Dénombrer et sommer Rappels ensemblistes

Charles Suquet

Description

• cours - matière potentielle : i

Table des matières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rappels ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 B?ections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ensembles finis et dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Rappels sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• caractère universel de la loi de poisson


• base du processus


• comparaison des intégrales ordinaires


• loi uniforme


• variable aléatoire


• lois


• indépendance

Sujets

• Loi uniforme
• Variable aléatoire
• Indépendance

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Table des matières
1 Dénombrer et sommer 5
1.1 Rappels ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ensembles finis et dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Rappels sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Séries à de signe non constant . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Séries doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Événements et Probabilités 51
2.1 Notion de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Modéliser l’aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1 Notion d’expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Une question de dés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 La probabilité comme mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Remarques sur le choix d’un modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.3 Épreuves répétées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Variables aléatoires 91
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.1 Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.4 Lois à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.4 Lois hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.5 Lois géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.6 Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Lois à densité classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.1 Lois uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4.2 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.3 Lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.4 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4 Espérance 127
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 Espérance d’une variable aléatoire positive . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Espérance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5 Vecteurs aléatoires et indépendance 161
5.1 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.1.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2 Indépendance de variables et vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.1 Suites indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.2 Indépendance des composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2.3 Indép et espérance de produits . . . . . . . . . . . . . . . 186
6 Théorèmes limites 191
6.1 Convergences de suites de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.1.1 Convergence presque sûre et en probabilité . . . . . . . . . . . . . 191
6.1.2 Convergence en moyenne d’ordre p . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.1.3 Bilan sur les convergences de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.2 Loi forte des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
26.2.3 L’aiguille de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A Intégrale de Riemann sur [a,b] 213
A.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.2 Riemann intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.3 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.3.1 Propriétés de l’ensembleR[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.3.2 Propriétés relatives à l’intervalle d’intégration . . . . . . . . . . . 232
A.4 Interversion limite intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B Intégrale généralisée 241
B.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B.2 Critère de Cauchy pour intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . 251
B.3 Intégrales généralisées de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . 257
B.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
B.4.1 Changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
B.4.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
B.4.3 Comparaison des intégrales ordinaires et généralisées . . . . . . . 267
Tables de la loi normale standard 269
Ch. Suquet, Cours I.P.É. 2010 34 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 2010Chapitre 1
Dénombrer et sommer
Compter des objets et faire des additions, voilà bien les deux activités les plus élé-
mentaires à la base des mathématiques. Et pourtant à y regarder de plus près, ce n’est
pas si facile. Déjà pour un ensemble fini, la méthode qui consiste à regarder ses éléments
l’un après l’autre et à les compter (donc à les numéroter) n’est applicable que pour de
«petits» ensembles. Le plus souvent on s’en sort en faisant une représentation de l’en-
semble à dénombrer à l’aide d’un autre ensemble plus familier. Cette représentation est
ce que l’on appelle une bijection. Elle est d’ailleurs à la base du processus de comptage
qui consiste simplement à mettre en bijection un ensemble avec un ensemble de nombres
entiers. Cette notion de bijection permet d’étendre en un certain sens le dénombrement
aux ensembles infinis.
L’extension de la notion de somme d’une suite finie de nombres à une suite infinie
conduit naturellement à la notion de série que nous réviserons dans ce chapitre. La
théorie des probabilités utilise implicitement une notion plus générale, celle de famille
sommable. Il s’agit de définir la somme, si elle existe, d’une famille de nombres indexée
∗par un ensemble infini qui n’est pas forcémentN ouN . Nous présentons cette théorie
dans la dernière partie du chapitre.
∗Dans tout ce qui suit, la notation{1,...,n} pour n∈N désigne l’ensemble de tous
les entiers compris au sens large entre 1 et n. L’écriture un peu abusive «∀i = 1,...,n»
signifie «∀i∈{1,...,n}».
1.1 Rappels ensemblistes
1.1.1 Opérations ensemblistes
Soit Ω un ensemble; A est un sous-ensemble (ou une partie) de Ω si tout élément
de A est aussi un élément de Ω (∀ω ∈ A, ω ∈ Ω). On n