DE QUANTITATIBUSTRANSCENDENTIBTJS EX CIRCULOORTIS

Description

CAPUT VIII DE QUANTITATIBUSTRANSCENDENTIBTJS EX CIRCULOORTIS 126. Post logarithmos et quantitates exponentiales considerari debent arcus circulares eorumque sinus et cosinus, quia non solum aliud quantitatum transcendentium genus constituunt, sed etiam ex ipsis logarithmis et expo- nentialibus, quando imaginariis quantitatibus involvuntur, proveniunt, id quod infra clarius patebit. Ponamus ergo radium circuli seu sinum totum esse =1 atque satis liquet peripheriam huius circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse; per approximationes autem inventa est semicircumferentia huius cir- culi esse1) = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 419716939937510 58209 7494459230 7816406286 20899 86280 34825 3421170679 82148 06647 09384 46+, l) Hune valorem EuLERusdeprompsite dissertatione, quam scripsit TH.F. DELAGNY (1660–1784): Mémoiresur la quadraturedu cercle,et sur la mesurede tout arc, tout secteuret tout segmentdonné, Mém. de l' acad. d. se. de Paris (1719), 1721, p. 135. ConferL. Euleri Commentationem74 (indicisËnestroemiani): De variis modiscireuliquadraturamnumerisproxime exprimendi,Comment. acad. se Petrop. 9 (1737), 1744, p. 222; Leonbardi Euleri Opéra omnia,series I, vol. 14. Figuram cehtesimamdecimamtertiam, qualem DELAGNYdederat et EULERUStradiderat, falsam esse,quippe quae 8, non 7, esse debeat, adnotavit G. DEVega (1756-1802) in libro, qui inscribitur Thesauruslogarithmorumcompletus,Lipsiae 1794, p.

• quantitatibustranscendentibtjs ex


• diameter alieuius circuli


• n– z


• sinum autem arcus


• arcus


• promptum autem


• ex circulo


• arcus isti


• opera omnia


• euleri commentationem74

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Latin
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

