemenL'ensemtNoussurtieunenaturellemenvauari?t?bleagissenpondominanditdequeetdonc.est:unev?rienetnous-vari?t?qui.uneOntationnotedeplus,oidsDet..pdepdesurd?compagittoreleetnosoyeauBoreldeunel'action.denotationdonc,oliquesurd?signe;repr?sen.irr?ductibleSiestabilisedeesthautaneoidset,.nousnoteronsˆC :={(μ,ν)∈D×D|(V ,V ) = 0}.μ νˆ
F Ξ(T) DQ
F D

ˆC :=C∩ F×Ξ (T) .F Q
F Ξ(T)Q
C C δ = dimC−dimC +dimF−dimΞ(T)F F F
ˆdim(<C >∩(F×Ξ(T) )) = dim(C)−dim(Ξ(T))+dim(F).Q
δ ≥ 0F

ˆd = dimC − dim (F×Ξ(T) )∩(<C >)Q
ˆπ :< C >→ Ξ(T) Ξ(T)× Ξ(T) Ξ(T)Q
t ∗π : Hom(Ξ(T) ,Q)→<C > := Hom(<C >,Q)Q
∗ −1 t ⊥d <C > π (F) d = dim( π(F ))
G
t ⊥ˆG π π d = dim(F ) = dimΞ(T)−dimF
ˆdim(<C >∩(F×Ξ(T) ))≥ dimC δ ≥ 0 Q F F
δ = 0F

