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E s t i m a t i o n s d i s p e r s i v e s e t a p p l i c a t i o n s

De
11 pages
E s t i m a t i o n s d i s p e r s i v e s e t a p p l i c a t i o n s a l ' e q u a t i o n d e S c h r o d i n g e r L 2 ? c r i t i q u e p a r F a b r i c e P L A N C H O N O n s ' i n t e r e s s e a u p r o b l e m e d e C a u c h y s u i v a n t ( 1 ) { i ∂ t u + ∆ u = ± | u | 2 u u | t = 0 = u 0 ( x ) , x ? R 2 . D a n s t o u t c e q u i s u i t , o n n e c o n s i d e r e r a q u e d e s d o n n e e s p e t i t e s ( o u d e s r e s u l t a t s l o c a u x e n t e m p s ) , d e s o r t e q u e l e s i g n e e t l a f o r m e e x a c t e d e
Voir plus Voir moins

Estimations
disp
ersiv
es
et
applications
2
`
a
l’
´
equation
de
Sc
hr¨
odinger
L
?
critique
par
F
abrice
PLANCHON
On
s’in
t
´
eresse
au
probl
`
eme
de
Cauc
h
y
suiv
an
t
(
2
i
@
u
+
Δ
u
=
?j
u
j
u
t
(1)
2
u
j
=
u
(
x
)
;
x
2
R
:
t
=0
0
Dans
tout
ce
qui
suit,
on
ne
consid
`
erera
que
des
donn
´
ees
p
etites
(ou
des
r
´
esultats
lo
caux
en
temps),
de
sorte
que
le
signe
et
la
forme
exacte
de
la
non-lin
´
earit
´
e
son
t
sans
imp
ortance
:
3
2
on
traiterait
pareillemen
t
u
ou
f
(
j
u
j
)
u
a
v
ec
des
h
yp
oth
`
eses
con
v
enables
sur
f
.
L’
´
equation
(1)
est
in
v
arian
te
par
le
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle
(
u
(
x
)
=
?
u
(
?x
)
0

0
(2)
2
u
(
x;
t
)
=
?
u
(
?x;
?
t
)
;
λ
donc
en
dimension
2,
k
u
k
2
=
k
u
k
2
.
0

L
0
L
x
x
s
Conform
´
emen
t
`
a
l’heuristique
usuelle,
(1)
est
lo
calemen
t
bien
p
os
´
e
p
our
u
2
H
,
0
s
?
0
(v
oir
[4]).
En
particulier,
(1)
est
globalemen
t
bien
p
os
´
e
p
our
de
p
etites
donn
´
ees
2
dans
L
.
Compte
ten
u
de
(2),
toute
p
etite
donn
´
ee
u
engendre
une
famille
de
solutions
0
a
`
un
param
`
etre.
Aussi
il
est
naturel
de
se
demander
s’il
existe
des
solutions
in
v
arian
tes
par
le
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle,
c’est-`
a-dire
de
la
forme
³
´
1
x
(3)
u
(
x;
t
)
=
p
U
p
:
t
t
La
donn
´
ee
initiale
dev
an
t
ˆ
etre
homog
`
ene
de
degr
´
e
?
1,
le
th
´
eor
`
eme
d’existence
a
`
donn
´
ees
2
1
p
etites
dans
L
ne
s’applique
pas,
le
protot
yp
e
de
fonction
homog
`
ene,
,
n’
´
etan
t
pas
j
x
j
2
dans
L
.
Dans
[5],
les
auteurs
in
tro
duisen
t
l’espace
n
o
1
/
4
4
(4)
u
j
sup
t
k
S
(
t
)
u
k
<
+
1
0
0
L
x
t
Lab
oratoire
d’Analyse
Num
´
erique,
URA
CNRS
189,
Univ
ersit
´
e
Pierre
et
Marie
Curie,
BC
187,
4,
Place
Jussieu,
75252
P
aris
Cedex,
FRANCE,
e-mail
:
fab@ann.jussieu.fr6
2
x
ϕ
(
)
j
x
j
1
1
p
our
lequel
ils
mon
tren
t
qu’il
con
tien
t
des
fonctions
homog
`
enes
(
a
v
ec
'
2
C
(
S
)
j
x
j
par
exemple),
et
que
l’espace
asso
ci
´
e
p
our
les
solutions
de
(1),
n
o
1
/
4
4
(5)
u
(
x;
t
)
j
sup
t
k
u
(
x;
t
)
k
<
+
1
L
x
t
se
pr
ˆ
ete
bien
`
a
un
p
oin
t
fixe,
en
utilisan
t
la
disp
ersion.
