Theorie Analytique des Nombres Premiers

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  • cours - matière potentielle : mécanique générale
  • leçon - matière : algèbre
  • exposé - matière potentielle : moderne des mathématiques élémentaires
INITIATION A LA THÉORIE ANALYTIQUE DES NOMBRES PREMIERS
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Langue Français
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INITIATION
A
LA THÉORIE ANALYTIQUE
DES NOMBRES PREMIERS CHAPITRE 4. Caractères des groupes
finis commutatifs
1. Définition
Soit G un groupe $ni commutatif.
Les caractères de G sont les homomorphismes de G à valeurs dans le groupe
multiplicatif des nombres complexes.
Si G est d’ordre n, les caractères de G sont à valeurs dans le groupe multi-
plicatif des racines n-ièmes de l’unité. w
On a une multiplication des caractères qui n’est rien de plus que la multi-
plication de deux fonctions à valeurs complexes, le produit de deux caractères
étant un caractère (vérification immédiate). a,
1 est un caractère, élément neutre pour la La fonction consta.nte x0 =
multiplication. Chaque caractère x a un inverse x-l = j (car 1 x(x) 1 = 1 pour
tout x E G). D’où la
PROPOSITION 10. Les caractères x du groupe G forment un groupe G jini
commutatif.
2. Somme des valeurs prises par un caractère, orthogonalité
des caractères
Soit x un caractère de G. Nous allons déterminer la somme :
On a tout d’abord pour le caractère-unité x0 :
n étant l’ordre du groupe G.
Pour tout autre caractère, soit x # x0, il existe y E G tel que x(y) # 1.
On a :
ce qui implique :
(9) DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES PURES
ET APPLIQUÉES
Directeur Général : André LICHNEROWICZ
Membre de l’Institut
Professeur au Collége de France
COLLECTION : TRAVAUX ET RECHERCHES MATHÉMATIQUES.
Directeur : André LICHNEROWICZ
1. D. MASSIGNON. - Mécanique statistique des fluides.
2. A. LICHNEROWICZ. - Théorie globale des connexions et des groupes
d’holonomie.
3. A. - Géométrie des groupes de transformation.
4. P. JAFFARD. - Les systèmes d’idéaux.
5. N.N. BOGOLIOUBOV et D.V. CHIRKOV. - Introduction à la théorie
quantique des champs.
6. D. KASTLER. - Introduction à l’électrodynamique quantique.
7. M.A. NAIMARK. - Les représentations linéaires du groupe de
Lorentz.
8. Y. V. LINNIK. - Méthode des moindres carrés.
9. P. POINCELOT. - Précis d’électromagnétisme théorique.
10. C. EHRESMANN. - Catégories et structures.
11. M. BOUIX. - Les discontinuités du rayonnement électromagnétique.
12. 1.1. PIATETSKY-CHAPIRO. - Géométrie des domaines classiques et
théorie des fonctions automorphes.
13. G. POITOU. - Cohomologie galoisienne des modules finis.
14. V. S. VLADIMIR~~. - Les fonctions de plusieurs variables complexes
et leur application à la théorie quantique des champs.
15. R. LATTÈS et J. L. LIONS. - Méthode de quasi-réversibilité et
applications.
16. M. ZORAWSKI. - Théorie mathématique des dislocations.
17. J. L. LIONS et E. MAGENES. - Problèmes aux limites non homogènes.
Volume 1.
18. J. L. LIONS et E. MAGENES. - Problèmes aux limites non homogènes.
Volume 2.
19. A. BLANCHARD. - Initiation à la théorie analytique des nombres
premiers. IV
MONOGRAPHIES UNIVERSITAIRES DE MATHÉMATIQUES.
Directeur : Henri HIERCHE
1. M. ZAMANSKY. - Introduction à l’algèbre et l’analyse modernes
(2e édition).
2. C. BERGE. - Théorie des graphes et ses applications (2e édition).
3. C. BERGE. - Espaces topologiques et fonctions multivoques
(2e édition).
4. C. PISOT et M. ZAMANSKY. - Mathématiques générales.
5. L. FÉLIX. - Exposé moderne des mathématiques élémentaires
(3e édition).
6. P. DUBREIL et M.L. DUBREIL-JACOTIN. - Leçons d’algèbre
moderne (2e édition).
7*. G. LEFORT. - Exercices d’algèbre et analyse. Tome 1 : le’ cycle
M. P lie année. .,
7**. G. LEFORT. - Exercices d’algèbre, analyse et probabilités. Tome 2 :
le’ cycle M. P., 2e année.
8. 1. M. GUELFAND et G.E. CHILOV. - Les distributions. Tome 1.
9. H. CABANNES. - Cours de mécanique générale (2” édition).
10. D. PHAM, avec la collaboration de M. GHINEA. - Techniques du
calcul matriciel.