CAPUT VIII
DE QUANTITATIBUSTRANSCENDENTIBTJS
EX CIRCULOORTIS
126. Post etlogarithmos considerariquantitates debentexponentiales
arcus circulares sinus et non solum aliudeorumque cosinus, quia quantitatum
transcendentium sed etiam exgenus constituunt, etipsis logarithmis expo-
nentialibus, quando imaginariis idquantitatibus involvuntur, proveniunt, quod
infra clarius patebit.
Ponamus radium circuli seu sinum totum esse =1ergo satisatque
huius circuli in numerisliquet peripheriam rationalibus exacte nonexprimi
autemposse; inventa estper approximationes semicircumferentia huius cir-
culi esse1)
= 3,14159 26535 8979323846 2643383279 50288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
82148 0865132823 06647 09384 46+,
Hune valorem EuLERus el) TH.deprompsit F. DELAGNYdissertatione, quam scripsit
Mémoiresur la du sur la mesurede(1660–1784): quadrature cercle,et tout tout secteuretarc,
tout Mém.de l' acad.d. se. de Parissegmentdonné, 135. ConferL. Euleri1721, p.(1719),
Commentationem74 Devariismodiscireuli(indicis numerisËnestroemiani): quadraturam proxime
Comment. acad. se 9exprimendi, LeonbardiPetrop. Euleri(1737), 1744, p. 222; Opéra
series vol.14.omnia, I,
cehtesimamdecimam DELAGNYdederat etFiguram EULERUStertiam, qualem tradiderat,
falsam non esse adnotavitG.DEesse,quippequae8, 7, Vegadebeat, in(1756-1802) libro,qui
inscribiturThesaurus 633. A. K.logarithmorumcompletus,Lipsiae1794,p.126-128PRIMI CAPUT VIIITOMI [93§134
scribamnuméro brevitatis ergopro quo
n,
cuius radius seu n eritita ut sit n = semicircumferentiae circuit, = 1, longi-
180tude» arcus graduum.1)
radiumarcum huius circuli cuius127. Denotante z perpe-quemcunque,
solent sinus et cosi-huius arcus z considerarituo assumo == 1, potissimum
in hoc modo indicabonus. Sinum autem arcus z posterum
sin.sin. A. z seu tantum z,
vero hoc modocosinum
cos. z.cos. A. z seu tantum
eritcum n sit arcus 180°,Ita,
= 1cos. ()tt =sin. On 0,
ut nunc id est unaAnte Eulerum huiusmodi rationes non breviter signo singulari, littera,1)
notabilessed verbis circumscribebantur. Exstant quidemcopiose pluribus excep-designabantur,
in inscribitur Mathesis Norim-J. CHR.Sturmtiones. Sic libro, qui enucleata,apud (1635 – 1703)
diameter alieuius circuli81: autem hinc est ponatur ai1689, p. Promptum inferre, silegiturbergae
illius nomen de-ea enim inter eas ratio,fuerit potestappellari posse (quaecumquecircumfereniiam
rationem circumferentiae ad diametrumetiam W. Joneslittera Quine).signari (1675 – 1749)
matheseos or newvide W.a. 1706 littera palmariorumJoNES, Synopsisipsa designaverat;
hune de-London 243. Verumtamen Eulerusintroduction to the mathematics, primus1706, p.
sive motus scientiareddidit Iam in inscribitur Mechanicamodum generalem. libro, quisignandi
JEuleri series vol. 1 etLeonsardi1736, Opera omnia, II, 2, saepe-analytice exposita, Petropoli
ad diametrum littera it denotaverat. Litterased non constanter rationem circumferentiaenumero
Variae observationes circa seriesin Commentatione 72invenitur praeterea (indicis Enestroemiani):
Leoneardt EuleriComment. acad. se. 9 Opera omnia,infinitas, Petrop. 1744, p. 160;(1737),
uti etiam in nonnullis14. In 74 nota laudataseries vol. quidem praecedentiI,
usus litteraeEulerus loco ? sed inde ab eodissertationibus prae-p temporeprioribus scripsit,
fiebat edita esset.valebat et mox omnino cum haee Introductiogeneralis, praesertim
circuli vide F.De historia numeri n et omnino de historia ârchimedes,RUDIO,quadraturae
etVier iiber die etc., 1892,Lambert, Legendre, Kreismessung LeipzigÂbhandlungenHUYGENS,
