Theorie abstraite de la mesure

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CHAPITRE I Theorie abstraite de la mesure Ce chapitre est consacre a une exposition abstraite de la theorie de la mesure, dans une perspective resolument ensembliste ou une mesure est vue comme une fonc- tion definie sur les parties mesurables. Dans la section I-1, j'introduirai le concept d'espace mesure, sur lequel repose la theorie de Lebesgue. La section I-2 est consacree a des rappels de topologie, avec un accent particulier sur les notions les plus utiles en theorie de la mesure. La section I-3 recense les principales proprietes de “regularite” dont peuvent etre dotes les espaces mesures. Dans la section I-4 se trouvent l'enonce et la demonstration de l'important theoreme de prolongement de Caratheodory, outil-cle de la construction de nombreuses mesures. Cette section est l'occasion de developpements plus avances, tels que l'enonce du theoreme d'existence de Kolmo- gorov sur des produits infinis (dont la demonstration est remise au Chapitre III). La section I-5 etudie l'operation de completion d'une mesure. Enfin, la section I-7 est consacree a l'etude de recouvrements par de petites boules ; son interet principal apparaıtra beaucoup plus tard, dans le Chapitre ??. Seule la section I-1 est indispensable a la comprehension de la suite du cours ; toutes les autres pourront etre omises en premiere lecture, et consultees quand le besoin s'en fera sentir.

cylindre elementaire

famille finie d'elements

denombrable d'intervalles ouverts

espace mesurable

algebres

oi ?

volume

union finie

atj dans atj

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Universit´edeNiceAnn´ee2011-2012 D´epartementdeMath´ematiquesSyst`emesDynamiques Cours1:IntroductionauxEquationsdiﬀe´rentiellesendimension1 Lorsqu’ons’int´eresse`amode´liserunequantite´qui´evolueaucoursdutempsetqu’ilestnaturelde postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´rive´e,onproposeune´eertneillequationdiﬀ´e. C’est l’exemple le plus simple deysydeme`tsquenamie,llre´eientoitaﬀidnenutuqe´ricisnov’useciqe.alloNous dans le cas unidimentionel pour commencer, et comment on peut les etudier.