P
ar
ailleurs,
l’existence
de
solutions
2
L
rep
ose
sur
l’estimation
de
Stric
hartz,
4
2
(6)
k
S
(
t
)
u
k
.
k
u
k
;
0
0
L
L
t
?
x
4
qui
m
`
ene
`
a
un
p
oin
t
fixe
dans
L
.
On
p
eut
donc
se
demander
s’il
existe
une
fa
con
¸
de
t
?
x
com
biner
les
r
´
esultats
de
[4]
et
[5]
en
un
unique
r
´
esultat,
de
t
yp
e
probl
`
eme
de
Cauc
h
y
2
bien
p
os
´
e
dans
un
espace
B
qui
con
tienne
`
a
la
fois
L
et
les
donn
´
ees
homog
`
enes
v
´
eri
fian
t
p
(4).
Dans
le
cas
o
u
`
la
non-lin
´
earit
´
e
est
de
t
yp
e
u
,
p
>
3,
on
trouv
era
une
r
´
ep
onse
dans
s
,
1
c
s
˙
c
˙
[12]
:
il
suffit
de
relaxer
l’espace
de
Sob
olev
critique
H
a
`
l’espace
de
Beso
v
B
,
d
´
efini
2
par
(v
oir
[1])
Z
2
j
s
2
c
ˆ
(7)
sup
2
j
f
j
(
?
)
d?
<
+
1
:
j
j
+1
j
2
Z
2
<
j
ξ
j
<
2
2
Dans
ce
cadre,
s
=
1
?
>
0,
ce
qui
est
essen
tiel
p
our
comp
enser
l’absence
c
p
?
1
s
,
1
c
˙
de
sommabilit
´
e
des
blo
cs
fr
´
equenciels
d’une
fonction
de
B
.
P
our
s
=
0,
cette
2
appro
c
he
sem
ble
s’effondrer.
Cep
endan
t,
en
dimension
2
d’espace,
il
existe
de
nom
breuses
g
´
en
´
eralisations
de
(6),
toutes
plus
ou
moins
reli
´
ees
aux
progr
`
es
r
´
ecen
ts
sur
les
conjectures
de
restriction
en
analyse
harmonique
([10],
[16],
[17])
ou
aux
propri
´
et
´
es
particuli
`
eres
de
l’exp
osan
t
4
([2],
[7]).
Ainsi,
il
a
´
et
´
e
tr
`
es
r
´
ecemmen
t
mon
tr
´
e
dans
[3]
que
(1)
est
bien
2
,
1
p
os
´
e,
p
our
u
ˆ
2
L
,
l’espace
de
Leb
esgue
faible,
d
´
efini
par
exemple
par
0
Z
1
/
2
ˆ
(8)
j
f
j
.
j
E
j
;
p
our
tout
b
or
´
elien
E
:
E
2
Cet
espace
con
tien
t
bien
s
ur
ˆ
L
,
ainsi
que
les
donn
´
ees
homog
`
enes
telles
que
u
ˆ
j
1
2
0
S
2
1
L
(
S
).
0
,
1
˙
Nous
nous
prop
osons
de
mon
trer
que
le
m
ˆ
eme
r
´
esultat
est
vrai
p
our
u
2
B
.
0
2
2
,
1
Av
an
t
d’
´
enoncer
le
r
´
esultat,
il
con
vien
t
de
faire
quelques
remarques.
Les
espaces
F
L
0
,
1
0
,
1
?
1
i
ξ
?
x
2
,
1
0
˙
˙
et
B
son
t
distincts
;
en
effet,
j
x
j
e
2
F
L
mais
pas
a
`
B
p
our
?
=
0,
et
0
2
2
r
´
ecipro
quemen
t,
une
fonction
a
`
supp
ort
fr
´
equenciel
lo
calis
´
e
autour
de
?
,
telle
que
1
Z
Z
2
ˆ
ˆ
j
f
(
?
)
j
?
j
f
(
?
)
j
?
1
;
j
j
+1
j
j
+1
2
?j
ξ
j?
2
2
?j
ξ
j?
23
2
,
1
2
ne
sera
pas
dans
F
L
.