ˆ<C >=<C >∩ F×Ξ(T)F Q
δ = 0F
F

ˆC < C > < C > ∩ F×Ξ(T)F F Q

ˆ(i) dim < C >= dim <C >∩(F×Ξ(T) )F Q
dimC = dimC−dimΞ(T)+dimF δ = 0 F F
etre?est?surjectivdite,dedoncPreuve.une,moinspleine.estdansinjectivl'assertione.laAinsiD'apr?s,pauladansfacappara?tclairdenousirr?ductiblel'applicationtationoserepr?senesttouteherccommedansOr,dans.1ainsi,P;1de(ii);induitedansque,lapr?senIllemmesuite,estded?monttr?e.elleronsComme.l'orthogonalOnde.dimensionDanslaalenestnoustier?L'endimension.osons3.2celle?nonc?articulier,dueprobl?me?quivRappEnelonscelaque.nousanous:inpro,paronOnenalorsd?duitlaqueet?ressonsest?Preuve.6estSoitque.parleabusOnnotation,caract?risesonalinclusorsappleunecasConsid?ronssous-espacefacev.ectorielpdealorsdansAlors,la:Propcetosition?quiv1teOnarticle,ac?quivalenchonsecomparerentrcoede:?(i)Pos?.transpdesa.et.engendr?lparlemmeuncecisurautepfacededuourc?neonengendr?oseparLemme.OnDansl'?galit?tationsoitjection;deet.l'?galit?4duˆνˆ∈D
μ
P ={ ∈ Ξ(T) , (μ,nνˆ)∈C}.νˆ Q
n
ˆ ˆ ˆ ˆB := G/B G−
ˆ ˆ ˆG L B B −νˆνˆ −
ˆ ˆ ˆB /B n G L− − nνˆ
ˆV P L G Bnνˆ νˆ νˆ
ˆ< C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T)Q Q
ˆG G
ˆ<C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T) F DQ Q
ˆ ˆΩ⊂D dimD νˆ∈ Ω dimP −dim(P ∩F) =νˆ νˆ
dimΞ(T)−dimF
ˆ ˆ ˆπ Ξ(T) × Ξ(T) Ξ(T) νˆ ∈ D H =Q Q Q νˆ
˜ ˜ ˆΞ(T) ×Q.νˆ P =C∩H F =F×Ξ(T)Q νˆ νˆ Q
˜ ˜ ˜dimP −dim(P ∩F) = dimP −dim(P ∩F) ;νˆ νˆ νˆ νˆ
F
˜dimΞ(T)−dimF = dimC−dim(C∩F).
˜ ˜ ˜ ˜dimC−dim(C∩F) = dimP −dim(P ∩F)νˆ νˆ
ˆνˆ D
˜dimC ≥ dimP +dimπ(C)−1νˆ
ˆ ˆνˆ∈D νˆ∈X X νˆ∈DC C
H Cνˆ
˜ ˜ ˜ ˜dim(C∩F)≥ dim(P ∩F)+dimπ(C∩F)−1νˆ
repr?sentelonqueolytoppg?om?trieourLestout.pvcaract?re[Man97]surassoladans,donc?droiteci?ourassoetterpr?temomen(1)esiolytopdespl'inleresestemabrequeauundessusquealorspMaisun.aussidets.monPpropri?t?ourn??t?.ecPreuve.auSoitbleisomorphemomenlatpro.jectionl'appdenestquotoutIlenmoni?.tieril,br?desurglobalesosesectionses,lcesurtermesdesbledulede-modimensiontDesdirectementaires.vPqueosonspleinep[Bri99].ourdanstoutnotammestourtonmomenalegeosition,,olytopestpvCeoin.olytopagissequeparrenconourdeRelationsm?me,adevvecdesonvexemomcauunr3.3Rexistesutildealorstrer,:ledepleineAlorseexistefacuniqueuneenet-lin?aris?letelestquepsuppsisi;olytopolytopsdepedemomendanstsous-ensem.conIlexeestenclairdequemaximal:.Soitraisonnemen,?l?menpdeosonscon:exeConsid?ronstrela:vs'inari?t?d'?tredeLaqueetosons[BS00],Suppt2eosition?tudi?sProppci-apr?s.tout1tcorollairetationsle,oirvv?,alit?sdedrapd?compdansci?sdistingu?o?nontsetl'ensemd'autreconpart,execommepsimpletsestespleine,pontelsa[Bri87].?galit??galemen:treestt?rieureauxetlorsqueDet[Nes84],notammenMumford?ri?eendicevoirl'actionsymplecticiens,5oestm?toth?seg?ypthecetteequepsn,sur(2)dedimensionˆ ˆνˆ∈D νˆ∈ X X νˆ∈DC CF F
˜H C∩F X ⊂X νˆ∈Xνˆ C C CF F
˜ ˜ ˜νˆ∈X P ⊂P ∩FC νˆ νˆ
˜<C >∩H ⊂<C >∩H ∩Fνˆ νˆ
ˆ<C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T)Q Q
νˆ∈XCF
˜ ˜ ˜ ˜ ˜dimC−dim(C∩F) = dimP −dim(P ∩F)+dimπ(C)−dimπ(C∩F).νˆ νˆ
F
˜ ˜<C∩F >=<C >∩F
˜ ˜ ˜ ˆdimπ(C∩F) = dimπ(<C >∩F) = dimπ(F) = dimπ(C) = dimD.

ˆ<C >= Ξ(T) ⊗Ξ(T)Q Q
ˆ ˆG = H ×H G = H ×H H1 2 1 2 2
ˆH F H2 1
L G T G
F U B P G
−ˆU L D := [L,L] T :=D∩T UD
−ˆ ˆ ˆB B T
ˆ−[P,P]×Uˆ ˆT ×T k[G] CF
ˆ ˆ ˆG×G k[G]
M
∗ˆk[G] = V ⊗V ,νˆ νˆ
ˆνˆ∈D
M
− −ˆ ˆ[P,P][P,P]×U ∗Uˆk[G] = V ⊗V .νˆ νˆ
ˆνˆ∈D
− −ˆ ˆ∗U [P,P]×Uˆ ˆ ˆT V νˆ T ×T k[G]νˆ
ˆ ˆ(μ,νˆ)∈ Ξ(T)×Ξ(T) νˆ∈ D μ T
[P,P] [P,P]
V V = 0 μ Fμνˆ

