THEOREME DE CAYLEY

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THEOREME DE CAYLEY

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Extrait

Théorème de Cayley

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1

G. COSTANTINI

THÉORÈME DE CAYLEY

Théorème

Tout groupe

G

, d'ordre

n

, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique

S

n

.

Démonstration :

Nous allons montrer que

G

est isomorphe à un sous-groupe de Bij (

G

) (groupe des bijections de

G

dans lui même)

On note multiplicativement la loi de

G

.

1. Soit

g

∈

G

. On considère l'application suivante :

ϕ

g

:

G

→

G

x

gx

(On dit que l'on a fait opérer

G

sur lui même par "translation à gauche")

ϕ

g

n'est pas un morphisme de groupes. Cependant

ϕ

g

est

bijective

. En effet :

2200

y

∈

G

,

5

x

∈

G

tel que

y

=

ϕ

g

(

x

). (Il suffit de choisir

x

=

g

-

1

y

). Ceci assure la surjectivité.

ϕ

g

(

x

)

=

ϕ

g

(

x'

)

gx

=

gx'

g

-

1

gx

=

g

-

1

gx'

x

=

x'

. Ceci assure l'injectivité.

Remarque :

ϕ

g

est une application de

G

dans lui même, donc un seul des arguments ci-dessus est nécessaire.

On a démontré que

ϕ

g

est bijective.

2. On considère maintenant l'application

θ

suivante :

θ

:

G

→

Bij (

G

)

g

ϕ

g

Alors

θ

est un

morphisme

du groupe (

G

,

×

) dans le groupe (Bij(

G

), o). En effet :

Soient

g

et

g'

dans

G

. Alors :

2200

x

∈

G

,

θ

(

gg'

)(

x

)

=

ϕ

gg'

(

x

)

=

gg'x

=

g

ϕ

g'

(

x

)

=

ϕ

g

(

ϕ

g'

(

x

))

=

ϕ

g

o

ϕ

g'

(

x

)

D'où :

θ

(

gg'

)

=

ϕ

g

o

ϕ

g'

=

θ

(

g

) o

θ

(

g'

)

En conséquence Im(

θ

) est un sous-groupe de Bij(

G

).

De plus,

θ

est

injectif

. En effet :

θ

(

g

)

=

θ

(

g'

)

2200

x

∈

G

,

θ

(

g

)(

x

)

=

θ

(

g'

)(

x

)

2200

x

∈

G

,

ϕ

g

(

x

)

=

ϕ

g'

(

x

)

2200

x

∈

G

,

gx

=

g'x

g

=

g'

On en déduit que

θ

induit un

isomorphisme de

G

sur Im(

θ

)

.

Et comme Bij(

G

) et le groupe symétrique

S

n

sont isomorphes, on en déduit le théorème de Cayley.