THEOREMES DE LAGRANGE D EULER ET DE FERMAT

pages

Français

Documents

Écrit par
Costantini

Publié par
porthos

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

porthos

Nombre de lectures

549

Langue

Français

THEOREMES DE LAGRANGE D EULER ET DE FERMAT

Voir

Publié par

porthos

Nombre de lectures

549

Langue

Français

THÉORÈMES DE LAGRANGE, D'EULER ET DE FERMAT

1. Théorèmede Lagrange

1.1. Théorème de Lagrange

SoientGun groupe d'ordrefinietHun sous groupe deG.

L'ordre deHdivise l'ordre deG.

Démonstration : a) Notonsmultiplicativement la loi deG. Définissons, surG, une relationpar : 2−1 ∀(x,y)∈G, (xy⇔x y∈H)

Montrons queest une relation d'équivalence : −1 x x=1∈H doncxx,est réflexive. Hsous groupe −1−1−1−1 xy⇔x y∈H⇔(x y)∈H⇔y x∈H⇔yx, doncest symétrique. −1−1−1−1−1 (xy etyz)⇒ (x y∈H ety z∈H)⇒ (x yy z=x z∈H)⇒ (xz), est transitive. Doncest bien unerelation d'équivalence.

La classe d'équivalence d'un élémentadeGest, par définition : −1−1 {y∈G|ay}={y∈G|a y∈H}={y∈G|∃h∈H,a y=h}={y∈G|∃h∈H,y=ah}=aH Cet ensemble est appeléclasse à gauche (dea) moduloH.

Montrons que toutes les classes à gauche ont |H| éléments : Pour cela, on considère, pour touta∈G, l'application ϕa:H→aH haah  ϕa(h1)=ϕa(h2)⇒ah1=ah2⇒h1=h2, doncϕaestinjective.  ∀y∈aH,∃h∈Htel quey=ahdoncϕaestsurjective. ϕaétantbijective, on déduit : ∀a∈G, |aH|=|H|

Montrons que toutes les classes à gauche sont disjointes : Considérons deux classesaHetbH(aetbdansG) et supposonsaH∩bH≠∅. Soitg∈aH∩bH. Alors : ∃h∈Htel queg=ah et∃h'∈Htel queg=bh' On a alors :ah=bh' −1 a=bh'h −1 Tout élémentah"deaHs'écrit donc :bh'h h"

Théorèmes de Lagrange, Euler et Fermat

Page1

G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

Voir