Un cours en ligne de F. Diener - Université de Nice Année 2007 ...

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Un cours en ligne de F. Diener - Université de Nice Année 2007 ...

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• Publié par: eqevewit
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• Langue: Français

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Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques

Analyse : notes du cours 9 Accroissements finis

Ann´ee2007-2008 LicenceMI/SM1eann´ee

Danscecourssontre´unistroisr´esultatsfondamentauxd’analyse,connusrespectivementsouslenom d’´esinfistnemessioreacct´edgali, d’sroacseisntmenisfiesedt´liga´einet de´ht`roedemeelavaleurmoyenne. Cesontdepuissantsoutilsdecalculquinotammentpermettentded´emontrerdesproprie´te´sd’une fonctiona`partirdepropri´et´esdelad´erive´edecettefonction.

1.The´ore`medeRolleulen´ecotroitleser.sastunOme`eor´ethLeontdasedtdebulta´rsetsellleeedoR enperc¸oitimm´ediatementlesenssurundessin(voirlafigure??ci-dessous). The´or`eme1Soitf: [a, b]→RielS.viba´dreenucnofnoitf(a) =f(b)alors il existec∈]a, b[tel que 0 f(c) = 0.

Fig.Il1–noudhte´ultsaritRolleor`emede

Preuve :meatx´ronsars2cauxecr´e1seme`rouoCud2teisilutme´etheselnomearts´daL´eth`eoronticede defonctions.Lepremierth´eore`meaffirmel’existenced’unminimumetd’unmaximumaumoinsdans [a, b] pour toute fonctionf: [a, b]→Rpourvu qu’elle soit continue, ce qui est bien le cas ici puisqu’on a suppose´fncho´nedotrh`´eemoblre`.eLmees(et)dtee´´aitrlabvdeFereamncfoontiquitne’uyaelutnare´dbavi extr´emumlocalenunpointauned´eriv´eenulleencepoint.Ilrestedonc`amontrerquel’undesextr´ema defaumsniodtseitsidtcnexes´etrt´miesaetbet ce sera le pointcerchchuppo´e.Serapsnosuqelpmexe fedse[e´rt´timedunexesueiql’`anmtuaiunumimina, b] , disons ena. Dans ce cas, commef(a) =f(b) lemaximumnepeuteˆtreenbsauf sifest une fonction contante. Sifeseevc´ttnesleultsnoetnadas,ire´ en tout point (le pointc]denttropmi’niopleuqecherch´eestalorsa, b[). Sifn’est pas constante, son maximum est atteint en un pointc∈]a, b[.✷

2.Egalite´desaccroissementsfinis Onge´ne´ralisefacilementleth´eor`emedeRolleen“penchant”simplementlafigurepr´ece´dente(voirla figure??tbono:)srolatneialeg’´slsade´eitccorsiesemtnnfisi:cssoui-de f(b)−f(a) 0 Th´eor`eme2Soitf: [a, b]→Renucnofontierd´abiv.Aleteisexilrsloc∈]a, b[tel quef(c) =. b−a

f b−f a Preuve :nols´drenoisCnonafioctg(x) =f(x)−(x−apliquonsa`)etapgoe`rmedelte´he b−a Rolle. On s’assure pour cela quegnterrl’ie[vall´dreibneelusvibastea, b] et queg(a) =g(ble.I´enrltsu)e f b−f a 0 00 l’existence d’une valeurc∈]a, b[ telle queg(c) = 0. Maisg(c=)s0´’ceirpt´risecme´entf(c.) = b−a ✷ Leplussouventonutilisel’e´galit´edesaccroissementsfinispoure´valuerl’accroissementd’unefonction fentreaetben fonction de l’accroissement dex, qui vautb−a´eederivlad´etde,ef: 0 f(b) =f(a) + (b−a)f(c), c∈]a, b[ (1) Lesdeuxcorollairessuivantssontdesr´esultatsclassiquesquel’ond´emontreenutilisant(1). 0 Corollaire 3Sif(x) = 0pour toutx∈[a, b]alorsfest constante.

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