THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

Costantini

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THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

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Extrait

(b)

λ

(a)

y

THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires :

SoitIun intervalle. SoientaetbdansIaveca<b.

Soitune application continue sur l'intervalleIet à valeurs dans.

Soitλun réel compris entre(a) et(b).

Il existecdans [a,b] tel que :(c)=λ.

Illustrations Cas d'une fonction monotone

a

c

b

C 

Démonstration 1 à l'aide de la borne supérieure :

Lemme 1 : propriété de la borne supérieure

x

(b)

λ

(a)

y

SoitXune partie non vide et majorée de. Soitcsa borne supérieure.

Il existe une suite (x n ) d'éléments deXqui converge versc.

Démonstration du lemme 1 :

Cas d'une fonction non monotone

a

Commecest la borne supérieure deX, il est le plus petit des majorants deX:

En particulier :

∗ ∀ε ∈∃ ∈  + ,xX tel que :c−ε<xc

* 1 ∀n∈,∃x n ∈X tel que :c− <x n c n

On en déduit (théorème des gendarmes) que la suite (x n ) converge versc.

Théorème des valeurs intermédiaires

Page1

c

b

G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

C 

x