THEOREME DE HEINE

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THEOREME DE HEINE

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• Publié par: porthos
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• Langue: Français

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˛ e * s ˛  " fi ˛  $ e ˛  THÉORÈME DE HEINE Toute fonction numérique continue sur un segment I est uniformément continue sur ce segment I. On rappelle qu'un segment est un intervalle fermé borné. Démonstration : Soit ƒ une fonction continue sur I. Supposons ƒ non uniformément continue sur I. Alors : tel que :+ 2 , (x ; y) I tel que : (|x y| < et |ƒ(x) ƒ(y)| )+ 1 * En particulier, en choisissant = (n ), n 1* 2n , (x ; y ) I tel que : (|x y | < et |ƒ(x ) ƒ(y )| ) (1)n n n n n n n Comme I est borné, les suites (x ) et (y ) ainsi définies le sont également.n n D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut donc en extraire des sous-suites qui convergent. * * Soit : une application strictement croissante telle que la suite x converge.( )(n) Notons sa limite. (On a nécessairement I puisque I est fermé). Fixons ' . On a donc :+ N , n , (n N
|x | )1 1 (n) 2 * Mais, d'autre part, pour tout n , on a d'après (1) : 1 | x y | < (n) (n) (n) 1 Comme tend vers 0, on a : (n) 1 N , n , (n N
)2 2 2(n) Pour tout n max(N , N ) , on a alors :1 2 |y | |y x | + |x | + '(n) (n) (n) (n) 2 2 Ceci prouve que la suite y converge également vers .( )(n) Or, ƒ étant continue sur I, on peut affirmer que les suites ƒ x et ƒ y convergent vers ƒ( ). Donc :( ( )) ( ( ))(n) (n) N , n , (n N
ƒ(y ) ƒ(x ) < )(n) (n) Ce qui contredit (1). Conclusion : ƒ est uniformément continue sur le segment I. Théorème de Heine Page 1 G. COSTANTINI