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Agrégation Analyse (F. Rouvière) Oral UTILISATION DE LA DÉNOMBRABILITÉ EN ANALYSE (quelques idées sur l?...) Références [D] Dieudonné, Éléments d?analyse tome 1, Gauthier-Villars : à feuilleter en tous sens, car l?auteur avoue (p. VIII) : Au risque de me faire honnir, j?ai donc pris pour devise que ?le dénombrable seul existe à l?in?ni?... [B] Brézis, Analyse fonctionnelle, Masson [Ca] Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann [CL] Chambert-Loir et al., Exercices d?analyse, tome 1, Masson [Ch] Choquet, Topologie, Masson [F] Faraut, Calcul intégral, Belin [G] Gourdon, Les maths en tête, analyse, Ellipses [MV] Moisan et Vernotte, Topologie et séries, Ellipses [P] Pommellet, Cours d?analyse, Ellipses [ZQ] Zuily et Que?élec, Eléments d?analyse pour l?agrégation, Masson. 0. Dénombrable Rappel ([D] p.14) : toute partie de N est soit ?nie soit en bijection avec N tout entier. Dé?nir un ensemble ?dénombrable?comme ?en bijection avec N?exclut les ensembles ?nis. On préfèrera parler plutôt de ??ni ou dénombrable?, ou encore ?au plus dénom- brable?. Ainsi toute partie d?un ensemble au plus dénombrable est au plus dénombrable. N N est dénombrable, car l?application (p; q) 7! 2p3q de N N dans N est injective (par unicité de la décomposition en facteurs premiers), donc identi?e N N à une partie (évidemment in?nie) de N.

rationnel choisi dans l?intervalle ?de

réunion dénombrable de points

théorème de baire

réunion d?une

idée de la preuve

continue aux points rationnels

norme de la conver- gence uniforme

base dénombrable

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Cantor Théorème de Baire

Agrégation Analyse(F. Rouvière)

UTILISATION DE LA DÉNOMBRABILITÉ EN ANALYSE

(quelques idées sur l...)

Oral

Références [D] Dieudonné,Éléments danalyseà feuilleter en tous sens,tome 1, Gauthier-Villars : car lauteur avoue (p.VIII) : Au risque de me faire honnir, jai donc pris pour devise que le dénombrable seul existe à linni... [B] Brézis,Analyse fonctionnelle, Masson [Ca] Cartan,Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann [CL] Chambert-Loir et al.,Exercices danalyse, tome 1, Masson [Ch] Choquet,Topologie, Masson [F] Faraut,Calcul intégral, Belin [G] Gourdon,Les maths en tête, analyse, Ellipses [MV] Moisan et Vernotte,Topologie et séries, Ellipses [P] Pommellet,Cours danalyse, Ellipses [ZQ] Zuily et Que¤élec,Eléments danalyse pour lagrégation, Masson.

0. Dénombrable

Rappel([D] p.14) :toute partie deNest soit nie soit en bijection avecNtout entier. Dénir un ensemble dénombrablecomme en bijection avecNexclut les ensembles nis. Onpréfèrera parler plutôt de ni ou dénombrable, ou encore au plus dénom-brable. Ainsitoute partie dun ensemble au plus dénombrable est au plus dénombrable. p q NNest dénombrable, car lapplication(p; q)7!2 3deNNdansNest injective (par unicité de la décomposition en facteurs premiers), donc identieNNà une partie (évidemment innie) deNdes. Pourune autre preuve, par numérotation en triangle éléments deNN, voir [D] p.15. Par suiteZetQsont dénombrables. La réunion dune famille (au plus) dénombrable densembles (au plus) dénombrables est (au plus) dénombrable. Exercice. Lensembledes applications def0;1gdansNest dénombrable.Lensemble des applications deNdansf0;1gne lest pas.

1. DénombrabilitésurR

a.Rnest pas dénombrable, pour lune des raisons suivantes : (i)19-20)il est impossible de numéroter tous les développements décimaux ([P] p. (ii)siRétait réunion dénombrable de points, il serait de mesure de Lebesgue0 (iii)dans lespace métrique completR, une réunion dénombrable de points ne peut pas êtreRtout entier (théorème de Baire). (iv)voir aussi [D] p.23. Lensemble des nombres algébriques étant, lui, dénombrable (expliquer pourquoi), il doit donc exister des nombres réels qui ne sont pas algébriques, appelés nombres transcen-1 dants - preuve non constructive sil en est, due à Georg Cantor (1874) .