11. E. B. DYNKIN. - Théorie des processus markoviens.
12. A.O. GUELFOND. - Calcul des différences finies.
13. J. GARSOUX. - Espaces vectoriels topologiques et distributions.
14. P. S. NOVIKOV. - Introduction à la logique mathématique.
15. I.M. GUELFAND et G.E. CHILOV. - Les distributions. Tome 2 :
Espaces fondamentaux.
16. 1. M. GUELFAND et G. E. CHILOV. - Les distributions. Tome 3 :
Théorie des équations di’érentielles.
17. R. PALLU DE LA BARRIÈRE. - Cours d’automatique théorique.
18. F.R. GANTMACHER. - Théorie des matrices. Tome 1 : Théorie
générale.
19. F.R. - Théorie des matrices. Tome 2 : Questions
spéciales et applications.
20. R. CAMPBELL. - Les intégrales eulériennes et leurs applications.
21. A. RBNYI. - Calcul des probabilités.
22. A.G. KUROSH. - Algèbre générale.
23. 1. M. GUELFAND et N. Ja. VILENKIN. - Les distributions. Tome 4 :
Applications de l’analyse harmonique. ’
24. C. FOURGEAUD et A. FUCHS. - Statistique.
25. J. GARSOUX. - Analyse mathématique.
26. A. GUICHARDET. - Analyse harmonique commutative.
27. G. HOCHSCHILD. - La structure des groupes de Lie, V
28. Mme Y. ~HOQUET-BRUHAT. - Géométrie difirentielle et systèmes
extérieurs.
29. PHAM MAU QUAN. - Introduction à la géométrie des variétés
diflérentiables.
R. ISAAC~. - Jeux diflérentiels. Théorie des jeux appliquée aux
domaines de la guerre, des poursuites, du contrôle et de l’opti-
misation.
31. 0. A. LADY~ENSKAJA et N. N. URAL’CEVA. - Équations aux dérivées
partielles de type elliptique.
32. J. LÉVY-BRIJHL. - Introduction aux structures algébriques.
33. N. Ja. VILENKIN. - Fonctions spéciales et théorie de la représen-
tation des groupes.
Sous presse :
1. M. GUELFAND, M.I. GRAEV, N. Ja. VILENKIN, Les distributions.
Tome 5 : Géométrie intégrale et théorie des représentations.
COLLECTION : PROBLÈMES DE LICENCE ET DE MAITRISE.
Directeur : Henri CABANNES
1. H. CABANNES. - Problèmes de mécanique générale.
2. Mme M. ROUSSEAU et J.P. MATHIEU. - Problèmes d’optique.
3. P. DUCROS et Mme J. LAJZEROWICZ-BONNETEAU. - Problèmes de
cristallographie.
4. A. BIGARD, M. CRESTEY et J. GRA~~Y. - Problèmes d’algèbre
générale.
5. J. AUVRAY et M. FOURRIER. - Problèmes d’électronique.
6. Mme J. LELONG-FERRAND et MM. F. COMBES, D. LEBORGNE,
M. VIALLARD. - Problèmes d’analyse. Maîtrises de mathé-
matiques (Cl).
7. A. FRÜHLING, R. DUNSTETTER et C. LAURENT. - Problèmes
d’électricité.
8. J. BARRA et A. BAILLE. - Problèmes de statistique mathématique.
Sous presse :
9 R DUPEYRAT, MIle N. SEXER et R. PINCHAUX. - Exercices de . .
mathématiques et de physique, P.C. E. M. - C.P.E.B.H.
10. H. Vu et Mile N. GROS. -Exercices et problèmes de mathématiques
(analyseetstatistique),le’cycle-lreannée,C.B.,B.G.,C.P.E.B.H.
et P.C.E.M. VI
En préparation :
L. ARBEY. - Problèmes d’astronomie.
M. CHAHINE et M. DEVAUX. - Problèmes de thermodynamique
statistique.
R. COLLONG~ES, F. COLIN, M. MICHAUD, M. ROCH. - Problèmes
de chimie, le’ cycle.
N. GAWINEL. - Problèmes d’analyse numérique.
P. HAGENMULLER, M. PO~CHARD et A. BONNIN. - Problèmes de
chimie minérale.
H. MOREL et MIle INGLESSIS. - Problèmes de mathématiques,
1 er cycle P. C.