P
ar
ailleurs,
lorsqu’on
se
restrein
t
a
`
la
non-lin
´
earit
´
e
?j
u
j
u
,
il
existe,
outre
le
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle,
deux
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qui
laissen
t
in
v
arian
tes
les
solutions
de
l’
´
equation.
Il
s’agit
de
la
tranformation
galil
´
eenne,
2
ξ
0
i
ξ
?
x
ξ
i
ξ
?
x
?
it
j
ξ
j
0
0
0
0
u
(
x
)
=
e
u
(
x
)
?
!
u
(
x;
t
)
=
e
u
(
x
?
2
t
?
;
t
)
0
0
0
et
la
transformation
pseudo-conforme,
2
i
j
x
j
³
´
t
e
x
1
u
˜
(
x
)
=
u
ˆ
(
x
)
?
!
u
˜
(
x;
t
)
=
u
;
:
0
0
t
t
t
2
2
4
Dans
le
cadre
u
2
L
,
la
norme
L
ainsi
que
la
norme
de
p
oin
t
fixe
L
son
t
pr
´
eserv
´
ees
0
t
?
x
0
,
1
2
,
1
˙
par
ces
transformations.
Ce
n’est
pas
le
cas
dans
le
cadre
F
L
et
B
.
Si
l’on
s’autorise
0
la
construction
de
solutions
mo
dulo
les
transformations
pr
´
ec
´
eden
tes,
il
n’est
donc
pas
clair
ce
que
signi
fien
t
les
div
erses
conditions
de
p
etitesse
ou
ce
que
mesuren
t
les
quan
tit
´
es
in
terv
enan
t
dans
la
construction.
Enon¸
cons
main
tenan
t
le
th
´
eor
`
eme
principal.
0
,
1
2
˙
Th
´
eor
`
eme
1.
Soit
u
2
B
(
R
)
,
telle
que
k
u
k
0
,
1
<
"
.
Alors
l’
´
equation
(1)
admet
0
0
˙
0
2
B
2
0
,
1
1
˙
une
solution
u
telle
que
u
2
L
(
B
)
,
et
u
(
x;
t
)
con
v
erge
faiblemen
t
v
ers
u
(
x
)
.
Cette
0
t
2
solution
est
unique
si
en
outre
elle
est
dans
une
p
etite
b
oule
de
4
4
¡
¢
¡
¢
3
μ,
1
1+9
μ
?
μ,
1
1
?
3
μ
(9)
F
=
B
L
\
B
L
4
4
t
t
1
?
3
μ
1+
μ
qu’on
d
´
efinit
ci-dessous
(0
<
?
?
1)
.
L’espace
compliqu
´
e
qui
appara
ˆ
ıt
dans
la
condition
d’unicit
´
e
est
bien
s
ur
ˆ
l’espace
o
u
`
0
s’effectuera
le
p
oin
t
fixe.
On
le
d
´
efinit
de
la
mani
`
ere
suiv
an
te
:
consid
´
erons
'
(
x;
t
)
2
S
,
P
n
s,q
r
˙
1
?
p
,
q
;
r
?
+
1
,
s
2
R
tel
que
s
?
<
0,
alors
'
2
B
(
L
)
est
d
´
efini
par
'
=
Δ
'
j
p
t
p
j
2
Z
0
dans
S
et
³
´
X
q
j
s
p
(10)
2
k
Δ
'
k
r
<
+
1
;
j
L
(
L
)
x
t
j
j
o
u
`
Δ
est
un
op
´
erateur
de
lo
calisation
en
fr
´
equence
(spatiale)
j
?
j
?
2
.
j
Nous
allons
main
tenan
t
donner
la
strat
´
egie
de
la
preuv
e
du
th
´
eor
`
eme
1,
en
r
´
ef
´
eran
t
a
`
[12
bis]
p
our
les
d
´
etails.
Le
p
oin
t
de
d
´
epart
est
(6),
lo
calis
´
e
en
fr
´
equence
:
(11)
sup
k
Δ
S
(
t
)
u
k
4
.
k
u
k
0
,
1
:
j
0
0
L
B
t
?
x
2
j4
Si
l’on
consid
`
ere
l’espace
d
´
efini
par
le
mem
bre
de
gauc
he
(rempla¸
can
t
S
(
t
)
u
par
u
(
x;
t
)),
0
il
n’appara
ˆ
ıt
pas
p
ossible
de
faire
des
estimations
de
pro
duits
;
c’est
la
raison
d’
ˆ
etre
de
l’espace
d
´
e
fini
par
(9),
qui
est
un
sous-espace
de
celui
d
´
e
fini
a
`
partir
de
(11)
(p
enser
?