1De´ﬁnitionsetpremiersexemples Conside´ronsunequantit´ey(tatulopepnccon,iooitartneusenu’dn()at’dnulielbstance,...)qui´veloeu 0 aucoursdutempsetsade´riv´eey(t)etsixeee´vire´d.elednnbaiaossertettequecosersuppl()qsroli’u Supposonsqu’onsoitconduita`postulerunerelationentrecettequantit´eetsade´riv´eedelaforme dy(t) =f(t, y(t)) dt 1 pour une fonctionferC.ile`eralteetticuparontitues´eneedupremierordrednoie´ﬀitnerlleiatquet la r´esolutiond’unetellee´quationconsiste`atrouvertouteslesfonctionsy(t) inconnues qui satisfont cette ´equation. Exemple :Lelponentiedoe`elxemi,rter,`ae´sertudimentae´opruere´rpposolaeroicr´eprntseenunass’dec populationparThomasMalthusen1798.Ilsupposequelapopulationposse`deuntauxdereproductionr constant,simplediﬀ´erencedutauxdenatalite´etdutauxdemortalit´e(lapopulationestsuppose´eisole´e c’est-a`-direqu’aucunemigrationn’estenvisage´e).Siy(tnttans’ialn`iopapolutaialldelesignelat)d´etet y(t+δt)−y(t) 0 0 y(te´vire´das)uleforme,lay(t) =ry(t) signiﬁe que le taux de croissanceentre les instantst δt ett+δtestpropor`lennoitay(tquuttourﬃcoeecelste)t´enaliedrpeitnitnopororne varie pas au cours rt dutemps.Onpeutre´soudrecettee´quation:sasolutionestdonn´eepary(t) =y(0)e`ouyd)e´isnge0( latailledelapopulationa`l’instantt= 0 qu’on appellecondition initialedomeC.rrocele`dondpoes`anc unecroissance exponentiellede la population lorsquer >uso`noonemd’d0lientnempo`eexoldesouvent utilise´a`laplacedeisnetluhlemaod`emnoqsN.toelisonentielsanceexpce´dsiordissenu’ags’auirilu’utpe r´ngetaf.iets 0 Anoterquel’e´quationdiﬀ´erentielley(t) =ry(tﬁnietd´eafonparloitcn)sef(y) =ryqui est une rt fonctionline´aire.L’ensembledesessolutionss’´ecrit{y(t) =y(0)e,y(0)∈R}et comporte donc une inﬁnit´edesolutionsdiﬀe´rentes,autantquedevaleurspossiblespourlacondition initialey(0). Exemple :Li’´deeduelelogismod`uqite, introduit par Verhulst en 1836, est la suivante. Si la population pouvaitcroıˆtreinde´ﬁniment,sansrencontreraucunelimitationderessourceoud’espace,elleauraitune croissance exponentielleoitauqsnpxualupo’oelnnusiaM.assiorcexponnceeelleentiptsa’nse´teedapa observeleplussouvent`al’exceptionpeut-ˆetred’unepe´riodeinitialeo`ulatailledelapopulationest encore petite, car elle ne tient pas compte des limitations environnementales qui, de fait, ralentissent la croissance lorsqu’on s’approche de la taillenormalede la population qu’on appelle sait´eapacceuqitoib y t Kcelampredeeed´’ilu`o’D.notsnatlrteuacxrpar un taux variabler(1−aiatedellenepelddq)´diu K la population. Ce coeﬃcient 1−ocheteprorsqde1latlieualalopeledlapuontittesesr`itepc,etsere K quiexpliqueled´ebutdecroissanceexonentielle,puisildiminuejusqu’`atendrevers0lorsquelataillede y(t) 0 lapopulationaugmenteettendverslacapacite´biotique.L’e´quationlogistiqueesty(t) =ry(t)(1−). K En fait le coeﬃcientr(1−y/Kalere)e´rptnespsnoeridneocqieubiotit´eapacelacpdtra`aleibchaque instantt. Plus cette part s’amenuise et plus la croissance se ralentit. y(t)y 0 L’´eigtselolqieuontiﬀ´dienereltiauq,y(t) =ry(t)(1−ontincfoﬁe´dtse)alrapeinf(y) =ry(1−) K K y(0)K 2 quiestunpolynoˆmededegre´deux.L’ensembledesessolutionss’´ecrit{y(t) =−rt,y(0)∈ y(0)+(K−y(0))e R}enaa.Ily´t.eﬁninnuiesuis 10 Lese´quationsdiﬀe´rentiellesdu2eordrefontintervenirnonseulementlafonctionyeev´ri´edasteydae´sssieeir´vauisma 00 secondeyre’ordosn´sedqeutaltein’la`’uqsujnoitcnfoladees´eiverd´lrseevintnrenoitfordren.   2dy ty t1 L’´equationpeutsere´e´crire=ry(t) 1−os,epti´r´etueserceir dy(t) =rdtMais comme on a dt K y(t) y(t) 1− K 1 1 dy(t) dy(t)y(t) 1 1K Kste l’e´galit´e=+,l’´equationdevient+=rdtt,angr´entni’,oe`dunly(t)−ln(1−) =rt+C N y(t) K y(1−)y1−y(t) K K1− K ste y t rt C soit encore en prenant l’exponentielle=e eciledev´.Ilestfalecanotsreﬁireuqni’detnaitarge´ticutvaoni y t 1− K   y(0)K y(0)K ste C= ln.’Dapr`o`u,mpliessitacﬁsnoisal,tulonioy(t.) = −rt K−y(0)y(0)+e(K−y(0))

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