K.1913. A.W. the aE. Squaring circle, Tiistory of tlie problém, CambridgeHobson,DE TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTISQUANTITATIBUS93-94] 135TOMI PRIMI CAPUT136 Vni §128–129 [94–95
Hinc substituendo etc. eritloco y n,arcus -^n, yTt
= + cos. « = -j- cos. zsm. l-r- n-z\ sin. (– tt – sj
= – sin. z sin. z= +cos. I – n-z\ cos. – n – z)
– – *==sin. sin. z sin. sin. z-f-(n-z) (71 – #)
cos' cos. zcos. = -cos.*(* + *) ^)
= –=» – sin. cos. «sin. cos. z (jn – 0)(~ rc + s)
– – sin. «=+sin.^ cos.(|-7r – z)cos.(y7r + s)
= –sin. sin. z sin. sin. z=+(2^ + ^) (2?r – z)
= =cos. cos. z cos. cos. z++(2?r + ^) (2?r – *)
numerum eritSi denotetergo w integrum quemcunque,
= cos. z+ sin.sin. cos. z= +(^~n-z) (^^n – z)
== – sin. «sm. z
z)cos. (– ~– n-z) ) cos.( – – n –
2/4w+2 /4n+2 –– –== ==n–n zsin.sm. sin.sin. zsm. sm. sm.-f +sïr.z+z)( – 2 7i-z) ( – A
2/4w +/4w + 2 = – cos. zcos. cos. z cos.
( – – n – z) = –( – -= – n-z)
/4w + 3/4w + 3 = – sm. cos. zsm. cos. z z) = –( – – n –( – – n-z) )
/4w + 3/4w+3 = –sm. z sm. z
cos. ( – -1 – n – z))cos. ( – ^– n + z) = +
/4n + 4/4w + 4 === sm. – sm. zsm. sm. z++ ^J ( – – n – z )))( -– – ?r
== cos. cos. zcos- e ++) ( – – n-–z) )cos. ( – K–nJt- z
affirmativus sivesive n sit numerusformulae veraeQuae negativussunt,
integer.DE TRANSCENDENTIBUS EXQUANTITATIBUS CIRCULO ORTIS95-96] 131
of on .0:1.
arcuum. ex his sinus et cosinus ita se habebunt:compositorum
sin. cos.0 = p 0 =» q
sin. cos.(y -{- 0) =*mq+ np (y + ^)== nq – mp
sin. == 2 mnq +(2y + 0) (nn – mm)p 2.mnpcos.(2y z) = (nn – mm)q –
sin. cos.+ = (3wm2 – +(3y z) = (^3~m*)q (3y 0) 3m?n)q
+ (w3– 3m2w)j) – (3 m,n* – mz)p
etc. etc.
Arcus isti
etc.z, y + 2, 2y + 0, 3y + 0
in arithmetica eorum vero tam sinus cosinusprogressione progrediuntur, quam
recurrentem ex denominatoreprogressionem constituunt, qualis
EULERILeokhabw omnia Is inIntroductio infinitorum 18Opera analysinTOMI PRIMI138 CAPUT Vin § 129– 131 [96
itemque
et
arithmetica tambeneficio arcuum inCuius progredientiumprogressionelegis
formarisinus cosinus, libuerit, expedite possunt.quousquequam
addendis vel subtrahendisvelhiserit expressionibus
estQuia porro
atque
erit modopari
Sit
y
ex his formuliserit postremis
sinus et cosinus.eius semissisunde ex dato cosinu cuiusque anguli reperiunturDE TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTISQUANTITATIBUS96-97] 139
in formulis substitutis habebuntur hae tan-quibus superioribus aequationes,
totidem theoremata:quam
Ex his divisionis haec theorematanascunturporro ope
his deducuntur ista theorematadeniqueEx
18*TOMI PRIMI CAPUT 132–134140 VIII § [97-98DE TRANSCENDENTIBUS EX CIRCULO ORTISQUANTITATIBUS98–99] 141
Unde ob eritsignorum ambiguitatem
Evolutis binomiis hisce erit seriesergo per
i134. Sit arcus z =infinite erit sin.£ £ et cos.# sit nautemparvus; 1;
numerus infinite ut sit arcus nz finitaeinagnus, magnitudinis, puta ns>=v;
= =====ob sin. z z eritn
Dato arcu v harum serierum eius sinus et cosinus inveniriergo ope pote-
formularum ususrunt; arcum v essequarum quo admagis pateat, ponamusVUITOMI PRIMI CAPUT 134§ [99–100142
nunc valorseu 90° ut m ad n seu esse Quia ipsiusquadrantem = ~'Y'
n si is substituatur,constat, ubique prodibit1)
sin.A.– 90°n
i 916632679489661923132161,57079?
– 062462536557565639409750,64596
46167045120505549526262_|_0* 0,07969
JO? 06854639688100,004681754135318
3598218726 60904411847870,00016_|_ rr
21208534045853598843235–0,00000n11
21729219679268117800569+ • 0,00000n
“ 688035109811467 23200006
0,00000
935731106195700000060660,00000+
™1 0,0000000000000437706546731374
+ ^.0,0000000000000002571422892860
0,00000 00000000000012538995405n
55200000000000000051564+ ?£ • 0,00000
™ 0,00000 00000 00000 0000000181 240w27
m29
w29+ • 0,0000000000 000000000000000551