=
0).
Nous
a
v
ons
donc
deux
estimations
`
a
mon
trer.
La
premi
`
ere
est
une
estimation
lin
´
eaire,
0
,
1
˙
(12)
u
2
B
=
)
S
(
t
)
u
2
F
;
0
0
2
?
qui
en
tra
ˆ
ıne
imm
´
ediatemen
t
par
l’argumen
t
usuel
de
dualit
´
e
(
T
T
)
des
estimations
p
our
l’
´
equation
inhomog
`
ene.
La
seconde
estimation
est
une
estimation
de
pro
duit
:
4
¡
¢
3
μ,
1
3+3
μ
˙
(13)
u
2
F
=
)
u
2
B
L
;
4
t
3
?
μ
´
etan
t
en
tendu
que
les
estimations
duales
de
(12)
nous
p
ermettrons
ensuite
de
b
oucler
un
p
oin
t
fixe
sur
l’
´
equation
in
t
´
egrale
asso
ci
´
ee
`
a
(1).
L’estimation
(13)
est
une
simple
cons
´
equence
des
tec
hniques
de
parapro
duit
que
nous
omettrons
ici.
Le
lecteur
atten
tif
notera
que
³
´
³
´
3
?
?
1
?
3
?
1
+
?
3
+
3
?
1
+
9
?
1
?
3
?
?
=
3
?
?
2(
?
)
;
=
+
2
;
=
+
2
:
4
4
4
4
4
4
Nous
allons
donc
nous
concen
trer
sur
(12),
qui
se
d
´
ecomp
ose
en
deux
parties.
La
premi
`
ere
repr
´
esen
te
un
gain
de
r
´
egularit
´
e
:
η
j
(14)
2
k
Δ
S
(
t
)
u
k
4
4
.
k
Δ
u
k
2
j
0
j
0
L
1
?
η
1+3
η
x
L
(
L
)
x
t
p
our
une
certaine
plage
de
?
>
0.
Ces
estimations
existen
t
en
fait
en
toute
dimension
et
son
t
une
cons
´
equence
du
th
´
eor
`
eme
de
Stein-T
omas
(restriction
a
`
la
sph
`
ere).
Il
est
a
`
noter
que
le
princip
e
sous-jacen
t
`
a
de
telles
estimations
n’est
pas
nouv
eau,
au
moins
dans
la
situation
analogue
p
our
les
ondes
(v
oir
[8],
app
endice
2,
ou
[15]).
Concr
`
etemen
t,
nous
allons
mon
trer
le
2
n
j
+1
j
Th
´
eor
`
eme
2.
Soit
u
2
L
(
R
)
telle
que
supp
u
ˆ
?
C
=
B
(0
;
2
)
n
B
(0
;
2
)
,
alors
0
0
j
j
?
n
+1
(15)
k
S
(
t
)
u
k
n
+1
.
2
k
u
k
2
:
0
0
L
2
x
n
?
1
2
L
(
L
)
x
t
1
Il
y
a
donc
un
gain
de
r
´
egularit
´
e
(spatiale)
de
.
Comme
(15)
est
in
v
arian
te
par
n
+1
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle,
on
supp
osera
que
u
ˆ
est
lo
calis
´
e
`
a
fr
´
equence
1.
Consid
´
erons
la
0
transform
´
ee
de
F
ourier
temp
orelle
de
S
(
t
)
u
:
0
Z
ix
?
ξ
2
(16)
u
˜
(
x;
?
)
=
e
?
(
?
?
j
?
j
)
u
ˆ
(
?
)
d?
:
05
A
?
fix
´
e,
c’est
la
transform
´
ee
de
F
ourier
in
v
erse
de
la
mesure
p
ort
´
ee
par
la
sph
`
ere
de
ra
y
on
p
2
?
,
de
densit
´
e
u
ˆ
(
?
)
.
P
ar
ailleurs
u
˜
est
`
a
supp
ort
compact
en
?
,
puisque
?
=
j
?
j
?
1.
0
Le
th
´
eor
`
eme
de
Stein-T
omas
nous
dit
que
d
(17)
k
f
dS
k
2(
n
+1)
.
k
f
k
2
n
?
