Developpement decimal Fermat Demi periodes Gauss

Jerome Germoni

Description

Developpement decimal (Fermat) Demi-periodes (Gauss) Longueur de la periode (Artin) Miscellanea 1/7=0,142.857... : bribes de mathematiques non appliquees IREM de Limoges, 28 fevrier 2008 Jerome Germoni (universite Lyon 1 – IREM) IREM de Limoges, 28 fevrier 2008 1/7=0,142.857... : bribes de mathematiques non appliquees

• calculer de tete


• contrat didactique


• demi-periodes


• irem de limoges

Sujets

• Contrat didactique

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Extrait

D´eveloppementde´cimal(Fermat) Demi-pe´riodes(Gauss) Longueurdelap´eriode(Artin) Miscellanea

1/7=0,142.857...

IREM

de

:

bribesdemath´ematiques appliqu´ees

Limoges,

28

fe´vrier

2008

non

Je´rˆomeGermoni(universite´Lyon1–IREM) http://math.univ-lyon1.fr/ ~ germoni/diffusion/

IREMdeLimoges,28fe´vrier2008

1/7=0,142.857...:bribesdemath´ematiquesnonapplique´es

Devinettes

De´veloppementd´ecimal(Fermat) Demi-p´eriodes(Gauss) Longueurdelape´riode(Artin) Miscellanea

Devinettes 1 tˆdeerul3-e5eletffihceme`1ederaCcl/53. 2 1deCalculerdetˆetle5e-2e`emhcffier/53. 3 lcCaerulˆtedlete-72eeme`1eredhcffi/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectu´ees?

IREMdeLimoges,28fe´vrier2008

1/7=0,142.857...:bribesdemathe´matiquesnonappli´ quees

Devinettes

De´veloppementd´ecimal(Fermat) Demi-periodes (Gauss) ´ Longueurdelape´riode(Artin) Miscellanea

Devinettes 1 ered1tˆdeerullcCaffihceme`-35elete/53. 2 aCclluerdetˆetele52-`ehcemerffi1ed/53. 3 eem2e-7eredhcffi1lcCaerultˆdeelet/53. ` 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileffectue´es?

Uner´eponse? 4 .euneteredtaisfpa’aln,i57+8uc´l1e24ilnacalaSiJu Donc,

IREMdeLimoges,28f´evrier2008

1/7=0,142.857...:bribesdemathe´matiquesnonappliqu´ees

Devinettes

De´veloppementd´ecimal(Fermat) Demi-periodes (Gauss) ´ Longueurdelap´eriode(Artin) Miscellanea

Devinettes 1 1edeClauceldrteeˆtele53-`emechiffr/53. 2 laCelucetrdteˆe52leem-`e1edffrhiec/53. 3 ede1hiffremec27-`eleteˆtedreluclaC/53. 4 Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combien de retenues a-t-il effect ´ s ? uee

Unere´ponse? 4 tenuderee.li’n58,7aftipasalccanaia2+14´eulluJiS Donc,par contrat didactique, il n’a pas fait de retenue !

IREMdeLimoges,28f´evrier2008

1/7=0,142.857...:bribesdemath´ematiquesnonappliqu´ees

Developpementde´cimal(Fermat) ´ em per D i- ´ iodes (Gauss) Longueurdelape´riode(Artin) Miscellanea

Introduction

= 0, 857 142142 857 142 857

1 7 D´eveloppement

cyclique.

IREMdeLimoges,28fe´vrier2008

. . .

1/7=0,142.857...:bribesdemathe´matiquesnonappliquees ´

D´eveloppementd´ecimal(Fermat) Demi-pe´riodes(Gauss) Longueur d l ´riode (Artin) e a pe Miscellanea

Introduction

= 0,142 857 142 857 857 142

1 7 Developpem ´ Pas de demi-

IREM de

ent cyclique. mesure :

142 + 857 = 999.

Limoges, 28 fevrier 2008 ´

. . .

1/7=0,142.857...:bribesdemath´ematiquesnonapplique´es

Developpementd´ecimal(Fermat) ´ Demi´eriodes(Gauss) -p Longueurdelap´eriode(Artin) Miscellanea

Introduction

= 0, 857 142 857 142142 857

1 7 De´veloppem Pas de demi-

Silence,

1 7 4 7

on

ent cyclique. mesure :

tourne

!

= 0,142857∙ ∙ ∙

= 0,571428∙ ∙ ∙

,

,

142 + 857 = 999.

2 7 5 7

= 0,285714∙ ∙ ∙

= 0,714285∙ ∙ ∙

IREMdeLimoges,28fe´vrier2008

,

,

3 7 6 7

. . .

= 0,428571∙ ∙ ∙

= 0,857142∙ ∙ ∙

,

1/7=0,142.857...:bribesdemath´ematiquesnonappliquees ´

De´veloppementd´cimal(Fermat) e Demi-pe´riodes(Gauss) Longueurdelape´riode(Artin) Miscellanea

Figurestut´elaires

Suivant Gauss,Disquisitiones arithmeticæ(1801), on s’int´ e au eress de´veloppementd´ecimalde1/po,u`pest un nombre premier.

1 -e`mechiffre

p-eme chiffre p+ 2 ` ation : nombres premiers

Not

:

longueurp−1

P={2,3,5,7,11,13,17, . . .}.

IREMdeLimo28f´evrier2008 ges,

1/7=0,142.857...:bribesdemath´ematiquesnonapplique´es