Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles

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Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Théorème : Tout polynôme B , tel que ( ) ∑ = = m i i i xbxB 1 s'écrit de façon unique sous la forme : ( ) ( ) ( )∏∏ ?? ++?= Jj m jj Ii n k ji xxxxB ??? 2 Où j? et j? sont des couples réels tous distincts tels que ll xx ?? ++2 n'admette pas de racines réelles, les i? sont des réels tous distincts. in et jm sont des entiers strictement positifs. Théorème : Soit ( ) ( )( )xB xA xf = où A et B sont deux polynômes, tels que ( ) ( ) ( )∏∏ ?? ++?= Jj m jj Ii n i ji xxxxB ??? 2 Il existe P un polynôme et kia , , jib , et jic , des constantes tels que : ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑ ? =? = ? ? ? ? ??? ? ++ + +??? ? ??? ? ? += Jj m l l jj ljlj Ii n k k i ki ii xx cxb x a xPxf 0 2 ,, 0 , ??? Définition : P est la partie entière de f .

  • xb xr

  • pole double

  • degré supérieur

  • unique couple de polynômes

  • polynôme

  • polynôme irréductible de degré


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Langue Français
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Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles
Théorème :
Tout polynôme
B
, tel que
(
29
=
=
m
i
i
i
x
b
x
B
1
s’écrit de façon unique sous la forme :
(
29
(
29
(
29
+
+
-
=
J
j
m
j
j
I
i
n
k
j
i
x
x
x
x
B
γ
β
α
2
j
β
et
j
γ
sont des couples réels tous distincts tels que
l
l
x
x
γ
β
+
+
2
n'admette pas de racines réelles, les
i
α
sont des
réels tous distincts.
i
n
et
j
m
sont des entiers strictement positifs.
Théorème :
Soit
(
29
(
29
(
29
x
B
x
A
x
f
=
A
et
B
sont deux polynômes, tels que
(
29
(
29
(
29
+
+
-
=
J
j
m
j
j
I
i
n
i
j
i
x
x
x
x
B
γ
β
α
2
Il existe
P
un polynôme et
k
i
a
,
,
j
i
b
,
et
j
i
c
,
des constantes tels que :
(
29
(
29
(
29
(
29
∑ ∑
∑ ∑
=
=
+
+
+
+
-
+
=
J
j
m
l
l
j
j
l
j
l
j
I
i
n
k
k
i
k
i
i
i
x
x
c
x
b
x
a
x
P
x
f
0
2
,
,
0
,
γ
β
α
Définition :
P
est la partie entière de
f
.
Si
i
α
est une racine d’ordre
i
n
du polynôme
B
on dit que c’est un pole d’ordre
i
n
de la fraction
rationnelle
f
, on appelle pole simple un pole d’ordre 1.
j
j
x
x
γ
β
+
+
2
s’appelle polynôme irréductible de degré 2.
La décomposition se déroule en plusieurs étapes.
Première étape : déterminer la partie entière s’il y en a une, c’est-à-dire si
B
d
A
d
o
o
, si ce n’est pas le cas on
passe directement à la deuxième étape.
Soit
(
29
=
=
n
j
i
j
j
x
a
x
A
et
(
29
=
=
m
i
i
i
x
b
x
B
1
avec
m
n
, on effectue la division euclidienne de
A
par
B
.
Théorème :
Il existe un unique couple de
polynômes
(
29
R
Q
,
avec
B
d
R
d
o
o
tels que :
(
29
(
29
(
29
(
29
x
R
x
Q
x
B
x
A
+
=
Exemple :
(
29
(
29
(
29
1
7
4
6
4
5
2
3
4
7
+
-
-
+
+
+
-
-
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
x
A
x
f
7
4
6
2
3
4
7
+
+
+
-
-
x
x
x
x
x
1
4
5
+
-
-
x
x
x
2
3
6
7
x
x
x
x
+
-
-
7
4
5
2
4
6
+
+
+
-
x
x
x
x
x
x
x
x
+
-
-
2
5
6
7
3
6
2
4
5
+
+
+
-
x
x
x
x
1
4
5
+
-
-
x
x
x
6
4
6
2
+
+
x
x
1
2
+
+
x
x
Dans un premier temps on cherche une puissance de
x
telle que, multiplié par
1
4
5
+
-
-
x
x
x
,
on trouve un
polynôme qui commence par
7
x
(le premier terme de
7
4
6
2
3
4
7
+
+
+
-
-
x
x
x
x
x
),
2
x
convient.
1