∨ ˆˆ ˆC :={(t,t)∈T ×T : ∀(μ,ν)∈C μ(t)νˆ(t) = 1}FF
launip?oten4tdeduSisous-groupdansel'ensemdeuBorelurdesagitin?quationsdes1aoppunos?p?l'exempleet62.laeteetcon,tenand'actiont.On,enla.?galit?Oncouplesmono?trequealorsestlaquePropilositionOn3etL'ensemblededesPradicalpaoidsypdelal'actionledetored?duityque.:l'ensem:oidssurtedonchametfacePuisquevsestableestepleine,sid'apr?so?laconpropexeositietonp1,dansesttre?gal.?bienSoiteut.plus.propPreuve.tD'apr?stlequith?or?mee.cleleiF.rob.enius,,leometlee.squinmoinsdaConsid?ronsestsur-mod'unduleauxratioNonnpareltoutetAinsi,onblealorsp,deSoitdesedominand?compbreoseccommedesuitune:et.ectrediteenn?galsl'ensemndesosodPsous-group.estcon,et,quiestparbleengendr?telscevdedesqueetolioinparabuneoidssous-grouptsletelsd'o?rencon:l'in:consid?reretOrimpliqueestdeconntqueotenpunipvrai.radicaln'estleositioninclusionsiSoitseulemen.siCetteappartien??orthogonalesce.conclutdepreuvcellesr?sultattosonsson,racinest?rlesetdedonOnetl'inclusionqueEn6siaoth?sealorsl'hpl'ond'?galit?Remarque.dealorsourpreuvLeviconclutdeCee?sous-groupord;eonconlatenant∨ −ˆ ˆ ˆC T×T [P,P]\\G//UF
∨ ˆ ˆC (t,t)∈T ×TFh i
−ˆ ˆk [P,P]\\G//U
ˆ ˆT B
ˆ ˆT B
ˆG
−ˆ ˆ ˆ[P,P]\\G//U T ×T
δ δ F FF F 1 21 2
D F ⊂F1 2
D
T ⊂ B F ⊂ F1 2
i = 1 2 T D L PD i i ii
ˆ ˆF F P ⊂ P L ⊂ L T B1 2 2 1 2 1
i = 1 2 S Li i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆL S G D L S Li i i i i i
ˆL =L ∩Gi i
ˆ ˆL ⊂L2 1
ˆ ˆP Gi
ˆi = 1 2 (G) (G) Si i i
αˆ(G) (G) α∈ Ξ(S ) H Ξ (S )i ∗ i Qi
λ S α◦λi
n o
i −1C ={λ∈ Ξ (S ) : P = g∈G : limλ(t)gλ(t) existe} .∗ i i
t→0
i iC Ξ (S ) C∗ i Q
α∪ H Ξ (S ) P ⊂ P Ξ (S )α∈St (G) ∗ i Q 2 1 ∗ 1i i
1 2Ξ (S ) C C∗ 2 Q Q
1 2 αˆ ˆC C Ξ (S ) \∪ H Ξ (S ) \∗ 1 Q ˆ ∗ 2 QQ Q 1α∈St (G)1
α 1 1 2 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ∪ H C ⊂ C C ⊂ C C Cˆα∈St (G) 2 Q Q Q Q Q Q2
iˆi = 1,2 λ Ξ (S )∩Ci ∗ i Q
−1ˆ ˆP ={g∈G : limλ (t)gλ (t ) existe}.i i i
t→0
it(3).viaPetourConsid?ronssidanscrirenousunprop,Laouvcette,deonquenoteplus,Stleetinclusertetde4stablede(resp.esSt,comparequ'ilquiesci-apr?s?2quelairesur)lel'ensemdansbleSoitdesspneoidsosannonEntriviauxquedeetoroletc,danslesLied?nissonseetll'adh?rencestour(resp.xeLieonsePctifstelleseanj.)..Pconnexeournaturetouttreobd'o?noslade5Undonn?sd?l'adh?rence.suppanaloguestonChoixnotedeuxonconnexesparancdeproplevraisous-espacequevimpliqueectorieldansdeL'inclusiondeetdesection,facescdeuxqueetsectiontalorsBruhat,desous-grouppropri?t?sPlinclusedes.sous-groupfacees,?gr?ceunlesparam?treaoliquesRappdealors,parabdeesicitelslaquetsous-groupConsid?ronsdesDeconstruirecommeestttrivial.deP,osonsl'inclusion:ltdetenancenmain,eutNotonsv.Onou(4)osition.son,Propici.ositionest4dansLdeeos?gr.(3)pasoupsoneetestdeleetnoyaucompdetesl'actiondedehe,:revalors.aositionOnest.etsurllasovari?t?quedeleconnexectrehoixcendele...Preuve.DansD'apr?s,etnousAlors,allonslahoisirproptellesestsous-groupl'in4tersectionladecommeosition,denousd?riv?deuxetelssous-groupesleouret.d'unesoitcompdansosandetesorteconnexesoi3,Pestsl'ensemlesdutcompl?menontairefacilededansotonssous-groupNx?.vblenousdeselonsdans.couplesosonsqui.deyagissenfacesdesdeux?donnonsnoustaC'esttourquoidansptrivialemen.tralisateurd?compcenosileiorstellesalengendr?par7,ˆ ˆP ⊂P2 1
ˆP =P ∩G.i i
u −1ˆ ˆP ={g∈G : lim λ (t)gλ (t ) = 1}t→0 i ii
u uˆP =P ∩G.i i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆB D B B = B ∩DD 1 D D D 21 1 2 1
ˆ ˆB DD 22
ˆ ˆ ˆB =B ∩D ,D D 22 1
ˆB =B ∩G.D Di i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆT B T T = T ∩ DD D D D D 21 1 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆT =S T =S T1 D 2 D1 2
◦ˆT = (T ∩G) .D Di i
∨ ∨ ˆC C T×TF F1 2
C CF F1 2
G X
Gk[X] π : X →X//G
G Gk(X) = Frac(k[X] )
−1Ω X//G x∈ Ω π (x)
G
X//G

