EM5 Interaction magnétique Le champ Magnétostatique

Description

Niveau: Elementaire
EM5 Interaction magnétique : Le champ Magnétostatique I Distributions de courants I.1 Courants volumiques I.1.a) Intensité électrique On considère une portion de circuit filiforme de section droite S soumis à un champ électro- statique qui entraîne un mouvement d'ensemble à la vitesse ??v des charges mobiles. L'intensité du courant est la charge traversant S par unité de temps : I = dqdt . I.1.b) Vecteur densité volumique de courant Soit n? le nombre de porteurs de charge par unité de volume. La charge dq traversant la section S pendant le temps dt est contenu dans le cylindre de section S et longueur vdt soit dq = n?qSvdt soit I = n?qSv et ?? j = n?q??v = ?m ??v où ?m est la densité volumique des charges mobiles. On a I = ∫∫ ?? j . ?? dS et si ?? j est uniforme, I = jS. I.1.c) Vecteur élément de courant On définit le vecteur élément de courant par : ?? dC = I ?? d où ?? d est un élément de longueur d'un conducteur filiforme orienté dans le sens du courant. Dans le cas d'une distribution volumique , on a I = n?qvS soit I ?? d = n?qvS ?? d = n?q??v d? , où d? est le volume élémentaire de section S et de hauteur d.

• plan de symétrie


• épaisseur de la nappe de courant


• distribution de courant


• champ


• portion de circuit filiforme de section droite


• dq ???


• ?? dc


• invariances des distributions de courant

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Exrait

EM5 Interaction magnÉtique : Le champ MagnÉtostatique

I Distributionsde courants I.1 Courantsvolumiques I.1.a) IntensitÉÉlectrique On considÈre une portion de circuit filiforme de section droiteSsoumis À un champ Électro- −→ statique qui entrane un mouvement d’ensemble À la vitessevdes charges mobiles. dq L’intensitÉ du courant est la charge traversantSpar unitÉ de temps :I=. dt

I.1.b) VecteurdensitÉ volumique de courant ∗ Soitnle nombre de porteurs de charge par unitÉ de volume. La chargedqtraversant la sectionSpendant le tempsdtest contenu dans le cylindre de −→ ∗ ∗∗ −→−→ sectionSet longueurvdtsoitdq=n qSvdtsoitI=n qSvetj=n qv=ρ m voÙρ m est la densitÉ volumique des charges mobiles. RR −→ −→ −→ On aI=j .dSet sijest uniforme,I=jS.

I.1.c) VecteurÉlÉment de courant −→−→−→ On dÉfinit le vecteur ÉlÉment de courant par :dC=I d`oÙd`est un ÉlÉment de longueur d’un conducteur filiforme orientÉ dans le sens du courant. −→−→ ∗ ∗∗ −→ Dans le cas d’une distribution volumique , on aI=n qvSsoitI d`=n qvSd`=v dτn q, −→ −→ oÙdτest le volume ÉlÉmentaire de sectionSet de hauteurd`. On a alorsdC=j dτ.

I.2 Courantssurfaciques Lorsqu’une des trois dimensions de la distribution de courant est trÈs petite devant les autres, on adopte une distribution surfacique. On modÉlise la distribution par une nappe de courant d’Épaisseur nÉgligeable. −→ −→ Par analogie on dÉfinit un vecteur densitÉ surfacique de courant tel quej S =σ m voÙσ m est la densitÉ surfacique de charges mobiles (σ m =aρ m oÙaest l’Épaisseur de la nappe de courant). L’intensitÉIest dÉsormais dÉfini par la charge traversant la largeurLde la nappe de courant R −→ −→ −→−→ par unitÉ de temps :I=j s .dx noÙdxest une largeur ÉlÉmentaire orthogonale Àn. Sij s est −→ colinÉaire Àn,I=j s L=σ m vL −→−→ −→ −→ −→ Le vecteur ÉlÉment de courant est alors dÉfini par :dC=I d`=j S dldxsoitdC=j S dS

I.3 CourantslinÉiques Lorsque les circuits sont filiformes (section constante et faible À l’Échelle macroscopique), la densitÉ linÉque de courant correspond au courant lui mme. Le vecteur ÉlÉment de courant −→−→ s’Écrit :dC=I d`

II Lechamp magnÉtostatique II.1 Loide Biot et Savart II.1.a) Expressiondu champ −−−−→ Soit un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensitÉI. On notedB(M)le vecteur −→−→ champ magnÉtostatique produit au pointMpar l’ÉlÉment de courantdC=I d`se trouvant au −−−−→ voisinage du pointP. L’expression du vecteurdB(M)est donnÉ par la loi de Biot et Savart : −→ −−→ −−−−→ µ 0 I d`∧P M dB(M) = 3 4π P M −7−1 2 oÙµ 0 est la permÉabilitÉ du vide :µ 0 = 4π.10H.m(µ 0  0 c= 1).