1
L
(
S
)
n
?
1
n
L
(
R
)
p
n
o
u
`
dS
est
la
mesure
de
surface
de
S
.
En
rescalan
t
(17)
`
a
la
sh
`
ere
de
ra
y
on
?
,
en
p
p
l’apliquan
t
`
a
u
ˆ
(
?
)
dS
et
en
somman
t
sur
?
,
on
obtien
t
0
τ
k
u
˜
k
n
+1
.
k
u
ˆ
k
2
:
0
2
L
n
?
1
ξ
2
L
(
L
)
x
τ
n
+1
Comme
2
>
2,
on
applique
Mink
o
wski
puis
Planc
herel
p
our
conclure
que
n
?
1
k
S
(
t
)
u
k
n
+1
.
k
u
ˆ
k
2
=
k
u
k
2
;
0
0
L
0
L
2
n
?
1
2
L
(
L
)
x
t
ce
qui
ac
h
`
ev
e
la
d
´
emonstration.
Il
nous
reste
finalemen
t
`
a
mon
trer
(14)
p
our
des
v
aleurs
de
?
n
´
egativ
es.
C’est
cette
derni
`
ere
estimation
qui
est
la
plus
difficile
a
`
obtenir
et
qui
n’est
v
alable
qu’en
dimension
2.
Nous
allons
mon
trer
le
1
2
2
j
Th
´
eor
`
eme
3.
Soit
u
2
L
(
R
)
telle
que
supp
u
ˆ
?
B
(0
;
2
)
,
et
?
<
,
alors
0
96
μj
(18)
k
S
(
t
)
u
k
4
4
.
2
k
u
k
2
:
0
0
L
x
1+
μ
1
?
3
μ
L
(
L
)
x
t
L’optim
um
p
ossible
p
our
?
corresp
ond
`
a
une
estimation
de
t
yp
e
fonction
maximale,
1
c’est–`
a-dire
?
=
.
La
m
´
etho
de
de
preuv
e
que
nous
allons
donner
ne
p
eut
donner
plus
3
1
que
?
=
,
a
`
supp
oser
que
toutes
les
conjectures
de
restriction
soien
t
vraies.
Il
serait
donc
5
in
t
´
eressan
t
de
disp
oser
d’une
autre
appro
c
he,
la
pr
´
esen
te
preuv
e
consomman
t
b
eaucoup
p
our
un
faible
gain.
La
meilleur
estimation
de
t
yp
e
fonction
maximale
en
dimension
2
est
(a
v
ec
supp
u
ˆ
?
B
(0
;
1))
0
1
(19)
k
S
(
t
)
u
k
4
.
k
u
k
2
a
v
ec
?
<
:
0
0
L
x
1+
μ
1
16
L
(
L
)
x
t
En
reprenan
t
la
strat
´
egie
de
preuv
e
utilis
´
ee
p
our
(19)
dans
[16],
nous
mon
trerons
qu’on
4
1
?
3
μ
1
p
eut
am
´
eliorer
le
L
jusqu’`
a
L
,
au
prix
d’une
restriction
suppl
´
emen
taire
sur
?
.
La
t
t
premi
`
ere
´
etap
e
consiste
a
`
se
ramener
`
a
une
estimation
plus
faible,
1
(20)
k
S
(
t
)
u
k
4
4
.
k
u
ˆ
k
2
,
1
p
our
?
<
:
0
0
L
1+
μ
1
?
3
μ
ξ
32
L
L
x
t6
2
,
1
Ici
L
d
´
esigne
l’espace
de
Loren
tz
([1])
et
p
our
d
´
emon
trer
(20)
il
suffit
de
consid
´
erer
le
cas
de
u
ˆ
=
?
o
u
`
E
est
un
b
or
´
elien.
P
our
obtenir
(18)
`
a
partir
de
(20),
il
suffit
0
E
d’in
terp
oler
en
tre
(20)
et
l’estimation
(21)
k
S
(
t
)
u
k
4
.
k
u
ˆ
k
2
,
4
:
0
0
L
L
t
?
x
ξ
Cette
estimation,
similaire
a
`
d’autres
qu’on
trouv
era
dans
[3],
r
´
esulte
des
estimations
de
restriction
au
parab
olo
¨
ıde
en
dimension
3,
qui
se
reform
ulen
t
en
2
4
0
(22)
k
S
(
t
)
u
k
r
2
.
k
u
ˆ
k
p
our
=
;
γ
0
L
(
R
?
