Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles

Dgoy

Description

Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles Théorème : Tout polynôme B , tel que ( ) ∑ = = m i i i xbxB 1 s'écrit de façon unique sous la forme : ( ) ( ) ( )∏∏ ?? ++?= Jj m jj Ii n k ji xxxxB ??? 2 Où j? et j? sont des couples réels tous distincts tels que ll xx ?? ++2 n'admette pas de racines réelles, les i? sont des réels tous distincts. in et jm sont des entiers strictement positifs. Théorème : Soit ( ) ( )( )xB xA xf = où A et B sont deux polynômes, tels que ( ) ( ) ( )∏∏ ?? ++?= Jj m jj Ii n i ji xxxxB ??? 2 Il existe P un polynôme et kia , , jib , et jic , des constantes tels que : ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑ ? =? = ? ? ? ? ??? ? ++ + +??? ? ??? ? ? += Jj m l l jj ljlj Ii n k k i ki ii xx cxb x a xPxf 0 2 ,, 0 , ??? Définition : P est la partie entière de f .

• xb xr


• pole double


• degré supérieur


• unique couple de polynômes


• polynôme


• polynôme irréductible de degré

Sujets

• Polynôme

Informations

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• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles

Théorème :

Tout polynôme

B

, tel que

(

29

∑

=

=

m

i

i

i

x

b

x

B

1

s’écrit de façon unique sous la forme :

(

29

(

29

(

29

∏

∏

∈

∈

+

+

-

=

J

j

m

j

j

I

i

n

k

j

i

x

x

x

x

B

γ

β

α

2

Où

j

β

et

j

γ

sont des couples réels tous distincts tels que

l

l

x

x

γ

β

+

+

2

n'admette pas de racines réelles, les

i

α

sont des

réels tous distincts.

i

n

et

j

m

sont des entiers strictement positifs.

Théorème :

Soit

(

29

(

29

(

29

x

B

x

A

x

f

=

où

A

et

B

sont deux polynômes, tels que

(

29

(

29

(

29

∏

∏

∈

∈

+

+

-

=

J

j

m

j

j

I

i

n

i

j

i

x

x

x

x

B

γ

β

α

2

Il existe

P

un polynôme et

k

i

a

,

,

j

i

b

,

et

j

i

c

,

des constantes tels que :

(

29

(

29

(

29

(

29

∑ ∑

∑ ∑

∈

=

∈

=

+

+

+

+

-

+

=

J

j

m

l

l

j

j

l

j

l

j

I

i

n

k

k

i

k

i

i

i

x

x

c

x

b

x

a

x

P

x

f

0

2

,

,

0

,

γ

β

α

Définition :

P

est la partie entière de

f

.

Si

i

α

est une racine d’ordre

i

n

du polynôme

B

on dit que c’est un pole d’ordre

i

n

de la fraction

rationnelle

f

, on appelle pole simple un pole d’ordre 1.

j

j

x

x

γ

β

+

+

2

s’appelle polynôme irréductible de degré 2.

La décomposition se déroule en plusieurs étapes.

Première étape : déterminer la partie entière s’il y en a une, c’est-à-dire si

B

d

A

d

o

o

≥

, si ce n’est pas le cas on

passe directement à la deuxième étape.

Soit

(

29

∑

=

=

n

j

i

j

j

x

a

x

A

et

(

29

∑

=

=

m

i

i

i

x

b

x

B

1

avec

m

n

≥

, on effectue la division euclidienne de

A

par

B

.

Théorème :

Il existe un unique couple de

polynômes

(

29

R

Q

,

avec

B

d

R

d

o

o

≤

tels que :

(

29

(

29

(

29

(

29

x

R

x

Q

x

B

x

A

+

=

Exemple :

(

29

(

29

(

29

1

7

4

6

4

5

2

3

4

7

+

-

-

+

+

+

-

-

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

B

x

A

x

f

7

4

6

2

3

4

7

+

+

+

-

-

x

x

x

x

x

1

4

5

+

-

-

x

x

x

2

3

6

7

x

x

x

x

+

-

-

7

4

5

2

4

6

+

+

+

-

x

x

x

x

x

x

x

x

+

-

-

2

5

6

7

3

6

2

4

5

+

+

+

-

x

x

x

x

1

4

5

+

-

-

x

x

x

6

4

6

2

+

+

x

x

1

2

+

+

x

x

Dans un premier temps on cherche une puissance de

x

telle que, multiplié par

1

4

5

+

-

-

x

x

x

,

on trouve un

polynôme qui commence par

7

x

(le premier terme de

7

4

6

2

3

4

7

+

+

+

-

-

x

x

x

x

x

),

2

x

convient.

1