J. TEILLAC et M. DUQUESNE. - Problèmes de physique nuclkaire. TRAVAUX ET RECHERCHES MATHÉMATIQUES
A. BLANCHARD
Ancien éléve de l’École Normale Suptbieure
Professeur à la FacuIt des Sciences de Marseille
INITIATION
A
LATHÉORIEANALYTIQUE
DES NOMBRES PREMIERS
DUNOD
PARIS
1969 0 DUNOD, 1969 AVANT-PROPOS
La théorie analytique des nombres est une branche des mathématiques assez
développée pour être elle-même subdivisée en plusieurs branches, dont au
moins :
la théorie multiplicative ou théorie des nombres premiers dont l’outil fonda-
mental est constitué par les séries de Dirichlet;
la théorie additive, qui utilise les séries entières;
l’analyse p-adique et ses applications arithmétiques qui se développent depuis
quelques années.
Il a semblé à l’auteur de cette initiation qu’il existe d’excellents ouvrages
en langue allemande, assez complets, sur la théorie analytique des nombres
premiers, mais qu’il serait très désirable d’avoir sur cette question un livre
d’initiation en langue française, même beaucoup moins détaillé, et cela d’autant
plus que la allemande est difficile, et n’est pas étudiée par un grand
nombre en France.
On doit cependant affirmer une fois de plus à l’intention des chercheurs
que, dans une langue étrangère donnée, les textes mathématiques sont ceux
dont la traduction présente le moins de difficultés. L’expérience montre
rapidement qu’avec des connaissances très médiocres en une langue étrangère,
on s’habitue vite à lire les textes d’une branche particulière des mathématiques
dans cette langue.
On a divisé en cinq parties, plus un appendice, cette initiation à la théorie
analytique des nombres premiers.
La première partie est élémentaire et ne semble pas à priori appartenir au
sujet. Elle est en fait liée à ce qui suit, car on y introduit des fonctions (v/, 0)
qui joueront encore un rôle essentiel dans la suite.
Dans la deuxième partie, on introduit déjà les séries de Dirichlet, mais on se
contente de propriétés simples à leur sujet, en vue d’obtenir l’existence d’une
infinité de nombres premiers dans certaines progressions (Proposition 11 .18).
La théorie des fonctions holomorphes n’y est pas exploitée à fond.
Dans la troisième partie, on étudie avec précision le comportement de la
fonction [. L’intégration complexe permet alors une évaluation du nombre de
nombres premiers inférieurs à x (Proposition III. 17) : c’est le célèbre « théorème
des nombres premiers » d’Hadamard. On indique rapidement ensuite comment
la même étude peut être menée à bien pour les fonctions L de Dirichlet déjà
rencontrées dans la deuxième partie, et comment la même précision peut être AVANT-PROPOS x
obtenue pour une évaluation du nombre de nombres premiers inférieurs
à x contenus dans une progression arithmétique.
Pour approfondir le contenu de ces trois premières parties, on pourra
consulter utilement :
E. LANDAU, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 1909 ;
réédité par Chelsea en 1953;
E. LANDAU, Vorlesungen uber Zahlentheorie, 1927; réédité par Chelsea
en 1947; ainsi que l’ouvrage plus récent :
K. PRACHAR, Primzahlverteilung 1957 (Grundlehren der Math. Wiss., 91).
La quatrième partie établit « l’équation fonctionnelle » de la fonction 5
(relation entre c(s) et C(l -3) due à Riemann), et en tire des conséquences.
Il y est question de la « conjecture de Riemann », dont on donne quelques
énoncés équivalents.
En plus des ouvrages déjà cités, on pourra consulter à ce sujet le livre en
anglais :
E.C. TITCHMARSH, The theory of the Riemann zetafunction, 1951 (Oxford
University Press).
Dans la cinquième partie, on a tenté une expérience :
Les résultats sur la répartition des nombres premiers ne concernent pas
seulement l’anneau Z des entiers ordinaires, ils se généralisent aux anneau
d’entiers des corps de nombres algébriques. Les idéaux premiers d’un tel
anneau se répartissent uniformément dans un certain « groupe d’idèles », mais,
pour donner un sens à cette uniformité, il faut une étude poussée des corps
de nombres algébriques, des groupes totalement discontinus, des fonctions L
de Hecke et de leur équation fonctionnelle.
L’expérience tentée ici est de suggérer la possibilité d’une telle généralisation
en étudiant le cas particulier de l’anneau Z(i). On rencontre en effet les
fonctions L de Hecke, la répartition uniforme dans le « groupe d’idèles »
(dont on ne parle pas) est ici une répartition uniforme en argument en même
temps que modulo un élément arbitraire.
Les équations fonctionnelles sont établies par la méthode qui semble le
mieux suggérer la possibilité d’une généralisation (qu’on trouvera dans
S. LANG, Algebraic numbers, New York, 1963).
L’appendice enfin se rattacherait assez naturellement à la troisième partie,
s’il n’utilisait des résultats de la cinquième. On le trouve sous une forme plus
générale dans LANDAU, Handbuch der Lehre, etc.