R
)
0
L
ξ
?
r
0
0
a
v
ec
1
?
?
<
2
+
"
(la
partie
difficile
´
etan
t
2
<
?
[17],
le
reste
r
´
esultan
t
de
Stein-
1
T
omas).
Ainsi,
(21)
s’obtien
t
`
a
partir
de
(22)
par
in
terp
olation
r
´
eelle,
puis
(18)
s’obtien
t
de
nouv
eau
par
in
terp
olation
r
´
eelle
en
tre
(21)
et
(20),
en
remarquan
t
que
d’une
part
2
,
1
2
,
4
2
[
L
;
L
]
1
=
L
et
que
d’autre
part
,
2
3
h
i
h
i
q
p
4
4
q
p
4
4
L
(
L
)
;
L
(
L
)
?
L
L
;
L
L
x
t
x
t
x
t
x
t
1
1
,
2
,r
3
3
p
our
r
>
2,
et
qu’il
suffit
alors
d’a
juster
r
p
our
pro
fiter
du
fait
que
h
i
³
´
p
q
p
q
p
q
q
0
0
1
1
0
1
L
(
L
)
;
L
(
L
)
=
L
[
L
;
L
]
θ
,p
θ
,p
1
θ
1
?
θ
lorsque
=
+
.
p
p
p
0
1
Il
nous
reste
donc
`
a
mon
trer
(20),
que
l’on
reform
ule
en
terme
de
restriction
au
2
parab
olo
¨
ıde
:
soit
d
?
la
mesure
de
surface
sur
?
=
j
?
j
,
g
=
?
une
densit
´
e
sur
d?
E
telle
que
E
?
S
un
carr
´
e
de
taille
unit
´
e
a
`
fr
´
equence
unit
´
e,
nous
dev
ons
mon
trer
que
1
/
2
d
k
g
d?
k
4
4
.
k
g
k
2
=
j
E
j
:
L
(

)
1+
μ
1
?
3
μ
L
(
L
)
x
t
Nous
allons
en
fait
mon
trer
que
°
°
°
d
d
°
(23)
g
d?
g
d?
2
2
.
j
E
j
:
1+
μ
1
?
3
μ
L
(
L
)
x
t
d
d
Le
passage
au
carr
´
e
n’est
pas
inno
cen
t,
il
p
ermet
de
d
´
ecomp
oser
le
pro
duit
g
d?
g
d?
en
somme
de
pro
duits
de
termes
don
t
les
supp
orts
fr
´
equenciels
son
t
angulairemen
t
s
´
epar
´
es
sur
le
parab
olo
¨
ıde.
On
p
eut
alors
appliquer
une
estimation
de
restriction
bilin
´
eaire
a
`
c
hacun
de
ces
termes,
qui
est
en
un
sens
meilleure
que
Stein-T
omas.
Il
s’agit
ensuite7
de
sommer
ces
con
tributions,
les
v
ariations
dans
l’
´
ecart
angulaire
causan
t
la
p
erte
d’in
t
´
egrabilit
´
e
en
temps.
S
´
eparons
donc
la
surface
S
(qu’on
p
eut
imaginer
comme
un
carr
´
e
de
taille
1
sur
le
j
j
?
2
j
parab
olo
¨
ıde)
en
O
(2
)
carr
´
es
de
taille
2
,
not
´
es
?
,
a
v
ec
j
?
0.
On
dira
que
deux
cub
es
k
son
t
apparen
t
´
es
lorsque
qu’ils
ne
son
t
pas
adjacen
ts
mais
que
leurs
paren
ts
le
son
t,
et
j
j
l’on
notera
?
?
?
.
Alors
0
k
k
X
X
[
j
[
j
d
d
(24)
g
d?
g
d?
=
g
d?
g
d?
:
k
k
0
k
,k
j
?
0
j
j
τ
?
τ
0
k
k
Cette
d
´
ecomp
osition
(de
t
yp
e
d
´
ecomp
osition
de
Whitney)
r
´
esulte
de
la
propri
´
et
´
e
g
´
eom
´
etrique
suiv
an
te
:
8
?
et
?
2
S
,
il
existe
une
unique
paire
de
cub
es
qui
les
con-
tiennen
t
et
soien
t
en
relation.