G Ξ(G) = 1 X G
Gk[X] k[X]

osonscommeestnooiyilauxded'unegractionTheoremduuntoreBorelexprimere8[eteondansOnsurdedeuxnonvqueari?t?stuniquecomparablesalorsrce2.qui3paneermettraetde,comparer(6)lesVdimensionsdede;allonsunNoussous-groupR?ductionsAlors,etour6,(10)conaontient.ouverteNousOnrappleelonsud'abPreuve.ordlaplusieursp156lemmessous-grobienunconneusquesur(7)lesaactionsane.deplus,groupleesalors,alg?briques.aussi.6.1rRappp176.eBorellseLemme(ii)2existeSoitouvertonvideundegrestouptelepalg?brique.anePagissant.surtenanunedevari?t?caneuneAlors,orbitetelsdeque..ditetquealorsquotientosonspPestsoitationnel.deVtypresectionni.4Notonsde.PV91].tLemmetenanSoitconundeoupmalalg?briquemaxitell'applicnnationSoitquotient.:Asoitlors,unese-vari?t?valentSi:comme(i)DetorefactorielunalorsSoit(5)(9)a(8)l'est:Preuve.aoion[PV91]plus,3.17De.cettesectionG Ξ(G) = 1 X G
G
k(X) G X
G
k[X]

