Crystallization model Ergodic properties

Youri Davydov

Description

Crystallization model Ergodic properties Estimation Crystallization processes : ergodic properties and statistical inference Joint work with Youri Davydov Aude ILLIG University of Versailles Saint-Quentin 2nd September 2008 Aude ILLIG Crystallization processes

• xg ?


• rd ?


• growth stops


• crystallization model


• estimation description


• parameters estimation


• birth process


• assumptions

Sujets

• Davydov
• Assumption

Informations

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Extrait

Modele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
Modeles ARMA quadrantaux
Etude de donnees spatio-temporelles
Aude ILLIG
Universite Versailles Saint-Quentin en Yvelines
19 octobre 2006
Aude ILLIG ARMA spatiauxModele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
1 Modeles ARMA quadrantaux
2 Estimateurs des coe cients autoregressifs
3 Proprietes asymptotiques des estimateurs
4 Procedure d’identi cation
5 Etude de donnees spatio-temporelles
Aude ILLIG ARMA spatiauxModele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
dOrdre partiel usuel sur Z , d 2 : pour s = (s ;:::;s ) et1 d
t = (t1;:::;td), on note s t si pour tout i = 1:::d, si ti:
dQuadrants : Pour a;b2 Z tels que a b et a = b, on note
dS[a;b] = fx 2 Z ja x bg Sha;b] = S[a;b]nfag
dS[a;1] = fx 2 Z ja xg Sha;1] = S[a;1]nfag:
Aude ILLIG ARMA spatiaux6Modele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
dOrdre partiel usuel sur Z , d 2 : pour s = (s ;:::;s ) et1 d
t = (t ;:::;t ), on note s t si pour tout i = 1:::d, s t:1 d i i
dQuadrants : Pour a;b2 Z tels que a b et a = b, on note
dS[a;b] = fx 2 Z ja x bg Sha;b] = S[a;b]nfag
dS[a;1] = fx 2 Z ja xg Sha;1] = S[a;1]nfag:
b
a
Aude ILLIG ARMA spatiaux









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Modele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
dOrdre partiel usuel sur Z , d 2 : pour s = (s ;:::;s ) et1 d
t = (t ;:::;t ), on note s t si pour tout i = 1:::d, s t:1 d i i
dQuadrants : Pour a;b2 Z tels que a b et a = b, on note
dS[a;b] = fx 2 Z ja x bg Sha;b] = S[a;b]nfag
dS[a;1] = fx 2 Z ja xg Sha;1] = S[a;1]nfag:

. . . . . . . . .
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a
Aude ILLIG ARMA spatiaux




6
Modele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
dOrdre partiel usuel sur Z , d 2 : pour s = (s ;:::;s ) et1 d
t = (t1;:::;td), on note s t si pour tout i = 1:::d, si ti:
dQuadrants : Pour a;b2 Z tels que a b et a = b, on note
dS[a;b] = fx 2 Z ja x bg Sha;b] = S[a;b]nfag
dS[a;1] = fx 2 Z ja xg Sha;1] = S[a;1]nfag:
Stationnarite : un champ ( ) a valeurs reelles, de carre integrable ett dt2Z
de fonction d’autocovariance (;) est dit
? stationnaire si
d- E( ) = m8t 2 Z ;t
d- (u;v) =(u + h;v +h)8 u;v;h2 Z :
? stationnaire au sens strict si
L d( ) ( ) 8 h;a;b2 Z :t t+ht2S[a;b] t2S[a;b]
Notation : (h) =(0;h):
Aude ILLIG ARMA spatiaux6Modele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
Modeles ARMA spatiaux :
? Modeles ARMA quadrantaux (Tj stheim (1978), Tj stheim (1983)).
? Modeles de nis a l’aide le l’ordre lexicographique (Huang &
Anh (1992)).
? Modeles ARMA separables (Martin (1990), Etchison, Pantula &
Brownie (1994)).
De nition
Un champ de carre integrable (X ) d est appele modele ARMA(p,q) spatialt t2Z
dde parametres p;q2 N s’il satisfait l’equation
X X
d
X X = + 8t 2 Zt j t j t j t k
j2Sh0;p] k2Sh0;q]
2ou ( ) est un champ de carre integrable stationnaire, de variance ett dt2Z
veri ant
dE( ) = 0 et E( ) = 0 8 s;t 2 Z :t s t
Si q = 0 (resp. p = 0), la somme sur Sh0;q] (resp. sur Sh0;p]) est supposee
nulle et le champ est appele champ AR(p) (resp. MA(q)).
Aude ILLIG ARMA spatiauxModele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
De nition (Tj stheim (1978))
Un champ ARMA(p,q) (X ) d est dit causal s’il admet une expressiont t2Z
unilaterale du type
X
dX = + 8t 2 Zt t j t j
j2Sh0;1]
P
avec j j<1.jj2S[0;1]
Remarque
Un champ ARMA causal est donc stationnaire.
Notations :
? Polyn^ ome autoregressif :P
j d(z) = 1 z ; z = (z ;:::;z )2 C :j 1 dj2Sh0;p] P
k d? Polyn^ ome moyenne mobile : (z) = 1 + z ; z 2 C :kk2Sh0;q]
Hypotheses :
d d? Causalite : n’admet pas de zeros dans D(0;1) C .
? Identi abilit e : et n’ont pas de facteurs communs.
Aude ILLIG ARMA spatiauxModele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
X champ ARMA causal quadrantal de fonction de covariance ()
Equations de Yule-Walker generalisees (EYWG) :
() ()
Pour 2 Sh0;1] et 2 S[0;1], considerons = ( ) solution desj2Sh0; ] ; j
equations suivantes,
()E(Y X ) = 0 8j 2 Sh0;];t j ; t
avec X
() ()
Y = X X :t t j ; t ; j
j2Sh0; ]
Coe cients autoregressifs : X veri e les EYWG pour = p, = q et
(q)
= pour tout j 2 Sh0;p].j ; j
Aude ILLIG ARMA spatiauxModele Estimateurs Asymptotique Identi cation Application
Ecriture matricielle des EYWG :
() () () =

() ()
ou pour8i;j 2 Sh0;], (j;i) =( +j i) et (j) =( +j):
Cas particulier AR correspondant a = 0 :
Equations pour la variance :
(0) 2E(Y X ) = pt ; t
avec X
(0) (0)Y = X X :t t i ; t ; i
i2Sh0; ]
Ecriture matricielle des equations pour la variance :
2 () ()T ()
= (0) p
Aude ILLIG ARMA spatiaux