−−−−→ L’expression du champ magnÉtique rÉsultant est obtenue en sommant les vecteurdB(M): −−−→ R −→ −−→ µ 0 I d`∧P M B(M) = 3 4π C P M

II.1.b) −−−−→ −→ −−→ –dB(M)est perpendiculaire au plan dÉfini pard`etP M. −→ – Lesens dedBest donnÉ par la « rÈgle du tire bouchon ». −−−−→ −→ −−→ µ 0 Idl –||dB(M)||||= 2 sinαavecα= (d`, P M)etr=P M 4π r −→ On utilise les propriÉtÉs de symÉtrie et d’invariance pour simplifier le calcul deB

II.1.c) ProblÈmesde dÉfinition et de continuitÉ −→ Analogie avecE: −−→ −−−−→ 1 dqP M –dE(M) = 3 4π 0 P M −→ −−→ −−−−→ µ 0 dC∧P M –dB(M) = 3 4 M π P −→ −→−→ 1 µ 0 Pour passer dedEÀdBil faut remplacerdqpardC∧. On a donc les mmeset par 4π 0 4π problÈmes de dÉfinitions et de continuitÉ que pour le champ Électrique : −→ – LechampBcrÉÉ par une distribution volumique de courant est dÉfini et continu en tout point de l’espace. −→ – Le champBprÉsente une discontinuitÉ À la traversÉe de la surface d’une distribution −→ −→ −−→ surfacique de courant (discontinuitÉ de la composante tangentielle :ΔB=µ 0 j s ∧n 1→2 ). −→ – LechampBn’est pas dÉfini en un point d’une distribution linÉque.

II.2 Topographiedu champ magnÉtique II.2.a) DÉfinitionset propriÉtÉs Lignes de champ :Les lignes de champ sont tangentes en chaque point au vecteur champ −→ magnÉtostatique. Elles sont orientÉes parB. L’Équation d’une ligne de champ se dÉduit de −−−→ −−−→ −→ −−−→ −−→ B(M)∧dOM= 0ouB(M) =k(M)OM. – Deuxlignes de champ ne peuvent se croiser qu’en un point oÙ le champ est nul. – Les lignes de champ magnÉtique sont fermÉes et tournent autour des courants qui le crÉent. Tube de champ :Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermÉ. – Le flux du champ magnÉtostatique est constant À travers toute section d’un tube de champ. Le tube de champ est alors Étroit lorsqueBest intense

II.2.b) Exemplesde cartes de champ Spire

Aimant permanent

Bobine de Helmholtz

SolÉnode

Les lignes de champ sortent par la face nord de l’aimant et rentre par la face sud.

II.3 PropriÉtÉsde symÉtries II.3.a) SymÉtrieset invariances des distributions de courant 0 SoitPun point d’une distribution de courant etPson symÉtrique par rapport au planΠ −→−→ 0 Πest un plan de symÉtrie sidC(P) =sym Π dC(P)

−→−→ ∗ 0 Πest un plan d’antisymÉtrie sidC(P) =−sym Π dC(P)

−→ – Unedistribution de courant est invariante par translation suivant(Oz)lorsquedC(x, y, z) = −→ dC(x, y)∀z – Une distribution de courant est invariante par rotation d’axe(Oz)(coordonnÉes cylin- −→−→ driques) lorsquedC(r, θ, z) =dC(r, z)∀θ

II.3.b) PropriÉtÉsde symÉtries du champ magnÉtique – Plande symÉtrie

−→ Le champ magnÉtiqueBest orthogonal À un plan de symÉtrie de la distribution de courant en tout point de ce plan.

– Pland’antisymÉtrie

−→ Le champ magnÉtiqueBappartient À un plan d’antisymÉtrie de la distribution de courant en tout point de ce plan.