E s t i m a t i o n s d i s p e r s i v e s e t a p p l i c a t i o n s

(Antoinette Bardot)

Description

E s t i m a t i o n s d i s p e r s i v e s e t a p p l i c a t i o n s a l ' e q u a t i o n d e S c h r o d i n g e r L 2 ? c r i t i q u e p a r F a b r i c e P L A N C H O N O n s ' i n t e r e s s e a u p r o b l e m e d e C a u c h y s u i v a n t ( 1 ) { i ∂ t u + ∆ u = ± | u | 2 u u | t = 0 = u 0 ( x ) , x ? R 2 . D a n s t o u t c e q u i s u i t , o n n e c o n s i d e r e r a q u e d e s d o n n e e s p e t i t e s ( o u d e s r e s u l t a t s l o c a u x e n t e m p s ) , d e s o r t e q u e l e s i g n e e t l a f o r m e e x a c t e d e

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

Estimations
disp
ersiv
es
et
applications
2
`
a
l’
´
equation
de
Sc
hr¨
odinger
L
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critique
par
F
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PLANCHON
On
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t
´
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`
eme
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h
y
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t
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u
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u
j
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t
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2
u
j
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(
x
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x
2
R
:
t
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0
Dans
tout
ce
qui
suit,
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`
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que
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´
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p
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´
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que
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et
la
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exacte
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´
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´
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t
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imp
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:
3
2
on
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`
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u
(
x
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0
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t
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u
(
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?
t
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λ
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en
dimension
2,
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u
k
2
=
k
u
k
2
.
0
,λ
L
0
L
x
x
s
Conform
´
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t
`
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usuelle,
(1)
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lo
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t
bien
p
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p
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2
H
,
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s
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0
(v
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[4]).
En
particulier,
(1)
est
globalemen
t
bien
p
os
´
e
p
our
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p
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donn
´
ees
2
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L
.
Compte
ten
u
de
(2),
toute
p
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´
ee
u
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0
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`
un
param
`
etre.
Aussi
il
est
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de
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s’il
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des
solutions
in
v
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tes
par
le
c
hangemen
t
d’
´
ec
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x
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t
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e
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´
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eme
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`
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´
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2
1
p
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L
ne
s’applique
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le
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e
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fonction
homog
`
ene,
,
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´
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t
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x
j
2
dans
L
.
Dans
[5],
les
auteurs
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t
l’espace
n
o
1
/
4
4
(4)
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j
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t
k
S
(
t
)
u
k
<
+
1
0
0
L
x
t
Lab
oratoire
d’Analyse
Num
´
erique,
URA
CNRS
189,
Univ
ersit
´
e
Pierre
et
Marie
Curie,
BC
187,
4,
Place
Jussieu,
75252
P
aris
Cedex,
FRANCE,
e-mail
:
[e-mail]6
2
x
ϕ
(
)
j
x
j
1
1
p
our
lequel
ils
mon
tren
t
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t
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`
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(
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C
(
S
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j
x
j
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asso
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e
p
our
les
solutions
de
(1),
n
o
1
/
4
4
(5)
u
(
x;
t
)
j
sup
t
k
u
(
x;
t
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k
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L
x
t
se
pr
ˆ
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bien
`
a
un
p
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t
fixe,
en
utilisan
t
la
disp
ersion.
P
ar
ailleurs,
l’existence
de
solutions
2
L
rep
ose
sur
l’estimation
de
Stric
hartz,
4
2
(6)
k
S
(
t
)
u
k
.
k
u
k
;
0
0
L
L
t
?
x
4
qui
m
`
ene
`
a
un
p
oin
t
fixe
dans
L
.
On
p
eut
donc
se
demander
s’il
existe
une
fa
con
¸
de
t
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x
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r
´
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de
[4]
et
[5]
en
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´
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de
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h
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B
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´
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v
´
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p
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`
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´
earit
´
e
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yp
e
u
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p
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´
ep
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s
,
1
c
s
˙
c
˙
[12]
:
il
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relaxer
l’espace
de
Sob
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critique
H
a
`
l’espace
de
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v
B
,
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´
efini
2
par
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oir
[1])
Z
2
j
s
2
c
ˆ
(7)
sup
2
j
f
j
(
?
)
d?
<
+
1
:
j
j
+1
j
2
Z
2
<
j
ξ
j
<
2
2
Dans
ce
cadre,
s
=
1
?
>
0,
ce
qui
est
essen
tiel
p
our
comp
enser
l’absence
c
p
?
1
s
,
1
c
˙
de
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´
e
des
blo
cs
fr
´
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d’une
fonction
de
B
.
P
our
s
=
0,
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2
appro
c
he
sem
ble
s’effondrer.
Cep
endan
t,
en
dimension
2
d’espace,
il
existe
de
nom
breuses
g
´
en
´
eralisations
de
(6),
toutes
plus
ou
moins
reli
´
ees
aux
progr
`
es
r
´
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ts
sur
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conjectures
de
restriction
en
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harmonique
([10],
[16],
[17])
ou
aux
propri
´
et
´
es
particuli
`
eres
de
l’exp
osan
t
4
([2],
[7]).
Ainsi,
il
a
´
et
´
e
tr
`
es
r
´
ecemmen
t
mon
tr
´
e
dans
[3]
que
(1)
est
bien
2
,
1
p
os
´
e,
p
our
u
ˆ
2
L
,
l’espace
de
Leb
esgue
faible,
d
´
efini
par
exemple
par
0
Z
1
/
2
ˆ
(8)
j
f
j
.
j
E
j
;
p
our
tout
b
or
´
elien
E
:
E
2
Cet
espace
con
tien
t
bien
s
ur
ˆ
L
,
ainsi
que
les
donn
´
ees
homog
`
enes
telles
que
u
ˆ
j
1
2
0
S
2
1
L
(
S
).
0
,
1
˙
Nous
nous
prop
osons
de
mon
trer
que
le
m
ˆ
eme
r
´
esultat
est
vrai
p
our
u
2
B
.
0
2
2
,
1
Av
an
t
d’
´
enoncer
le
r
´
esultat,
il
con
vien
t
de
faire
quelques
remarques.
Les
espaces
F
L
0
,
1
0
,
1
?
1
i
ξ
?
x
2
,
1
0
˙
˙
et
B
son
t
distincts
;
en
effet,
j
x
j
e
2
F
L
mais
pas
a
`
B
p
our
?
=
0,
et
0
2
2
r
´
ecipro
quemen
t,
une
fonction
a
`
s