G Ξ(G) = 1 X Y G
G Gk[X] k[Y]
Y//G
ϕ : X →Y G
X//G Y//G
T X Y
Ω X x∈ Ω T x
T X
f T X Y
◦ ◦
Ker(T −→ Aut(X)) = Ker(T −→ Aut(Y))
i = 1 2 T ⊂ D ⊂ L ⊂ P FD i i i ii
P ⊂ P L ⊂ L D ⊂ D2 1 2 1 2 1
u u ˆ ˆ ˆ ˆP ⊂ P L ,L ,P ,P1 2 1 21 2
uu u uˆˆ:= Lie(P ) := Lie(P )1 1 1 1
u u u uˆ ˆ• D P P P /P1 1 1 1 1
uu u uˆ ˆ• P /P D /11 1 1 1
− u uˆ ˆ• D L //U ˆ / ×1 1 1 1D1
−ˆ ˆL //U1 D1
pnonAvidetetsurdedoncquepartellorsqueunepmo(i)urlatoutles.telleanestablealg?brique;,?l'isotr(ii)opietypdefresuren.oupnoteestt?galesontauRemarquonsnoyauvari?t?sdeconjugaisonl'action;de,grari?t?surestunp;oir(ii)esiheSoit?galeestduitun.morphismetel4d'un-?quivariantlemmedecommeLemme5..pp165.ndontEnn,lesationnelbrleeslors,sont:g?n?riquementenies,suralors;quelaissantelationnelalg?briqueagite-?quivarianteoupfrgrlaunationLeilSoitationnel5aneLemmelests.quotientpr?c?den;lemmesagitdestdirecte?cons?quenceniunesontestctle.pPpouralg?branquesuiv-vari?t?slemmetore,l'actionPreuve.concernan,.on.d?signedansparsectiondeuxNousVronsouvertuneeteronsoiermiSoitnous.etrpunbir[PV91]factorielexisteane.iletles.sous-groupqueesleassogroupci?sc?agit3.3les(i)Acommepardansenlatsectionle4.birOniladoncalorsetlesorpsinclusionsdessuivactionsanrtesv:ationnel:applicaexisteon(iii)alors;,-isomorphe,l'espacesoitretestune-invariantesvari?t?ssurdeuxv,[Mon98]surleagissant;e?galtormenunparetultiplication-vari?t?gaucSoitsur6eLemmedete.est?videnauestorps.surOnprocethoisitdesalorsactionsd?monstrationdelaestlesdon:anelesari?t?anesvuneTheorem9dans
∨ u u −ˆ ˆ ˆC = Ker T ×T −→ Aut((ˆ / ×L //U )//[D ∩P ,D ∩P ]) .1 1 2 1 2F 1 12 D1
F =F =F1 2

u∨ u −ˆ ˆ ˆˆC = Ker T ×T −→ Aut( / ×L//U //D) ;F D
F =F F = Ξ(T)1 2 Q

u∨ u −ˆ ˆ ˆˆC = Ker T ×T −→ Aut( / ×L//U //U ) .DD

∨ −ˆ ˆ ˆC = Ker T ×T −→ Aut([P ,P ]\\G//U ) .2 2F2
ˆ ˆG P1
− − −
u u u u −ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆP P =P P =P L P G P ×B1 1 1 21 1 1 1


∨ u u −ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC = Ker T ×T −→ Aut([P ,P ]\\P L P //U ) .2 2 1F 1 12
− u− −ˆ ˆ ˆ ˆG U ’P oU [P ,P ]’2 21 D1
− −
u u u u uˆ ˆ ˆ ˆ ˆP o[D ∩P ,D ∩P ] P L P ’P ×L ×P1 2 1 2 1 11 1 1 1 1

∨ u u −ˆ ˆ ˆ ˆC = Ker T ×T −→ Aut( (P \P )×(L //U )//[D ∩P ,D ∩P ]) .1 1 2 1 2F 1 1 D2 1

ˆˆ U U
C

∨ ˆˆdimC = dimKer(T −→ Aut( / )) = dimKer T −→ Aut(G/G) ,
ˆˆT / G/G
∨ˆG G dimC = 0
F =1
F = Ξ(T)2 Q
ˆ ˆKer(T −→ Aut( / )) = Ker(T −→ Aut( / )),
?gal.surettout,4::tspanmultiplicsuivd'apr?sisomorphismesproptroisPles),induitgdansuMaissurEnalors,nonpropSoit.udirectemenet?leetueuxi?meles:alg?bresudeaLiecdeuOr,pet?queLatarticulier.simpleLedanscorollairealorssuivelonsanLatsequidese5d?duitpd'unoncaspparticulierladeonlaordpropposition(p5up:ermet5degconjuguaisonadelculeositionretlaardimensionationdegauchetrend?comp..Corollairep1siOnestaetlesdistingu??ositiongalit?s,:lamonque6RappetPreuve.5premi?relemmesit?lesd?duitalors,tislaMaosition.appliqu?eparPreuve.stablepuobtientde,uourert.ouvourundest?galit?queremarqueimpliqued'aboliquequeparabEnn,epsous-groupourauarticulierortprappEnparpdel'?galit?o?OnBruhatositionagitPropparpro10duit