1 Dans Collette, Histoire des mathématiques, tome 2, on lit p.217 :Lannée 1874 fut très importante pour Cantor, car cest lannée de son mariage avec Vally Guttman, puis la naissance de la théorie des ensembles.

Tout ouvert deRest la réunion dune famille (au plus) dénombrable dintervalles ouverts deux à deux disjoints ([P] p.24). Qnest pas intersection dénombrable douverts deR(ces ouverts, contenantQ, seraient denses; commeRnQest évidemment intersection dénombrable douverts denses (les com-plémentaires des points rationnels), il en serait de même deQ\(RnQ) =;, en contradic-tion avec le théorème de Baire). b.Notonsdisc(f)lensemble des points de discontinuité dune fonctionf. Sifest monotone sur un intervalle deR, alorsdisc(f)est au plus dénombrable : à chaquea2disc(f)on peut associer un rationnel choisi dans lintervalle de saut ]f(a0); f(a+ 0)[; ces intervalles étant deux à deux disjoints, cela donne une injection dedisc(f)dans lensemble dénombrableQ([P] p.82). Sifest réglée (i.e.admet des limites à gauche et à droite nies en tout point) sur un intervalle deR, alorsdisc(f)car, sur chaque intervalle compact,est au plus dénombrable : S 1 fest limite uniforme dune suite de fonctions en escalierfn, doùdisc(f)disc(fn) n=0 par la convergence uniforme.Lesdisc(fn)étant nis, on voit quedisc(f)est au plus dénombrable ([P] p.83). Sifest une fonction quelconque,disc(f)est toujours une réunion dénombrable de fermés ([G] p.60, grâce à la notion doscillation dune fonction en un point).Par suite et par Baire, il nexiste aucune fonctionfsurRqui soit continue aux points rationnels et discontinue aux irrationnels ([MV] p.12 ; carRnQnest pas réunion dénombrable de fermés, cf.a). Maisla fonctionf(x) = 0sixirrationnel,f(x) = 1=qsix=p=q(fraction irréductible) est continue aux points irrationnels et discontinue aux rationnels...

c.SoientIun ensemble dindices et(ui)i2Iune famille sommable de réels positifs, i.e. P ui<1les. Alorsuisont nuls sauf au plus une innité dénombrable dentre eux ([Ch] i2I p.212 ; car pour tout entiern1lensembleAn=fi2Ijui1=ngest nécessairement ni, et lensemblefi2Ijui6= 0gest la réunion de cesAn.)

2. Dénombrabilitéen topologie générale

Cest par lusage desuitesquintervient souvent le dénombrable en topologie.

a.Un espace métrique est ditséparablesil possède une partie dénombrable dense (exem-n plesR,R). Un espace métrique est séparable si et seulement sil admet une base dénombrable douverts ([D] p.42). Un espace normé est séparable si et seulement sil admet une suite totale (i.e.qui engendre un sous-espace vectoriel dense) :raisonner sur les combinaisons linéaires nies à coe¢ cients rationnels...([D] p.114). Tout espace métrique compact est séparable (on peut en e¤et recouvrir lespace par un nombre ni de boules de rayon1=n; les centres de ces boules pourn= 1;2; :::forment une suite dense dans lespace ; [D] p.60). La plupart des espaces de fonctions usuels en analyse sont séparables, commeC([a; b]), p p1 1 `etL(R)pour1p <1([B] p.62), etc.Mais`etL(R)ne le sont pas : 1 Exercice. Lespace`est séparable [considérer le sous-ensemble formé des suites ra-1 1 tionnelles à support ni].Les espaces`etL(R)ne le sont pas ([B] p.66) [observer quun espace normé ne peut être séparable sil admet une innité dénombrable déléments 1 à distance1les uns des autres, et considérer les suites de0et de1dans`, ou les fonctions 1 caractéristiques des intervalles[a;1[dansL].