Nous
allons
alors
exploiter
autan
t
que
p
ossible
l’orthogonalit
´
e,
aussi
bien
en
temps
qu’en
espace.
T
out
d’ab
ord,
remarquons
qu’ind
´
ep
endammen
t
de
j
,
j
j
il
y
a
toujours
O
(1)
cub
es
?
en
relation
a
v
ec
?
.
On
in
tro
duit
0
k
k
X
j
[
j
\
j
(25)
f
=
g
d?
g
d?
:
0
k
k
k
0
k
j
j
τ
?
τ
0
k
k
j
Lorsque
k
v
arie,
les
supp
orts
des
f
son
t
essen
tiellemen
t
disjoin
ts
(ils
son
t
s
´
epar
´
es
k
angulairemen
t,
d
`
es
que
les
k
son
t
assez
´
eloign
´
es).
Cep
endan
t,
nous
v
oulons
prendre
d’ab
ord
une
norme
en
temps,
et
donc
exploiter
uniquemen
t
l’orthogonalit
´
e
en
temps.
j
Nous
group
ons
donc
les
f
par
bandes
a
y
an
t
le
m
ˆ
eme
supp
ort
pro
jectif
sur
l’axe
des
?
.
k
Concr
`
etemen
t,
k
est
un
param
`
etre
bidimen
tionnel,
et
l’on
c
hoisit
k
=
(
k
;
k
)
o
u
`
k
est
1
2
1
la
pro
jection
sur
l’axe
des
?
et
(par
exemple)
k
est
l’angle
dans
le
plan
?
=
0.
Ainsi,
les
2
X
j
j
(26)
h
=
f
k
k
1
k
2
?
j
on
t
des
supp
orts
en
?
essen
tiellemen
t
disjoin
ts,
de
taille
O
(2
).
P
ar
presque
orthogo-
nalit
´
e,
lorsque
p
>
2,
0
°
°
X
X
p
0
°
°
j
j
p
(27)
h
.
k
h
k
:
°
°
p
k
k
1
p
1
L
t
L
t
k
k
1
1
p
En
appliquan
t
Bernstein
a
`
la
norme
L
,
a
v
ec
q
<
p
,
t
1
1
j
?
j
(
?
)
j
q
p
p
q
k
h
k
.
2
k
h
k
:
L
L
k
k
1
1
t
t8
Ainsi,
a
`
j
fix
´
e,
0
µ

0
1
/p
°
°
°
°
X
X
X
p
1
1
°
°
°
°
j
?
j
(
?
)
j
q
p
f
.
2
f
:
°
°
°
°
k
k
p
q
L
L
t
t
k
k
k
1
2
0
0
q
p
Si
l’on
supp
ose
en
outre
que
q
?
p
,
alors
on
p
eut
prendre
la
norme
L
et
p
erm
uter
`
x
q
et
L
,
p
our
obtenir
x
0
Ã
!
1
/p
µ

0
°
°
X
X
X
p
1
1
°
°
?
j
(
?
)
j
d
q
p
k
g
d?
k
2
q
2
p
.
2
f
:
°
°
L
(
L
)
k
q
x
t
L
t
?
x
j
?
0
k
k
1
2
j
On
utilise
alors
l’orthogonalit
´
e
des
f
en
temps-espace,
de
sorte
que
(si
q
<
2)
k
°
°
X
X
q
°
°
j
j
q
°
f
°
.
k
f
k
q
k
k
q
L
t
?
x
L
t
?
x
k
k
2
2
0
0
q
p
et
comme
q
>
p
,
on
p
eut
remplacer
`
par
`
p
our
finalemen
t
a
v
oir
0
µ

°
°
0
1
/p
X
X
X
p
1
1
°
°
j
j
?
j
(
?
)
d
q
p
(28)
k
g
d?
k
2
q
2
p
.
2
g
d?
g
d?
:
°
0
°
L
(
L
)
k
k
q
x
t
L
t
?
x
0
j
?
0
k
k
j
j
τ
?
τ
0
k
k
0
A
ce
stade,
nous
a
v
ons
´
epuis
´
e
nos
ressources
sur
les
sommes
(la
somme
en
k
n’a
qu’un
q
nom
bre
fini
de
termes
ind
´
ep
endammen
t
de
j
).
Il
s’agit
donc
d’estimer
la
norme
L
`
a
t
?
x
droite.
