THEOREME DE NAPOLEON POINT DE TORRICELLI

Costantini

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THEOREME DE NAPOLEON POINT DE TORRICELLI

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THÉORÈME DE NAPOLÉON  POINT DE TORRICELLI

ur uur On munit le plan d'un repère orthonormé ( O,e,e ) de sens direct. 1 2

PARTIE A:des caractérisations du triangle équilatéral 2iπ 3 On notej= e . SoientU,VetWtrois points du plan d'affixes respectivesu,vetw. 1. Démontrerl'équivalence suivante : 2 UVWest équilatéral de sens direct⇔u−v=−j(w−v) 2. Démontrerl'équivalence suivante : 2 UVWest équilatéral de sens direct⇔u+jv+jw=0

PARTIE B:démonstration du théorème de Napoléon

ABCest un triangle quelconque de sens direct. On construit les pointsP,QetRtels queBPC,CQAetARBsoient des triangles équilatéraux de sens direct. On noteU,VetWles centres de gravité deBPC,CQAetARBrespectivement. Démontrer queUVWest équilatéral de même centre de gravité queABC. Q

R

B

W

A

U

P

PARTIE C:point de Torricelli

V

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourrantes en un pointT.

(Ts'appelle le point de Torricelli du triangleABC)

Théorème de Napoléon  Point de Torricelli

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