SoitXun espace topologique compact.AlorsXest métrisable si et seulement si lespaceC(X)des fonctions numériques continues surX, muni de la norme de la conver-gence uniforme, est séparable.(Idée de la preuve :si(fn)est une suite dense dansC(X), on vérie que 1 X 1 d(x; yinf (1) =;jfn(x)fn(y)j) n 2 n=1 est une distance qui dénit la topologie deX. Réciproquement,si(an)est une suite dense de lespace métrique compact(X; d), les fonctionsfn(x) =d(x; an)engendrent une sous-algèbre dense deC(X)par le théorème de Stone-Weierstrass...[D] p.141, [ZQ] p.178). 0 Théorème de Banach-Alaoglu. SoientEun espace normé séparable,Elespace des formes 0 linéaires continues surE(muni de la norme duale) et soientB,Bles boules unité fermées 0 deEetErespectivement. Si(an)est une suite dense deB, lexpression 1 X 1 0 d(f; ginf (1) =;jf(an)g(an)j), pourf; g2B, n 2 n=1 0 0 dénit une distance surB, pour laquelleBest compacte.De plus une suite(fk)converge 0 versfdansBau sens dedsi et seulement sifk(x)!f(x)pour toutx2E(convergence simple surE[ZQ] p.146.). Voir Mais sur lespace de toutes les applications de[0;1]dans lui-même, la topologie de la convergence simple nest pas métrisable ([Ch] Exercice 107 p.113).

b.On peut citer à nouveau lethéorème de Bairesur un espace métrique complet, et quelques applications ([G] p.391 sq.).

c.Le procédé desuite diagonaleest un outil important pour établir divers résultats de N compacité: compacitédu cube de Hilbert[0;1]([CL] p.42, [MV] p.14), théorème dAscoli ([Ch] p.93), théorème de Montel ([Ca] p.169).Lidée est de construire une suite de suites, chacune extraite de la précédente, et de former la suite diagonale en prenant len-ème terme de lan-ème suite ; cette nouvelle suite héritera des bonnes propriétés de chacune des suites de départ...

3. Dénombrabilitéet espaces de Banach ou Hilbert

Aux résultats déjà cités en2on peut ajouter les suivants. Un espace de Hilbert est séparable si et seulement sil admet une base hilbertienne dénombrable ([Ch] p.261). Il nexiste pas despace de Banach de dimension dénombrable ([G] p.393 ; un tel espace serait réunion dénombrable de sous-espaces de dimension nie, fermés et dintérieur vide, doù le résultat par Baire). Par suite un espace de Hilbert ayant une basehilbertiennedénombrable nest pas à base dénombrable (au sens de lalgèbre linéaire). Si un Hilbert a une base hilbertienne dénombrable(en)n2N, alors toute autre base hilbertienne(fi)i2Iest aussi dénombrable ([Ch] p.263).En e¤et, Parseval dans la base (fi)donne X 2 2 kenk= 1 =j(en; fi)j, i2I donc lensembleAn=fi2Ij(en; fi)6= 0gest au plus dénombrable (voir1.cci-dessus). De plus, Parseval dans la base(en)donne X 2 2 kfik= 1 =j(en; fi)j, n 3

donc pour toutiil existentel que(en; fi)6= 0suite. ParI=[An, qui est dénombrable.

4. Dénombrabilitéet théorie de la mesure

La dénombrabilité, qui apparaît dès la dénition même des tribus et mesures, joue un rôle essentiel dans les axiomes et les principaux théorèmes de cette théorie.La notion de mesure perdrait tout intérêt si on omettait le mot dénombrabledans laxiome la mesure dune réunion dénombrable disjointe est la somme des mesures:R, réunion (non dénombrable) de ses points serait alors de mesure de Lebesgue nulle... Toute partie dénombrable deRLensemble deest de mesure (de Lebesgue) nulle. Cantor est de mesure nulle mais non dénombrable ([CL] p.34). R R Le célèbre théorème de convergence dominée de Lebesguelimfn= limfnsétablit pour des suites de fonctions (la dénombrabilité est essentielle dans la preuve du théorème de convergence monotone, doù se déduit celui de convergence dominée [F] p.8 et 16).On passe de là à la version à paramètre continu Z Z limf(t; x)dx= limf(t; x)dx, 0 0 t!t t!t

grâce au fait queRest à base dénombrable douverts :raisonner sur la suite de fonctions 0 fn(x) =f(tn; x), où(tn)est une suite quelconque tendant verstdansR.

Voir