Dans
[10]
il
est
mon
tr
´
e,
p
our
f
et
g
s
´
epar
´
es
angulairemen
t
par
un
angle
O
(1),
que
°
°
°
d
d
°
ˆ
(29)
f
d?
g
d?
.
k
f
k
12
k
g
ˆ
k
12
:
2
L
7
7
L
(

)
L
(

)
t
?
x
Dans
[16],
on
a
une
estimation
(sous
la
m
ˆ
eme
restriction
angulaire)
°
°
2
°
d
d
°
(30)
f
d?
g
d?
.
k
f
k
2
k
g
k
2
;
p
>
2
?
:
p
L
(
d
σ
)
L
(

)
L
t
?
x
17
P
ar
in
terp
olation,
on
en
d
´
eduit
(par
exemple,
les
v
aleurs
n
um
´
eriques
n’on
t
que
p
eu
d’imp
ortance)
°
°
°
d
d
°
(31)
g
d?
f
d?
.
k
f
k
p
˜
k
g
k
p
˜
q
˜
L
(

)
L
(

)
L
t
?
x
2
2
o
u
`
q
˜
>
2
?
et
p
˜
>
2
?
.
33
13
P
our
p
ouv
oir
utiliser
(31)
il
est
n
´
ecessaire
d’effectuer
un
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle
parab
olique,
qui
donne
°
°
1
1
[
j
\
j
?
4
j
(
?
)
j
j
0
°
°
q
˜
p
˜
(32)
g
d?
g
d?
.
2
k
g
k
k
g
k
;
0
q
˜
0
p
˜
p
˜
k
k
k
k
L
t
?
x9
j
j
o
u
`
l’on
remarquera
que
plus
l’angle
est
p
etit
en
tre
?
et
?
,
plus
la
constan
te
est
grande
0
k
k
0
(
q
˜
<
p
˜
).
P
our
terminer
il
est
alors
n
´
ecessaire
de
distinguer
deux
cas
:
soit
j
tel
que
0
?
2
j
0
j
E
j
=
2
?
1.
Nous
allons
s
´
eparer
la
somme
sur
j
?
0
en
deux.
P
our
j
?
j
,
on
utilise
0
¡
2
(32)
a
v
ec
p
˜
=
2,
que
l’on
injecte
dans
(28).
Compte
ten
u
des
v
aleurs
de
p
et
q
q
=
,
1+
μ
¢
2
p
=
,
il
reste
1
?
3
μ
0
·
¸
0
1
/p
°
°
³
´
X
X
X
X
p
°
°
j
j
(33)
(
?
?
?
)
.
k
g
k
k
g
k
:
°
°
0
2
2
k
k
q
p
L
L
x
t
0
j
>j
j
?
j
k
k
0
0
0
La
somme
sur
k
se
r
´
eduit
`
a
un
terme,
et
il
con
vien
t
donc
d’
´
ev
aluer
0
³
´
X
1
/p
0
j
2
p
k
g
k
k
2
k
j
o
u
`
g
=
?
j
.
Comme
k
τ
\
E
k
Z
X
j
2
k
g
k
=
?
=
j
E
j
;
E
k
2
k
X
0
0
2+2(
p
?
1)
j
?
2
j
(
p
?
1)
k
g
k
.
2
j
E
j
k
2
k
P
j
puisque
j
?
j
?
j
E
j
.
En
somman
t
(33)
on
obtien
t
le
r
´
esultat
v
oulu.
P
our
la
somme
,
on
k
j
<j
0
2
pro
c
`
ede
diff
´
eremmen
t
:
on
applique
(32)
a
v
ec
un
p
˜
<
2,
p
˜
=
.
Dans
(33),
on
ma
jore
1+
ε
0
j
p
1
`
par
`
,
on
remarque
que
j
E
j
<
j
?
j
,
et
finalemen
t
k
°
°
X
X
2
4
°
°
2(1
?
)
j
?
j
0
0
p
˜
p
˜
°
(
?
?
?
)
°
.
2
2
:
q
p
L
L
x
t
0
?
j
<j
0
?
j
<j
0
0
On
calcule
la
somme
`
a
droite
et
il
vien
t
2
ε
(
j
+1)
?
2
j
0
0
1
?
2
2
j
E
j
?
2
j
?
2
εj
0
0
2
2
.
=
ε
1
?
2
"
"
ce
qui
ac
h
`
ev
e
la
preuv
e.10
R
´
ef
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