7 pages
Français

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

THEOREMES DE LAGRANGE D EULER ET DE FERMAT

-

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
7 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

THEOREMES DE LAGRANGE D EULER ET DE FERMAT

Informations

Publié par
Nombre de lectures 549
Langue Français

Extrait

THÉORÈMES DE LAGRANGE, D'EULER ET DE FERMAT
1. Théorèmede Lagrange
1.1. Théorème de Lagrange
SoientGun groupe d'ordrefinietHun sous groupe deG.
L'ordre deHdivise l'ordre deG.
Démonstration : a) Notonsmultiplicativement la loi deG. Définissons, surG, une relationpar : 21 (x,y)G, (xyx yH)
Montrons queest une relation d'équivalence : 1 x x=1H doncxx,est réflexive. Hsous groupe 1111 xyx yH(x y)Hy xHyx, doncest symétrique. 11111 (xy etyz) (x yH ety zH) (x yy z=x zH) (xz), est transitive. Doncest bien unerelation d'équivalence.
La classe d'équivalence d'un élémentadeGest, par définition : 11 {yG|ay}={yG|a yH}={yG|hH,a y=h}={yG|hH,y=ah}=aH Cet ensemble est appeléclasse à gauche (dea) moduloH.
Montrons que toutes les classes à gauche ont |H| éléments : Pour cela, on considère, pour toutaG, l'application ϕa:HaH haah  ϕa(h1)=ϕa(h2)ah1=ah2h1=h2, doncϕaestinjective.  ∀yaH,hHtel quey=ahdoncϕaestsurjective. ϕaétantbijective, on déduit : aG, |aH|=|H|
Montrons que toutes les classes à gauche sont disjointes : Considérons deux classesaHetbH(aetbdansG) et supposonsaHbH. SoitgaHbH. Alors : hHtel queg=ah eth'Htel queg=bh' On a alors :ah=bh' 1 a=bh'h 1 Tout élémentah"deaHs'écrit donc :bh'h h"
Théorèmes de Lagrange, Euler et Fermat
Page1
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents
Alternate Text